2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试数学(理)试题(解析版)

2022届黑龙江省哈尔滨第三中学高三第四模拟考试
数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合()
22
,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭
，则A 中元素的个数为（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
2．已知数列{}n a 是公比为实数的等比数列，11a =，525a =，则3a =（ ） A ．13
B ．5-
C ．5±
D ．5
3．已知不重合的两条直线m ，n 和两个不重合的平面α，β，则下列选项正确的是（ ） A ．若m n ∥，m α∥且αβ∥，则n β∥ B ．若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥ C ．若m n ⊥，m α⊥且n β∥，则αβ∥ D ．若m α∥，n β⊥且αβ⊥，则m n ∥
4．《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测.推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸，地支分别为子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥.该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，正值哈尔滨市第三中学建校100周年，那么据此推算，哈三中建校的年份是（ ）
A ．癸卯年
B ．癸亥年
C ．辛丑年
D ．辛卯年
5．若()45P A =，()2
5P B =，()13
P AB =，则()P B A =（ ） A ．
512
B ．5
6
C ．1
2
D ．
825
6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图为直角梯形，侧视图为等腰三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．23
B ．43
C ．2
D ．4
7．设π2π2
cos a xdx -=⎰，则二项式5
1ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中第三项的系数为（ ） A ．80-
B ．40
C ．10
D ．10-
8．已知向量()sin ,cos a x x =，(),1b m =，函数()f x a b =⋅的图象关于直线π
12
x =对称，则实数m 的值为（ ） A ．31B ．31C ．23D ．23+9．已知()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,1x ∈时，()5e x
f x a =+，若()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，
则20195f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ） A ．3e e + B ．3e e -- C ．3e e - D ．3e e -+
10．已知抛物线C ：24y x =，A 为C 上的动点，直线l 为C 在点A 处的切线，则点()4,0B 到l 距离的最小值为（ ） A 3B ．23C ．3
D ．4
11．已知命题p ：若a b >，则a a b b ；命题q ：若方程()()11x a x +-=只有一个实根，则13a -<<.下
列命题中是真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧
C ．p q ⌝∧⌝
D ．p q ∧⌝
12．在
ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos 3sin cos a B b A b A =-，则(
)2
a b ab
+的取值范围
是（ ） A ．[]3,5 B ．[]4,6
C ．4,213⎡+⎣
D ．4,215⎡⎤⎣⎦
二、填空题
13．在利用秦九韶算法求()432
54321f x x x x x =-+-+当3x =的值时，把多项式函数改写成如下形式：
()()()()54321f x x x x x =
-+-+，从内到外逐层计算一次多项式的值，其中记0
5v
=，154v x =-，以此类
推，则计算得2v 的数值为___________.
14．设直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2
212
x y -=相交于不同的两点A ，B ，则k 的取值范围为___________.
15．正四棱锥P ABCD -中，M 为棱AB 上的点，且3PA AB AM ==，设平面P AD 与平面PMC 的交线为l ，则异面直线l 与BC 所成角的正切值为___________. 三、双空题
16．曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线也是曲线e x y =的切线，则m =___________；若此公切线恒在函数()212e 31e e x f x a x x ⎛⎫
=-+-+- ⎪⎝⎭
的图象上方，则a 的取值范围是___________.
四、解答题
17．哈尔滨红肠已有近百年历史，是哈尔滨特产，也是黑龙江特产的代表，深受广大民众的喜爱，哈尔滨红肠是用大兴安岭的老果木熏制而成的，因此它除了肉香还会散发着浓郁的果木香.某调查机构从年龄在
[)20,70岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买哈尔滨红肠进行调查，结果如下表：
(1)若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关？
(2)用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购
买哈尔滨红肠的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
参考数据：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
()20P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．如图，在多面体ABCDEF 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，EAD 为正三角形，四边形ABCD 为菱形，且π
3
DAB ∠=
，DE CF ∥，2DE CF =.
(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求二面角E -AF -C 的余弦值.
