解一元一次方程(4个课时+7个知识点+10个题型)学案苏科版七年级数学上册

4.2 解一元一次方程
【学习目标】
1．了解方程的解与解方程的概念，会根据等式的基本性质解方程。

2．掌握解一元一次方程的方法，了解解一元一次方程的一般步骤，并能灵活运用，能判别解的合理性。

3．经历和体会解一元一次方程中“转化”的思想方法。

【学习内容】
1．用等式的基本性质解一元一次方程方程的解与解方程
等式的基本性质
利用等式的基本性质解简单的一元一次方程
2．用移项法解一元一次方程·1·移项的概念·2·用移项的方法解一元一次方程
3．用去括号法解方程·1·解含有一个括号的一元一次方程·2·解含有两个（或以上）括号的一元一次方程
4．用去分母法解方程·1·解分母为整数的一元一次方程·2·解分母含小数的一元一次方程
4.2.1 用等式的基本性质解一元一次方程
【基础知识】
·知识点01 方程的解与解方程
1．方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

使方程左右两边的值相等的未知数的值可以不止一个，即方程的解可以有注意多个。

2．解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

★细节剖析：
（1）检验一个数是否为方程的解的步骤
③比较方程左右两边的值，则此数值是方程的解；若左边的值≠右边的值，则此数值不是方程的解。

·例1·检验下列各数是不是方程4x－2＝6x－3的解。

1
（1）x＝－2；（2）x＝
2
·练习·
1．下列方程中，解为x＝－1的是（）
A．2x＝－1＋x B．3－x＝2C．x－4＝3D．－2x－2＝4
2．已知关于x的方程2x－a－5＝0的解是x＝－2，则a的值为（）
A．1B．－1C．9D．－9
3．已知x＝4是方程ax－2＝a＋10的解，则a的值为（）
A．2B．－3C．4D．－4
5．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了一2x ＋
＝3x ，他翻阅了答案知道这个方程的解为x ＝－1，于是他判断的
值应为___________。

6．已知x ＝2a 是方程3x －5a ＝－1的解，则a 的值为_______，方程的解为__________。

7．已知x ＝2是方程ax －4＝0的解，检验x ＝3是不是方程2ax －5＝3x －4a 的解。

·知识点02 等式的基本性质
1．等式的基本性质1： 等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式 ，所得结果仍是等式。

2．等式的基本性质2
★细节剖析：
（1）等式的基本性质是等式变形的依据。

性质1中的“同一个”是指等式两边所加上（或减去）的数（或式子）必须相同。

也就是说，若等式两边加上（或减去）的不是同一个数（或式子），则得到的式子就不一定是等式了。

性质2包括两种情况：一是等式两边都乘同一个数，结果仍然相等；二是等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等。

（2）若a ＝b ，则b ＝a 。

此性质叫做等式的对称性。

（3）若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 。

此性质叫做等式的传递性（也称等量代换）。

·例2· 赵用适当的数（或式子）填空，使下列等式变形后仍是等式，并说明是根据哪一个性质得到的。

（1）若3x ＋5＝2，则3x ＝2－__________，根据______________________；
（2）若－4x ＝
3
1，则x ＝___________，根据________________________。

·练习· 1．如果a ＝b ，那么下列等式中一定成立的是（ ）
A ．a －2＝b ＋2
B ．2a ＋2＝2b ＋2
C ．2a －2＝b －2
D ．2a －2＝2b ＋2
2．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A ．如果a ＝b ，那么a 一l ＝b －1
B ．如果4a ＝2，那么a ＝2
C ．如果1－2a ＝3a ，那么3a ＋2a ＝－1
D ．如果a ＝b ，那么2a ＝3b
3．用“●”“■”“▲”分别表示三种不同的物体，如图，前两架天平保持平衡。

