土木工程测量 习题复习
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1
155°30'
210°20
3
0
2
4
解：分析连接角：左角
αn=αn-1+βn-1800
点
0
1
2
3
4
连接角
200015’
15503 0’
210020’
坐标方位 角
800
100015’ 75045’
10605’
例2：求各边的坐标方位角
2
解：分析连接角：右角
75°
120°
1
70°
3 9 0 °
80°
4
αn=αn-1-βn+1800
A 180 05 00
右
74 19 06
B 254 24 06
示意图
A
B
O
图形：方向观测法记录手薄
2、逆时针注记
问题：α左= ？
α右=？
故有:α左= L -90° α右=270°- R 一测回竖直角: α=（α左+α右）/2
2、计算公式
（1）指标差:
x
1 (L R 360) 2
或
x
1 2
(右
解：全长 D3010300m
但Dl1l2 ...l10
mD ml n 5 10 16mm D3000.016(m)
例4
4.丈量倾斜距离 s 50 .00 m , 其中误差 m s 0.05 m
并测得倾斜角 15 0000，其中误差 m 30,
求相应水平距离 D 及其中误差。
解： D s cos
测段号 点
名
1
2
测站数 （ ni）
3
实测高差 /m 4
改 正 数 改正后高差
/m m
/m
5
6
高 程 /m 备 注
7
8
A
58.012
1
7
+4.363
-8
+4.355
1
62.367
2
2
3
+2.413
-4
+2.409 64.776
3
4
-3.121
-5
-3.126
3
61.650
4
6
+1.263
-7
+1.256
B
62.906
Σ
20
+4.918 -24
+4.894
辅助 计算
fh=+24mm nni 20
fh容12n122 05m 3 m
fh ni 1.2mm
首第假 fh先第点二一h每 ：设 i三推步和将h步算：一 i各是 高检根：出高(测H 差查据待各测 差山 段B值无改定点闭实H 站 h误正且 点的合地 i测A ）的各 )后高高差高的 以等 野的程程的量 4差及h.测 9外高的，调i计改 加已外 1， 观差计列整算f段 n8改h知H fi测(h正 算入h6水 容 正iB 数故 成的 ，表2.9数据22数 果由中准 0H 1，填04改 （6起。A 25得为 入,测 n即始否 18.正 改0计.2各点v： m 1正算i1测)数 A则 2后开表2m 段2的始0；为 的.00说 高，f测hn2： 差逐im 5站4n明 3m i数m ni计算
l t l tI 0 .007 30 0 .004 1 .25 10 5 30 ( 24 20 ) 0 .007
30 0 .0015 ( m )
以
2
4
作 lt
为
待
30
检温
m0
度时
.0015
，
m
待
1
检尺
.25
的 10
尺长方
5 30 ( t
程 2为4
c
)
m
不 考 虑 尺 长 改 正 数 受 温 度 的 影 响 ， 则 待 检 尺 在 标 准 温 度 20的 尺 长方程式为
解：圆周长
PD3.14 136.45010.388 中误 mP 差 mD3.14 1( 60.0)10.0m 3
结果可 P1写 0.38成 8 0.0(3m)
2水 . 准测 A进量 行 B得 从 ,到高 hAB 差 1.5 47m,中 6 误 mhA差 B0.01m,2
从 B到 C得高 hBC 差 5.74m,中 7 误 mhB差 C0.00m,9 求 A,C两点间的
• 所以点的横坐标通用值为 y=N*1000000+500000+y’
例：某国家高斯平面点P（2433586.693， 38514366.157）所表示的意义:
(1)表示点P在高斯平面上至赤道的距离; X=2433586.693m
(2)其投影带的带号为38 、P点离38带的 纵轴X轴的实际坐标Y=514366.157500000= 14366.157m
l t 30 m 0 .004 m 1 .25 10 5 30 ( t 20 c ) 0 .007 l t 30 m 0 .003 m 1 .25 10 5 30 ( t 20 c )