19．已知数列{}n a ，13a =，点()1,n n a a +在曲线58
23
x y x -=-上，且12n
n b a =-. (1)求证：数列{}n b 是等差数列； (2)已知数列{}n c 满足1
2
2
n b n n c b +=⋅，记n S 为数列{}n c 的前n 项和，求n S ，并证明：当2n ≥时，6n S >.
20．已知圆1C ：(2
2
7
1x y +=，圆2C ：(2
27
49x y +=，动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切.
(1)求动圆圆心E 的轨迹方程；
(2)过点()0,2M 的直线与动圆圆心E 的轨迹相交于A ，B 两点，在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与M 不同的定点N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
21．在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()
()()()
2
00000002!
!
n n
f x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+
-+⋅⋅⋅+
-+⋅⋅⋅
（其中(
)
()n f x 表示()f x 的n 次导
数），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式. (1)分别求e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：i e 10π+=.（其中i 为虚数单位）；
(3)若30,2x ⎛⎫
∀∈ ⎪⎝⎭，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围.（参考数据5ln 0.92≈）
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为12cos 2sin x y α
α
=+⎧⎪⎨⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系中，直线2C ：2sin 16πρθ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭.
(1)求曲线1C 上的点与直线2C 上的点距离的最小值；
(2)将曲线1C 向左平移1
3C ，再将3C 经过伸缩变换12x x
y y =⎧''⎪
⎨=⎪⎩
后得到曲
线4C ，求曲线4C 上的点到直线2C 距离的最大值.
23．已知函数()2
f x x mx n =+-.
(1)若()11f ≤，()22f ≤，求证：75117m n -+≤；
(2)若函数()f x 的最小值为1
2
-，且实数a ，b ，c 满足22341ab bc ac m n ++=+-，求222435a b c ++的最小
值.
参考答案：
1．C 【解析】 【分析】
由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤. 【详解】
解：由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤≤ 又,x Z y Z ∈∈,
所以集合()()()()()()()()()()(){}=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A ------- 共有11个元素. 故选：C 2．D 【解析】 【分析】
由条件结合等比数列通项公式求出公比，由此可求3a . 【详解】
设数列{}n a 的公比为q ， 因为11a =，525a =， 所以425q =，即25q =， 所以2315a a q ==， 故选：D. 3．B 【解析】 【分析】
对于A ，当m n ∥，m α∥且αβ∥，则n 可能在β 内，判断A; 对于B ，根据平面的法向量可进行判断；对于C ，考虑 ,αβ可能相交，也可能平行，即可判断；对于D ，考虑到,m n 可能平行或异面或相交，即可判断， 【详解】
对于A ，当m n ∥，m α∥且αβ∥，则n 可能在β 内，故A 错误；
对于B ，因为m α⊥，故在m 上可取m 作为α 的法向量，同理在n 上可取n 作为β 的法向量，因为αβ⊥，故0m n ⋅=，即得m n ⊥，故B 正确；
对于C ，当m n ⊥，m α⊥且n β∥时，,αβ可能相交，也可能平行，故C 错误； 对于D ，当m α∥，n β⊥且αβ⊥时，,m n 可能平行或异面或相交，故D 错误， 故选：B 4．B 【解析】 【分析】
根据天干和地支的周期计算可得结果. 【详解】
依题意可知，天干的周期为10，地支的周期为12， 因为
100
1010
=，所以哈三中建校的年份的天干也是癸； 因为1008124=⨯+，所以哈三中建校的年份的地支为亥， 哈三中建校的年份是“癸亥年”. 故选：B. 5．A 【解析】 【分析】
根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】 因为()45P A =
，()2
5P B =，()13
P AB =， 所以()()()15
34125P AB P B A P A =
==， 故选：A 6．B 【解析】 【分析】
想象并复原几何体的直观图，利用三视图的数据，求得原几何体的体积，即得答案. 【详解】
由几何题的三视图，复原几何体为如图正方体中的三棱锥P ABC - ,
由三视图可知正方体的棱长为2，
故三棱锥顶点P 位于正方体相应的棱的中点，底面为ABC ,高为正方体棱长2， 则几何体的体积为114
222323
V =⨯⨯⨯⨯= ， 故选：B 7．B 【解析】 【分析】 根据π2π2
cos a xdx -=⎰
求得a ，再根据55
112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
直接求得第三项的系数，可得答案. 【详解】
π
2π2
ππ
cos sin sin()222
a xdx -==--=⎰，
故5
5
112ax x x x =⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中的第三项的系数为22
5C (2)40-= , 故选：B 8．C 【解析】 【分析】
先根据平面向量数量积的坐标表示得到函数()f x 的表达式，再根据()π6f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，赋值0x =，即可求
出m 的值． 【详解】
()sin cos f x a b m x x =⋅=+，因为函数()f x a b =⋅的图象关于直线π12x =
对称，所以()π6f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，令0x =，()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即13
12m =，解得：23m =
故选：C ．
9．B 【解析】 【分析】
根据函数的周期和奇偶性推得(2)0f =，继而化简()3202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
可求得3
e a =，
化简20195f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
等于1
()5
f -，即可求得答案.