若要使第三架天平也平衡，则“？”处应放“■”________个。

4．（1）若a －5＝b －5，则a ＝b ，这是根据________________________________。

（2）若（m 2＋1）x ＝－（m 2＋1），则x ＝－1，这是根据______________________。

5．某同学把3a －2b ＝2a －2b 变形，两边都加上2b ，得3a ＝2a ，两边都除以a ，得3＝2，你能指出他错在哪里吗？
·知识点03 利用等式的基本性质解简单的一元一次方程
利用等式的基本性质解简单的一元一次方程的一般步骤
（1）利用等式的基本性质1，两边都加上（或减去）同一个数（或式子），使一元一次方程变为一边是只含未知数的项，另一边是常
数项的形式。

（2）利用等式的基本性质2，方程两边都乘未知数的系数（不为0）的倒数，将未知数的系数化为1，把方程逐步转化为x ＝a （a 为
常数）的形式。

★细节剖析：
利用等式的基本性质解方程时，方程的两边所进行的运算必须完全相同，这样才能保证方程的解不变。

·例3· 解方程：3
n
－2＝10。

·练习·
1．解方程3x ＋2＝5x －1，先在等式两边都______________，得到一2x ＝______，再在等式两边都____________，得到x ＝______。

2．解下列方程：
（1）x ＋2＝－7； （2）3
1y ＝－6；
（3）－2x ＝－3x ＋3； （4）56＝3x ＋32－2x 。

3．已知x ＝3是关于x 的方程ax －5＝9x －a 的解，则关于x 的方程a （x －1）－5＝9（x －1）－a 的解是x ＝__________。

4．小红在解关于x 的方程－3x ＋1＝3a －2时，误将方程中的“－3”看成了“3”，求得方程的解为x ＝1，则原方程的解为____________。

5．已知（m 2－1）x 2－（m ＋1）x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程，求式子199（m ＋x ）（x －2m ）＋9m ＋17的值。

4.2.2 用移项法解一元一次方程
【基础知识】
·知识点01 用移项法解一元一次方程
⎩⎨⎧1依据：等式的性质
这样的变形叫做移项程的一边移到另一边，改变符号后，可以从方概念：方程中的某些项移项
★细节剖析：
（1）移项时，将所移的项从方程的一边移到另一边一定要变号。

（2）方程中的项包括它前面的符号
（3）移项与加法交换律中交换加数的位置不同。

移项是将方程中的某一项从方程的一边移到另一边，移项时要变号，而加法交换律中交换加数的位置只改变项的排列顺序，符号只随着移动并不改变。

（4）解方程移项时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，不含有未知数的项放在等号的右边
·1·移项的概念
·例1· 下列变形属于移项的是（ ）
A ．由于15x ＝1，得x ＝15
B ．由3x ＝1，得x ＝31
C ．由3x －2＝0，得3x ＝2
D ．由－3＋2x ＝7，得2x －3＝7
·练习·
1．解方程2x －1＝x ＋3时，移项正确的是（ ）
A ．2x －x ＝3－1
B ． 2x ＋x ＝1＋3
C ．－2x ＋x ＝3－1
D ．2x －x ＝3＋1
2．解方程x ＋3＝13，移项得_________________。

3．解方程6x ＝9－3x ，移项得6x ＋_________＝9。

4．将下列方程中含有未知数的项移到方程的左边，将不含未知数的常数项移到方程的右边：
（1）6＋x ＝10；
（2）x x 4353=-；
（3）7－6x ＝5－4x ；
（4）x －21＝－21x ＋5
·2·用移项的方法解一元一次方程
·例2· 解方程：（1）4x ＝18－2x
（2）41x ＝－2
1x ＋3
·练习·
1．方程3x ＋6＝0的解是（ ）
A ．x ＝2
B ．x ＝－2
C ．x ＝3
D ．x ＝－3
2．若代数式x ＋2的值为1，则x 的值为（ ）
A ．－1
B ． －3
C ．1
D ．3 3．若3－2x ＝11－3x ，则x －4的值为（ ） A ． 8
B ． －8
C ．－4
D ．4
4．若多项式3x ＋5与5x －7的值相等，则x 的值为（ ）
A ． 6
B ． 5
C ．4
D ．3
5．当m ＝_______时，关于x 的方程2x ＋m ＝x ＋1的解为x ＝－4。

