2019年高考数学(理科·重点生)高考专题辅导专题跟踪检测(六) 三角函数的图象与性质

专题跟踪检测（六） 三角函数的图象与性质

一、全练保分考法——保大分

1．(2019届高三·广州调研)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3·sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )

A.π

6 B.π12 C.π4

D.π3

解析：选A 由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋φ)＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝

k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π

6

. 2．函数y ＝cos x －cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦

⎤－π2，π

2的图象大致为( )

解析：选B 因为函数y ＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π

2，所以此函数为偶函数，故排除A ；y ＝－2cos 2

x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98

，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，因为0≤cos x ≤1，所以当cos x ＝14时，y max ＝9

8，当cos x ＝1时，y min ＝0，故排除C ；y ′＝4sin x cos x

－sin x ＝sin x (4cos x －1)，令y ′＝0，得sin x ＝0或cos x ＝14，而cos x ＝1

4在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上有两解；sin x ＝0在⎣⎡⎦⎤－π2，π

2上有一解，经验证，这些解均为极值点，所以y ＝cos x －cos 2x 在⎣⎡⎦

⎤－π2，π

2上有三个极值点，排除D.故选B.

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4

解析：选B ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋5

2

，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.

4．(2018·唐山模拟)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π

6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )

A ．x ＝0

B ．x ＝π

2

C ．x ＝π

6

D ．x ＝－π

12

解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象向左平移π

6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π6＋k π

2(k ∈Z)，令k ＝0，得x ＝π6

.

5．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π

3＋4cos 2x －2－33x －π⎝⎛⎭⎫

x ∈⎣⎡⎦⎤－11π12

，19π12所有零点之和为

( )

A.2π

3 B.4π3 C ．2π

D.8π3

解析：选B 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π

3＋4cos 2x －2－33x －π⎝⎛⎭⎫

x ∈⎣⎡⎦⎤－11π12

，19π12的零点可转化为函数g (x )＝cos ⎝

⎛⎭⎫2x －2π

3＋4cos 2x －2与h (x )＝3

3x －π

的交点的横坐标．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋4cos 2x －2＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋2cos 2x ＝32sin 2x ＋3

2cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，h (x )＝33x －π＝1

x －π

3，可得函数g (x )，h (x )的图象都关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称．作出函数g (x )，h (x )的图象如图所示．

结合图象可得在区间⎣⎡⎦⎤－11π12，19π12上，函数g (x )，h (x )的图象有4个交点，且关于点

⎝⎛⎭⎫π3，0对称．所以所有零点之和为2×π3＋2×π3＝4π3

.

6．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π

4 B.π2 C.3π4

D ．π

解析：选C 法一：∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴当x －π

4∈⎣⎡⎦

⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎡⎦

⎤－π4，3π4时，

y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减，∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π

4是f (x )在原点附近的单调减区间，

结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π

4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π

4

.故选C.

法二：f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

4. 于是，由题设得f ′(x )≤0，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

4≥0在区间[0，a ]上恒成立． 当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π

4，a ＋π4， 所以a ＋π4≤π，即a ≤3π

4，

故所求a 的最大值是3π

4

.故选C.

7．(2018·惠州调研)已知tan α＝1

2，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝____________. 解析：法一：cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π

2知α为第三象限角，