【详解】
由题意可得，()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数， 故(4)()()f x f x f x +==-- ， 故(2)(24)(2),(2)0f f f f =-+=-= ， 又
20233
40455
=+，故()3
202320222e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
即()3322e 5f f ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
， 即332e 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而当()0,1x ∈时，()5e x
f x a =+，
故333e 2e ,e 35f a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，则当()0,1x ∈时，()53
e e x
f x =+，
故3
201919191(400)(4)()e e 5555f f f f ⎛⎫=+=-=-=-- ⎪⎝⎭
， 故选：B 10．B 【解析】 【分析】
设2(,2)A t t ，根据条件求出抛物线在点A 处的切线方程，再求点B 到直线l 的距离及其最小值. 【详解】
因为点A 在抛物线C ：24y x =上，故可设2(,2)A t t ， 因为抛物线C 在点A 处的切线不为0，
故可设抛物线C 在点A 处的切线方程为()2
2x t m y t -=-，
所以22
4(2)y x x t m y t ⎧=⎨-=-⎩有且只有一组解， 所以方程224480y my t mt --+=只有一个根， 所以221632160m mt t -+=，故m t =，
所以抛物线C 在点A 处的切线l 的方程为：20x ty t -+=，
所以()4,0B 到直线l 的距离2222
2
2
|4|431111
t t d t t
t
t ++=
=
=++
+++
所以23d ≥，当且仅当2t =±时等号成立， 所以点()4,0B 到l 距离的最小值为23. 故选：B. 11．A 【解析】 【分析】
判断命题,p q 的真假，根据复合命题的真假判断方法判断即可. 【详解】
当0a b >≥时，22,a a a b b
b ，又22a b >，所以a a b b ， 当0a b 时，22,a a a b b b ，又22a b <，所以a a
b b ，
当0a b >>时，0
a a
b b ，
所以当a b >时，a a
b b ，故命题p 为真命题，
由方程()()11x a x +-=只有一个实根等价于方程1
1
x a x +=-只有一个实根， 所以函数y x a =+与函数1
||1
y x =
-的图象有且只有一个交点， 1
(0,1)(1,)11
=1
1(,1)(0,1)
1
x x y x x x ∞∞⎧∈⋃+⎪⎪-=⎨-⎪∈--⋃⎪--⎩，
作函数1
||1
y x =
-的图象，
观察图象可得当直线y x a =+位于12,l l 之间时，函数y x a =+与函数1
||1
y x =-的图象有且只有一个交点， 其中1l 与1
(10)1
y x x =-<<--有且只有一个交点，设11:l y x a =+ 即111
(0)1
x a a x +=
<--只有一个解， 所以211(1)10x a x a ++++=只有一个解，所以2
11(1)4(1)0a a +-+=，
所以11a =-
2l 与1
(1)1
y x x =
<---有且只有一个交点， 即221
(0)1
x a a x +=
>--只有一个解， 所以222(1)10x a x a ++++=只有一个解，所以2
22(1)4(1)0a a +-+=，
所以23a =，
所以方程()()11x a x +-=只有一个实根，则13a -<<，命题q 为真命题， 所以p q ∧为真命题，命题p q ⌝∧，p q ⌝∧⌝，p q ∧⌝为假命题. 故选：A. 12．C 【解析】 【分析】