斜距l 的各项改正：
（1）尺长改正
lk
l l0
l
（2）温度改正 lt l(tt0)
前尺读数 (m)
后尺读 数(m)
尺段长 度(m)
尺段平 均长度
(m)
温度(℃) 高差(m)
温度改 高差改 正数(mm) 正数(mm)
尺长改正 数(mm)
改正后尺 段长度(m)
1 29.9460 0.0700 29.8760
26.2 +0.520
A -1
2
400
3
500
645
755
+2.2
755
745
（3）倾斜改正
lh
h2 2l
h4 8l3
故斜距 l经改正后为：lˆllkltlh
5 钢尺精密量距记录计算手
簿 钢尺型号：
钢尺编号：
检定日期： 检定拉力：
记录者： 前 尺：
尺长方程：lt 30 0.008 1.2 105 (t 20) 30
计 算： 后 尺：
日 期： 2003.8.15
尺测 段量 编次 号数
记录者：
测段 量测 编号 方向
整尺段 数
n
往4
AB 返4
距离量测结果
余尺段长 q(m)
总 长(m)
相对误差
平均值
K
(m)
15.309 15.347
135.309 135.345
135.328 1/3 500
往5
BC 返5
27.478 27.452
177.478 177.452
177.465 1/6 800
3.平面直角坐标
适用于：研究范围较小。
数学平面直角坐标 系
测量平面直角坐标系
坐标系的异同：
不同点： 1．测量上北方向为X轴正向， 东方向为Y轴正向。 2．角度方向顺时针度量；象限顺时针编号。
相同点: 数学中的三角公式在测量中可直接应用。
六.水准测量成果整理实例
【例】如图按图根水准测量施测某附合水准路线观测成 果略图。BM-A和BM-B为已知高程的水准点，图中箭 头表示水准测量前进方向，路线下方的数字为测得的两 点间的高差(以m为单位)，n为测站数，试计算待定点 1、2、3点的高程。
－4.5
+8.0
29.8810
∑
四、方位角推算
ba ab 180 b1 ba b 360 ab b 180 12 b1 1 180 ab b 1 2180
ij ab iL N180 β 为左角 ij ab iR N180 β 为右角
五、算例
五、算例
例1：求折线各段的坐标方位角
80°
200°15'
N6
L 6
1
N3 L31.51
3.中央子午线经度的计算 来判别点与中央子午线的 关系,进而判别y坐标值的符号+、-,进而计算Y坐标值 （y+500km)
4. ∑a-∑b=? ∑h=? 1.106 1.609 5.fh的闭合差的计算 fh的分配取整 6.表格计算及辅助计算
（2）投影带的划分
A．6°带的划分
观测值
v
vv
1
35
18
'28
"
2 35 18 '25 "
3 35 18 '26 "
4 35 18 '22 "
5 35 18 '24 "
x[]3518'2"5 n
bmbmaa和和bmbmbb为已知高程的水准点图中箭头表为已知高程的水准点图中箭头表示水准测量前进方向路线下方的数字为测得的两点间示水准测量前进方向路线下方的数字为测得的两点间的高差的高差以以mm为单位为单位nn为测站数试计算待定点为测站数试计算待定点11223点的高程
1.投影带有40带
2.投影带号N的计算
点
12
34
1
连接角
1200 900 800
700
坐标方
位角
750 1350 2250
3250
二、 一般函数的中误差
设函数 ZF (x 1 ,x2, ,xn) x i 为独立观测值，
则有全微分 d Z x F 1d1x x F 2d2x x F ndnx
转换成中误差关系式即误差传播定律：
2
2
2
m Z x F 1 m 1 2 x F 2 m 2 2 x F n m n 2
左）
对于顺时针注记的： 正确的竖直角α=(90°+x) -L=α左+x
α=R-(270°+x)=α右-x
（2）结论：取盘左盘右平均值，可消除指标差的影响。 一般规范规定，指标差变动范围，J6≤25"、J2≤15 "。
四、竖直角的观测及记录
2、竖直角观测和计算