6．一位同学在解方程5x －1＝（ ）x ＋3时，把“（ ）”处的数看错了，解得x ＝－
3
4，这位同学把“（ ）”处的数看成了___________。

7．解下列方程：
（1）3x －2＝2x ＋1；
（2）－3x ＋7＝4x ＋21；
（3）4－3x ＝4x －3；
（4）x －＝－x 。

8．若*是规定的运算符号，设a * b ＝ab ＋a ＋b ，则在3* x ＝－17中，x 的值是（ ）
A ．－5
B ． 5
C ．－6
D ．6
9．对于三个互不相等的有理数a 、b 、c ，我们规定符号max { a ，b ，c } 表示a 、b 、c 三个数中较大的数，例如max { 2，3，4}＝4。

按照这个规定，方程max { x ，－x ，0 } ＝3x －2的解为____________。

10．如图，阶梯的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5、－2、1、9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等。

（1）求第5个台阶上的数x ；
（2）请直接用含k （k 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数。

4.2.3 用去括号法解方程
【基础知识】
·知识点01 用去括号法解方程
去括号：当方程中含有括号时，在解方程的过程中把方程中含有的括号去掉的过程——→与整式运算中去括号的过程相同。

★细节剖析：
（1）去括号时，要乘括号内的每一项，不要漏乘。

（2）注意“＋”“－”的改变，即去掉括号后要注意各项（原括号内）的符号变化情况
（3）去括号是解方程过程中的一种变形，它与移项、合并同类项、系数化为1等变形方法综合运用，最终将一元一次方程转化为x ＝a （a 为常数）的形式
·1·解含有一个括号的一元一次方程
·例1· 解方程：4（x ＋0.5）＋x ＝7
·练习·
1．解方程3－5（x ＋2）＝x 去括号正确的是（ ）
A ．3－5x ＋2＝x
B ．3－5x －10＝x
C ．3－5x ＋10＝x
D ．3－x －2＝x
2．当x ＝4时，式子5（x ＋b ）－10与bx ＋4的值相等，则b 的值为（ ）
A ．－6
B ．－7
C ．6
D ．7
3．若关于x 的方程8－m ＝2（x ＋1）与方程2（2x －3）－1＝1－2x 的解相同，则m 的值为（ ）
A ．
310 B ．35 C ．2 D ．3
10
4． （1）方程2（x －4）＝0的解为__________。

（2）方程2（x ＋4）＝－2的解为___________。

（3）方程－3（x －3）－1＝8的解为___________。

（4）方程3（x ＋5）＋1＝－11的解为____________。

5．若3x ＋2与－2x ＋1互为相反数，则x －2的值是__________。

6．解方程：
（1）3x －4（x ＋1）＝1；
（2）8＋4y ＝－3（y －5）。

·2·解含有两个（或以上）括号的一元一次方程
·例2· 解方程：2（2x －4）－3（3x －1）＝2＋3（x －3）
·练习·
1．对方程2（2x －1）－（x －3）＝1，去括号正确的是（ ）
A ．4x －1－x －3＝1
B ．4x －1－x ＋3＝1
C ．4x －2－x －3＝1
D ．4x －2－x ＋3＝1
2．下列变形正确的是（ ）
A ．将方程3－x ＝2－（x ＋3）去括号，得3－x ＝2－x ＋3
B ．将方程2（x ＋1）＝x ＋7去括号，得2x ＋2＝x ＋7
C ．将方程2（2x －1）－3（x －3）＝1去括号，得4x －2－3x －9＝1
D ．将方程3（x ＋1）－（2x －3）＝12去括号，得3x ＋1－2x ＋3＝12
3．如果2（x ＋3）的值与3（1－x ）的值互为相反数，那么x 的值为________。