根据正弦定理可得，sin 3sin sin C A B =，由基本不等式可求出
()2
a b ab
+的最小值，再根据余弦定理以及正
弦定理可将
()2
a b ab
+化成关于角C 的函数，利用三角函数的性质即可求出最大值，从而得到取值范围．
【详解】
因为cos 3sin cos a B b A b A =-，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin cos A B B A B A =-，即sin 3sin sin C A B =．
()
2
22244a b a b ab ab
ab
ab ab
+++=≥=，当且仅当a b =时取等号．
因为2
2
2
2cos c a b
ab C =+-，所以
()2
222222cos 222cos a b a b ab c ab C c C ab
ab ab ab
++++==+=++
()2sin
22cos 3sin 2cos 22sin sin C
C C C C φA B
=++=++++，其中2πtan ,0,32ϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，而0πC <<，
所以当π2C ϕ+=时，()2a b ab +
取最大值2()2
a b ab
+
的取值范围是4,2⎡⎣． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查正余弦定理的应用，以及利用三角函数的性质求范围，解题关键是通过消元思想将所求式子转化成关于角C 的函数，再结合辅助角公式求出其最大值． 13．36 【解析】 【分析】
根据表达式由2v 与1v 的关系求解即可. 【详解】
因为05v =，154v x =-，3x =， 所以111v =，又213v v x =+， 所以236v =， 故答案为：36. 14
．(1,)((2222
-⋃-⋃ 【解析】 【分析】
直线与双曲线有两个交点即联立方程后判别式要大于0，且直线不与渐近线平行. 【详解】
联立22
1
12
y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y ：22(12)440---=k x kx ，22Δ1616(12)0k k =+->， 得到11k -<<，又直线1y kx =+
不与渐近线y =平行，
所以(1,(k ∈-⋃⋃.
故答案为：(1,((2222
--⋃-⋃. 15
【解析】 【分析】
连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ，则可得l 即为直线PN ，然后可得PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角，设3=6PA AB AM ==，然后在PAN △中利用余弦定理求解即可. 【详解】
连接CM 并延长交DA 的延长线于点N ，则点N 为平面P AD 与平面PMC 的公共点， 所以l 即为直线PN ，因为//BC AD ，所以PND ∠或其补角为异面直线l 与BC 所成角， 设3=6PA AB AM ==， 由NAM
NDC 可得
1
3
NA AM ND DC ==，所以3,9NA ND ==， 在PAN △中，由余弦定理可得222
12cos 369263632PN PA NA PA NA PAN ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以37PN =
所以222cos 223737PN NA PA PNA PN NA +-∠===⋅⨯⨯，所以3sin 7
PNA ∠=，3
tan PNA ∠=
所以异面直线l 与BC 3
316．
2
e
2e a <- 【解析】 【分析】
根据导数的几何意义可求出m ；将此公切线恒在函数()2
12e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭
的图象上方，转化为
231e x x x a ++<恒成立，再构造函数231
()e x
x x g x ++=，利用导数求出最小值即可得解.