a目 盘 b气 c.仪用计标指泡器盘算点标居竖 一 安右竖，水中置位直使准，在置角十管读盘 盘 测 盘 测再时字微数站瞄，丝动为右 左 点中螺准需R指 回 。上横旋目首 位 位 ，丝，标先 标 角 对精使点判 R R LL 置 2 中确竖，断置 2 9、切盘调竖L R 差 R 值 ： 0整准指节直： 1 2 2平目标竖角1 2 (LR 为 (7。标水盘计R 为 0L 盘顶准指算 L左端管标公3 ： 1 ： 位。气水式6 )置调泡准：8 )0瞄节居管0准竖中，，使
l tI 30 m 0 .004 m 1 .25 10 5 30 ( t 20 c ) m
待 检 钢 尺 名 义 长 30， 比 长 时 温 度 为 24， 当 终 端 对 齐 后 其 零 刻 划 线 对 准 标 准 尺 的 0。 007处 ， 求 待 检 尺 的 尺 长 方 程 式 24时 待 检 尺 的 尺 长 为
由于 fh2如4m ：H， m1|=fHhA|+|hf1h=容5|8， .01故 2+4.野 355外 =62.观 367测 精 m 成 度果 要符 求合
3、测回法记录格式
测站
竖盘 位置
目标
水平度 盘读数
半测回 一测回 角值 角值
左
A 00 04 18
74 19 24
B 74 23 42
O
74 19 15
(3). 点在高斯平面直角坐标系中的坐标值
• 理论上中央子午线的投影是X轴， 赤道的投影是Y轴，其交点是坐 标原点。
点的X坐标是点至赤道的距离； 点的Y坐标是点至中央子午线的距离，
设为y’；y’有正有负。自然值
• 为了避免Y坐标出现负值，把原 点向西平移500公里。
• 为了区分不同投影带中的点，在 点的Y坐标值上加带号N
备注
3．测量各桩顶间高差。 4．内业成果整理
某钢尺的尺长方程式：
lt l0 ll0(tt0)
l t ——钢尺在t温度时的实际长度；
l 0 ——钢尺的名义长度
l ——检定时，钢尺实际长与名义长之差；
——钢尺的膨胀系数
t——钢尺使用时的温度；
t 0 ——钢尺检定时的温度
钢尺的鉴定
与标准尺比长 示 例 ： 已 知 标 准 尺 I号 在 拉 力 98N 下 的 平 量 尺 长 方 程 式 为 ：
D cos cos 15 0.9659
s
D s sin 50 sin 15 12 .9410
mD
D s
2
m
2 s
D
2
m
Biblioteka Baidu
2 s
0.9659 2 0.05 2 ( 12 .9410 ) 2 30 2 0.048 m 206265
例：设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下 表，试求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。
为限制高斯投影离中央子午线愈远，长度变 形愈大的缺点，从经度0°开始，将整个地球分 成60个带，6°为一带。
计算公式： λ =6N-3 λ——中央子午线经度, N——投影带号。
标准地形图的分幅和编号
0 6N3
B．3°带的划分
若仍不能满足精度要求,可进行3 °带的 划分。
3 °带计算公式：
λ =3N λ——中央子午线经度, N——投影带号。
差及其中误差。
解hA： C hAB hBC 1.5 475 6.747 2.1 22m3 mhA Cm2 hABm2 hB C0.01220.00290.01m5 hAC 2.1 220 3.01(m 5 )
3.用长30m得钢尺丈量了例310个尺段，若每尺段的 中误差为5mm，求全长D及其中误差。
求任意函数中误差得步骤
• 列函数式 • 全微分 • 求出中误差关系式
常用函数的中误差公式
1.倍数函Z数kx mZ kmx 2.和差函Z数x1x2 mZ mx21mx22 3.线性函Z数k1x1k2x2...knxn
mZ k12mx21k22mx22 ...k2nmx2n
例1、2
1.量建得筑某物圆得形园建周筑长物及得其直中径误D差=3。4.50m,其中误差mD0.0m 1,求
读数为L。
测 目 竖盘 度盘读数 半测回竖直角
站 标 位置
°ˊ ″
°ˊ ″
左 P右 O左 P右
71 12 36 288 47 00
+18 47 21 +18 47 00
指标差 一测回竖直角
″
°ˊ ″
-12 +18 47 12
4．钢尺一般量距记录手簿
钢尺编号：
量测日期： 量测者：