4．解下列方程：
（1）4x －3（20－x ）＝5x －7（20－x ）；
（2）3（2x ＋5）＝2（4x ＋3）－3；
（3）4x ＋3（2x －3）＝12－（x ＋4）；
（4）3y －5（6－y ）＝6y －7（9－y ）。

5．若x ＝2是关于x 的方程3－2（2m －3x ）＝5x ＋1的解，求关于y 的方程m （y －3）－4＝m （2y －1）的解。

6．方程号
21（x －16）＝－6（x －2）＋23x 与关于x 的方程号2x ＋3
m ＝x －4的解互为相反数，则m 的值为_________。

7．解方程：
（1）3 | x －1 |－2＝10；
（2）| 2x ＋3 |－| x －1 |＝1。

4.2.4 用去分母法解方程
【基础知识】
·知识点01 用去分母法解方程
去分母的步骤：
（1）找出所有分母的最小公倍数；
（2）方程两边都乘这个最小公倍数，约去分母
★细节剖析：
（1）不含分母的项，也必须乘分母的最小公倍数，千万不能漏乘。

（2）分子是一个多项式时，要先加上括号，再去分母。

·1·解分母为整数的一元一次方程
·例1· 解方程：（1）
2213-=-x x （2）16
3242=--+x x
·练习·
1．解一元一次方程1（x ＋1）＝1－5x 时，去分母正确的是（ ）
A ．3（x ＋1）＝1－2x
B ．2（x ＋1）＝1－3x
C ．2（x ＋1）＝6－3x
D ．3（x ＋1）＝6－2x
2．方程02
13=--x 可变形为（ ） A ．3－x －1＝0
B ．6－x －1＝0
C ．6－x ＋1＝0
D ．6－x ＋1＝2
3．在解方程
263241=--+x x 时，去分母得_________________。

4．当a ＝________时，
354-a 代数式的值是5。

5．我们规定能使等式4
242++=+n m n m 成立的一对数（m ，n ）为“好友数对”。

例如当m ＝2，n ＝－8 时，能使等式成立，则（2，－8）是“好友数对”若（a ，6）是“好友数对”，则a ＝_______。

6．解下列方程：
（1）
()()3271131+=+x x （2）13421+=+x x
（3）
6123--=+x x x （4）4
36521x x -=--
·2·解分母含小数的一元一次方程
·例2· 将57.0135.0=--x x 变形为7
1050730510-=-x x ，其错误的原因是（ ） A ．不应将分子、分母同时扩大10倍
B ．违背了等式的性质
C ．移项未改变符号 C ．移项未改变符号
D ．去括号出现符号错误
·练习· 1．把方程27.03.0=-x x 变形为27
10310=-x x 的依据是_________________________。

2．解方程：（1）57.0135.0=--x x （2）103
.02.017.07.0=--x x
3．在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a *b ＝
22b a +，则方程（3*2）（4*x ）＝8的解为x ＝___________。

4．已知关于x 的方程
6
232bk x a kx -+=+，无论k 为何值，方程的解总是x ＝1。

求a 、b 的值。

·知识点02 解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母，方程两边都乘各分母的最小公倍数。

（2）去括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

（3）移项，把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边。

（4）合并同类项，把方程化为ax ＝b （a ≠0）的形式。

（5）系数化为1，方程ax ＝b （a ≠0）的两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解x ＝
a
b 。

★细节剖析：
（1）解具体的一元一次方程时，并不是以上每个步骤都要用到，有分母则去分母，有括号则去括号。

（2）解一元一次方程时，并不一定按照一般步骤的顺序求解，有时要根据方程的形式、特点，灵活安排求解步骤，熟练后还可以合并
或简化步骤。

·例3· 解方程：14
1212110312-+=+--x x x 。

·练习·
解方程：
（1）4x ＋3＝5x －1； （2）2（x ＋1）－3（x －2）＝4＋x ； （3）6751413-=--x x 。

（4）16
16352212--=+--x x x ； （5）3122.05.03.0-=+x x 。