【详解】
由ln y m x =+得1
y x
'=
， 设曲线ln y m x =+过点()2,0-的切线的切点为00(,ln )x m x +，
则切线的斜率为
01x ，切线方程为000
1
ln ()y m x x x x --=-， 由于该切线过点(2,0)-，所以00
2
ln 1m x x --=-
-， 设该切线与曲线e x y =切于11(,)x y ，因为e x y =，所以e x y '=，所以该切线的斜率为1e x ，
所以切线方程为111e e ()x x
y x x -=-，将(2,0)-代入得1110e e (2)x x x -=--，得11x =-，
所以
1011e e x x ==，所以0e x =，所以ln e=m --21e
--，所以2e m =. 由以上可知该公切线方程为11
(1)e e y x -=+，即12e e y x =+，
若此公切线恒在函数()2
12e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭
的图象上方，
则2
1212e (3)1e e e e x x a x x +>-+-+-，即231e x
x x a ++<恒成立， 令231
()e x x x g x ++=，则()
22(23)e (31)e ()e x x x x x x g x +⋅-++⋅'=22e x
x x --+=， 令()0g x '>，得220x x --+>，得21x -<<， 令()0g x '<，得220x x --+>，得2x <-或1x >，
所以()g x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 因为0x >时，()0>g x ，所以当2x =-时，()g x 取得最小值2(2)e g -=-. 所以2e a <-. 【点睛】
关键点点睛：求解第二个空时，转化为不等式恒成立，利用导数求解是解题关键. 17．(1)列联表见解析，有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关． (2)分布列见解析，()3
2
E X =． 【解析】 【分析】
（1）根据调查表即可完成列联表，再通过比较2K 的观测值与5.024的大小关系，即可判断； （2）根据题意可知，13,2X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，即可得到分布列以及数学期望． (1) 由题可知，
2
K 的观测值()2
1002510155050
5.556 5.024*********
k ⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯， 所以有97.5%的把握认为购买哈尔滨红肠与人的年龄有关． (2)
由题意可知，从年龄在[)60,70的所有游客中随机抽取1人，打算购买哈尔滨红肠的概率为1
2
p =
，所以13,2X
B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()333
C 1C ,0,1,2,328k
k P X k k ⎛⎫==== ⎪⎝⎭
． 所以()()()()1331
0,1,2,3P X P X P X P X ========，X 的分布列为
()13322
E X np ==⨯
=. 18．(1)证明见解析
(2) 【解析】 【分析】
（1）取AD ，DE ，BC 的中点O ，M ，N ，连接OM ，MF ，FN ，证明OM FN ∥，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAF 和平面ACF 的法向量，根据向量的夹角公式求得答案. (1)
证明：如图，取AD ，DE ，BC 的中点O ，M ，N ，连接OM ，MF ，FN ，
则1
,2
MD CF MD ED FC =
=∥，故四边形MDCF 为平行四边形， 所以,MF CD MF CD =∥
因为,ON CD ON CD =∥ ，故,MF ON MF ON =∥， 故四边形OMFN 为平行四边形， 则OM FN ∥， 因为OM AE ∥， 所以AE FN ∥
又FN ⊂平面BCF ，AE ⊄平面BCF ， 故AE ∥平面BCF ； (2)
因为平面EAD ⊥平面ABCD ，连接EO ，则⊥EO AD ， 平面EAD 平面ABCD=AD ，故EO ⊥平面ABCD ， 连接OB ，BD ， 因为π
3
DAB ∠=
，四边形ABCD 为菱形， 故三角形ABD 为正三角形，则OB AD ⊥ ，
故以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设2AE =，则33
(1,0,0),(003),(230),(32A E C F --,,,,,, ，
则53
(1,0,3),(,3,),(3,22
AE AF AC =-=-=- ，
设平面EAF 的法向量为111(,,)m x y z
= ，则00m
AE m AF ⎧⋅=
⎨⋅=⎩，即111110
502
x x z ⎧-=⎪
⎨-+=⎪⎩ ， 取1x ，则112,1y z == ，即(3,2,1)m =，
设平面ACF 的法向量为222(,,)n x y z =
，则00n
AF n AC ⎧⋅=
⎨⋅=⎩，即22222502
30