尺长方程： lt 30 0.008 1.2 105 (t 20) 30
155°30'
210°20
3
0
2
4
解：分析连接角：左角
αn=αn-1+βn-1800
点
0
1
2
3
4
连接角
200015’
15503 0’
210020’
坐标方位 角
800
100015’ 75045’
10605’
例2：求各边的坐标方位角
2
解：分析连接角：右角
75°
120°
1
70°
3 9 0 °
80°
4
αn=αn-1-βn+1800
A 180 05 00
右
74 19 06
B 254 24 06
示意图
A
B
O
图形：方向观测法记录手薄
2、逆时针注记
问题：α左= ？
α右=？
故有:α左= L -90° α右=270°- R 一测回竖直角: α=（α左+α右）/2
2、计算公式
（1）指标差:
x
1 (L R 360) 2
或
x
1 2
(右
解：全长 D3010300m
但Dl1l2 ...l10
mD ml n 5 10 16mm D3000.016(m)
例4
4.丈量倾斜距离 s 50 .00 m , 其中误差 m s 0.05 m
并测得倾斜角 15 0000，其中误差 m 30,
求相应水平距离 D 及其中误差。
解： D s cos
测段号 点
名
1
2
测站数 （ ni）
3
实测高差 /m 4
改 正 数 改正后高差
/m m
/m
5
6
高 程 /m 备 注
7
8
A
58.012
1
7
+4.363
-8
+4.355
1
62.367
2
2
3
+2.413
-4
+2.409 64.776
3
4
-3.121
-5
-3.126
3
61.650
4
6
+1.263
-7
+1.256
B
62.906
Σ
20
+4.918 -24
+4.894
辅助 计算
fh=+24mm nni 20
fh容12n122 05m 3 m
fh ni 1.2mm
首第假 fh先第点二一h每 ：设 i三推步和将h步算：一 i各是 高检根：出高(测H 差查据待各测 差山 段B值无改定点闭实H 站 h误正且 点的合地 i测A ）的各 )后高高差高的 以等 野的程程的量 4差及h.测 9外高的，调i计改 加已外 1， 观差计列整算f段 n8改h知H fi测(h正 算入h6水 容 正iB 数故 成的 ，表2.9数据22数 果由中准 0H 1，填04改 （6起。A 25得为 入,测 n即始否 18.正 改0计.2各点v： m 1正算i1测)数 A则 2后开表2m 段2的始0；为 的.00说 高，f测hn2： 差逐im 5站4n明 3m i数m ni计算
l t l tI 0 .007 30 0 .004 1 .25 10 5 30 ( 24 20 ) 0 .007
30 0 .0015 ( m )
以
2
4
作 lt
为
待
30
检温
m0
度时
.0015
，
m
待
1
检尺
.25
的 10
尺长方
5 30 ( t
程 2为4
c
)
m
不 考 虑 尺 长 改 正 数 受 温 度 的 影 响 ， 则 待 检 尺 在 标 准 温 度 20的 尺 长方程式为
解：圆周长
PD3.14 136.45010.388 中误 mP 差 mD3.14 1( 60.0)10.0m 3
结果可 P1写 0.38成 8 0.0(3m)
2水 . 准测 A进量 行 B得 从 ,到高 hAB 差 1.5 47m,中 6 误 mhA差 B0.01m,2
从 B到 C得高 hBC 差 5.74m,中 7 误 mhB差 C0.00m,9 求 A,C两点间的
• 所以点的横坐标通用值为 y=N*1000000+500000+y’
例：某国家高斯平面点P（2433586.693， 38514366.157）所表示的意义:
(1)表示点P在高斯平面上至赤道的距离; X=2433586.693m
(2)其投影带的带号为38 、P点离38带的 纵轴X轴的实际坐标Y=514366.157500000= 14366.157m
l t 30 m 0 .004 m 1 .25 10 5 30 ( t 20 c ) 0 .007 l t 30 m 0 .003 m 1 .25 10 5 30 ( t 20 c )
斜距l 的各项改正：