x x ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩
， 取2x =，则223,1y z ==- ，即3,3(),1n =-， 故226
cos ,13m n m n m n
⋅=
=
⋅， 由原图可知二面角E AF C --为钝角，故二面角E -AF -C 的余弦值为. 19．(1)证明见解析
(2)16(23)2n n S n +=+-⋅；证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据题意得15823n n n a a a +-=
-，由1111
222
n n n n b b a a ++-=
-=--，结合等差数列的定义可证结论成立； （2）利用错位相减法求出n S ，根据n S 的解析式可证当2n ≥时，6n S >. (1)
因为点()1,n n a a +在曲线58
23
x y x -=
-上，所以15823n n n a a a +-=-，
因为13a =，所以1111
1232
b a =
==--， 因为
111111
58222223
n n n
n n n n b b a a a a a ++-=
-=-
------231222
n n n a a a -=-=--， 所以数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列. (2)
由（1）得1(1)221n b b n n =+-⋅=-， 所以12
21)22
(n n b n n c b n +=⋅=-⋅，
所以123
123252(212)n n n S =⨯+⨯+⨯++-⋅，
3124123252(21)22n n S n +=⨯+⨯+⨯+
+-⋅， 所以23
1222(222)(21)2n n n n S S n +-=+++
+--⋅，
所以114(12)
22(21)212
n n n S n -+--=+⨯--⋅-16(32)2n n +=-+-⋅，
所以1
6(23)2n n S n +=+-⋅，
当2n ≥时，230n ->， 所以6n S >.
20．(1)22
1169
x y +=
(2)存在定点9
(0,)2
N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.
【解析】 【分析】
（1）设动圆E 的半径为1r ，得到11211
7EC r EC r ⎧=+⎪⎨
=-⎪⎩
，得到128EC EC +=，根据椭圆的定义得到动圆圆心E 的
轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，进而求得椭圆的方程；
（2）设直线l 的方程为2y kx =+，当0k =时，得到MA MB =，得出点N 在y 轴上，
可设点(0,)N k ，联立方程组，设1122(,),(,)A x y B x y ，得到1212,x x x x +，根据题意，只需使得y 轴为ANM ∠的平分线，则0NA NB k k +=，结合斜率公式，列出方程求得k 的值，即可求解. (1)
解：由题意，圆1C
：(2
21x y +=，圆2C
：(2
249x y +=，
可得圆心坐标分别为12(C C ，半径分别为1,7r R ==， 设动圆E 的半径为1r ，
因为动圆E 与圆1C 外切并且与圆2C 内切，可得11121117EC r r r EC R r r ⎧=+=+⎪
⎨=-=-⎪⎩
，
两式相加12128EC EC C C +=>=
根据椭圆的定义可得，动圆圆心E 的轨迹为以12,C C 为焦点的椭圆，
且28,227a c ==，即4,7a c ==，则229b a c =-=， 所以动圆圆心E 的轨迹方程为22
1169
x y +=.
(2)
由题意，设过点()0,2M 的直线l 的方程为2y kx =+，
当0k =时，可得直线l 的方程为2y =，可得点,A B 关于y 轴对称，可得MA MB =，
要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立，即1NA MA NB
MB
=
=成立，此时点N 在y 轴上，
可设点(0,)N k 且2k ≠，
当0k ≠时，联立方程组2221169
y kx x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，整理得22(916)64800k x kx ++-=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212
226480
,916916k x x x x k k --+==++， 要使得NA MB NB MA ⋅=⋅成立，即
NA MA NB
MB
=
成立，
则只需使得y 轴为ANM ∠的平分线，只需0NA NB k k +=， 即
1212
0y k y k
x x --+=，即()()21120x y k x y k -+-=成立， 所以()()2112220x kx k x kx k +-++-=，即12122(2)()0kx x k x x +-+=， 则22
80642(2)0916916k
k k k k ⋅
+-⋅=++，整理得2290k k -=， 解得9
2
=
k 或0k =（舍去）， 综上可得，存在与M 不同的定点9
(0,)2
N ，使得NA MB NB MA ⋅=⋅恒成立.