（1）尺长改正
lk
l l0
l
（2）温度改正 lt l(tt0)
前尺读数 (m)
后尺读 数(m)
尺段长 度(m)
尺段平 均长度
(m)
温度(℃) 高差(m)
温度改 高差改 正数(mm) 正数(mm)
尺长改正 数(mm)
改正后尺 段长度(m)
1 29.9460 0.0700 29.8760
26.2 +0.520
A -1
2
400
3
500
645
755
+2.2
755
745
（3）倾斜改正
lh
h2 2l
h4 8l3
故斜距 l经改正后为：lˆllkltlh
5 钢尺精密量距记录计算手
簿 钢尺型号：
钢尺编号：
检定日期： 检定拉力：
记录者： 前 尺：
尺长方程：lt 30 0.008 1.2 105 (t 20) 30
计 算： 后 尺：
日 期： 2003.8.15
尺测 段量 编次 号数
记录者：
测段 量测 编号 方向
整尺段 数
n
往4
AB 返4
距离量测结果
余尺段长 q(m)
总 长(m)
相对误差
平均值
K
(m)
15.309 15.347
135.309 135.345
135.328 1/3 500
往5
BC 返5
27.478 27.452
177.478 177.452
177.465 1/6 800
3.平面直角坐标
适用于：研究范围较小。
数学平面直角坐标 系
测量平面直角坐标系
坐标系的异同：
不同点： 1．测量上北方向为X轴正向， 东方向为Y轴正向。 2．角度方向顺时针度量；象限顺时针编号。
相同点: 数学中的三角公式在测量中可直接应用。
六.水准测量成果整理实例
【例】如图按图根水准测量施测某附合水准路线观测成 果略图。BM-A和BM-B为已知高程的水准点，图中箭 头表示水准测量前进方向，路线下方的数字为测得的两 点间的高差(以m为单位)，n为测站数，试计算待定点 1、2、3点的高程。
－4.5
+8.0
29.8810
∑
四、方位角推算
ba ab 180 b1 ba b 360 ab b 180 12 b1 1 180 ab b 1 2180
ij ab iL N180 β 为左角 ij ab iR N180 β 为右角
五、算例
五、算例
例1：求折线各段的坐标方位角
80°
200°15'
N6
L 6
1
N3 L31.51
3.中央子午线经度的计算 来判别点与中央子午线的 关系,进而判别y坐标值的符号+、-,进而计算Y坐标值 （y+500km)
4. ∑a-∑b=? ∑h=? 1.106 1.609 5.fh的闭合差的计算 fh的分配取整 6.表格计算及辅助计算
（2）投影带的划分
A．6°带的划分
观测值
v
vv
1
35
18
'28
"
2 35 18 '25 "
3 35 18 '26 "
4 35 18 '22 "
5 35 18 '24 "
x[]3518'2"5 n
bmbmaa和和bmbmbb为已知高程的水准点图中箭头表为已知高程的水准点图中箭头表示水准测量前进方向路线下方的数字为测得的两点间示水准测量前进方向路线下方的数字为测得的两点间的高差的高差以以mm为单位为单位nn为测站数试计算待定点为测站数试计算待定点11223点的高程
1.投影带有40带
2.投影带号N的计算
点
12
34
1
连接角
1200 900 800
700
坐标方
位角
750 1350 2250
3250
二、 一般函数的中误差
设函数 ZF (x 1 ,x2, ,xn) x i 为独立观测值，
则有全微分 d Z x F 1d1x x F 2d2x x F ndnx
转换成中误差关系式即误差传播定律：
2
2
2
m Z x F 1 m 1 2 x F 2 m 2 2 x F n m n 2
左）
对于顺时针注记的： 正确的竖直角α=(90°+x) -L=α左+x
α=R-(270°+x)=α右-x
（2）结论：取盘左盘右平均值，可消除指标差的影响。 一般规范规定，指标差变动范围，J6≤25"、J2≤15 "。
四、竖直角的观测及记录
2、竖直角观测和计算
a目 盘 b气 c.仪用计标指泡器盘算点标居竖 一 安右竖，水中置位直使准，在置角十管读盘 盘 测 盘 测再时字微数站瞄，丝动为右 左 点中螺准需R指 回 。上横旋目首 位 位 ，丝，标先 标 角 对精使点判 R R LL 置 2 中确竖，断置 2 9、切盘调竖L R 差 R 值 ： 0整准指节直： 1 2 2平目标竖角1 2 (LR 为 (7。标水盘计R 为 0L 盘顶准指算 L左端管标公3 ： 1 ： 位。气水式6 )置调泡准：8 )0瞄节居管0准竖中，，使
l tI 30 m 0 .004 m 1 .25 10 5 30 ( t 20 c ) m
待 检 钢 尺 名 义 长 30， 比 长 时 温 度 为 24， 当 终 端 对 齐 后 其 零 刻 划 线 对 准 标 准 尺 的 0。 007处 ， 求 待 检 尺 的 尺 长 方 程 式 24时 待 检 尺 的 尺 长 为
由于 fh2如4m ：H， m1|=fHhA|+|hf1h=容5|8， .01故 2+4.野 355外 =62.观 367测 精 m 成 度果 要符 求合
3、测回法记录格式
测站
竖盘 位置
目标
水平度 盘读数
半测回 一测回 角值 角值
左
A 00 04 18
74 19 24
B 74 23 42
O
74 19 15
(3). 点在高斯平面直角坐标系中的坐标值
• 理论上中央子午线的投影是X轴， 赤道的投影是Y轴，其交点是坐 标原点。
点的X坐标是点至赤道的距离； 点的Y坐标是点至中央子午线的距离，
设为y’；y’有正有负。自然值
• 为了避免Y坐标出现负值，把原 点向西平移500公里。
• 为了区分不同投影带中的点，在 点的Y坐标值上加带号N
备注
3．测量各桩顶间高差。 4．内业成果整理
某钢尺的尺长方程式：
lt l0 ll0(tt0)
l t ——钢尺在t温度时的实际长度；
l 0 ——钢尺的名义长度
l ——检定时，钢尺实际长与名义长之差；
——钢尺的膨胀系数
t——钢尺使用时的温度；
t 0 ——钢尺检定时的温度
钢尺的鉴定
与标准尺比长 示 例 ： 已 知 标 准 尺 I号 在 拉 力 98N 下 的 平 量 尺 长 方 程 式 为 ：
D cos cos 15 0.9659
s
D s sin 50 sin 15 12 .9410
mD
D s
2
m
2 s
D
2
m
Biblioteka Baidu
2 s
0.9659 2 0.05 2 ( 12 .9410 ) 2 30 2 0.048 m 206265
例：设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下 表，试求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。
为限制高斯投影离中央子午线愈远，长度变 形愈大的缺点，从经度0°开始，将整个地球分 成60个带，6°为一带。
计算公式： λ =6N-3 λ——中央子午线经度, N——投影带号。
标准地形图的分幅和编号
0 6N3
B．3°带的划分
若仍不能满足精度要求,可进行3 °带的 划分。
3 °带计算公式：
λ =3N λ——中央子午线经度, N——投影带号。
差及其中误差。
解hA： C hAB hBC 1.5 475 6.747 2.1 22m3 mhA Cm2 hABm2 hB C0.01220.00290.01m5 hAC 2.1 220 3.01(m 5 )
3.用长30m得钢尺丈量了例310个尺段，若每尺段的 中误差为5mm，求全长D及其中误差。
求任意函数中误差得步骤
• 列函数式 • 全微分 • 求出中误差关系式
常用函数的中误差公式
1.倍数函Z数kx mZ kmx 2.和差函Z数x1x2 mZ mx21mx22 3.线性函Z数k1x1k2x2...knxn
mZ k12mx21k22mx22 ...k2nmx2n
例1、2
1.量建得筑某物圆得形园建周筑长物及得其直中径误D差=3。4.50m,其中误差mD0.0m 1,求
读数为L。
测 目 竖盘 度盘读数 半测回竖直角
站 标 位置
°ˊ ″
°ˊ ″
左 P右 O左 P右
71 12 36 288 47 00
+18 47 21 +18 47 00
指标差 一测回竖直角
″
°ˊ ″
-12 +18 47 12
4．钢尺一般量距记录手簿
钢尺编号：
量测日期： 量测者：
尺长方程： lt 30 0.008 1.2 105 (t 20) 30