21．(1)答案见解析 (2)证明见解析
(3)1a ≥ 【解析】 【分析】
（1）根据函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式的公式即可求解；
（2）把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ，利用复数的运算法则进行化简整理可得i e co n i s si x x x =+⋅，从而即可证明；
（3）根据sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫
∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立，再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭
，
31
ln(1)6
x x x ->+恒成立，然后分1a ≥和1a <两种情况讨论即可求解. (1)
解：因为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式为()()()()()()
()()()
2
00000002!
!
n n
f x f x f x f x f x x x x x x x n ''=+'-+
-+⋅⋅⋅+
-+⋅⋅⋅
（其中(
)
()n f x 表示()f x 的n 次导
数），
所以e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式分别为： 2
11e 12!
!
x n
x x x n =++
+++，
13521
11
(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+
-=-+++-，
24211
(1)cos 12!4!
(2)!
n n x x x x n +
-=-+++；
(2)
证明：把e x 在0x =处的泰勒展开式中的x 替换为i x ，可得
234i 111
1
e 1()()()i i i i i ()()2!3!4!
!
x n x x x x x n =++
++++
+
12423521
11
(1)11(1)12!
4!(2)!
3!5!(21)!
i n n n
n x x x x x x x n n --⎛⎫⎛⎫
--=-++
+++⋅-++
++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭
s i cos in x x =+⋅， 所以i 1i e cos sin πππ=+⋅=-，即i e 10π+=； (3)
解：由sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫
∀∈>- ⎪⎝⎭
，
令3211
()sin ,()cos 1,()sin 62
f x x x x f x x x f x x x =-+
'=-+''=-， ()1cos f x x '''=-，易知()0f x '''>，所以()f x ''在30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
所以()(0)0f x f ''>''=，所以()f x '在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，所以()(0)0f x f '>'=， 所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，所以()(0)0f x f >=， 再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易得1(1)(2)2()1
x x x g x x --+'=+， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在31,2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减， 而3155(0)0ln 0216
2,g g ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭， 所以30,,()02x g x ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭
恒成立， 当1a ≥时，31sin sin ln(1)6
a x x x x x ≥>->+ ，所以sin e 1a x x >+成立， 当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，易求得(0)10h a '=-<， 所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减，
所以(0,)x m ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意.
综上所述，1a ≥.
【点睛】
关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x ⎛⎫∀∈>- ⎪⎝⎭恒成立，再证30,2x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，31ln(1)6x x x ->+恒成立，从而即可求解. 22．(1)12
【解析】
【分析】
（1）将1C 和2C 的方程化为直角坐标方程，根据圆心到直线的距离减去圆的半径可得结果； （2）根据图象变换求出4C ，再根据椭圆的参数方程设点，利用点到直线的距离公式可求出结果.
(1)
由12cos 2sin x y αα
=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去α
得22(1)(4x y -+=， 由2sin 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭
sin cos 1θρθ+=-，将cos x ρθ=，sin y ρθ=
代入得10x +=，
所以曲线1C 上的点与直线2C 2=12.
(2)
依题意可得3:C 224x y +=，4:C 2244x y +=，
在4C 上设点(2cos ,sin )θθ，
则该点到
2:10C x +=的距离d ==，其中cos ϕ=，
sin ϕ
所以当sin()1θϕ+=时，d
所以曲线4C 上的点到直线2C 23．(1)证明见解析；
(2)2
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值三角不等式即可证出；
（2）由二次函数的最值可得242m n +=，再根据基本不等式即可求出．
(1)
因为()1111f m n ≤⇔+-≤，()22422f m n ≤⇔+-≤，所以
()()()()7511312231227m n f f f f -+=+≤+≤．
(2)
因为函数()2
2224m m f x x mx n x n ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭的最小值为24m n --，所以2142m n --=-，即242m n +=，所以223411ab bc ac m n ++=+-=．
因此()()()222222222425324623a b b c a c a a b bc c b c a =+++++≥+++=+，当且仅当a b c ===时等号成立，故222435a b c ++的最小值为2．。