第三章 人寿保险的精算现值
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保险精算2人寿保险的精算现值分析
Z Z 0
1
2
Var(Z
)
Var(Z 1
)
Var(Z 2
)
A1 x：n|
A1 x：n|
延期m年的n年期两全保险
定义 保险人对被保险人在投保m年后的n年期内发生保险
责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保 险人再生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金 的保险。
假定(x)投保延期m年的n年期两全保险，保额1元。
Z
b K
v K
0,
其他
表示其趸缴纯保费。
E(Z)
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳
n1
A v p q 1
k 1
x ：n|
k x xk
k 0
A v k1 p q
x
k x xk
k 0
A x:n
A1 x:n
A1 x:n
m
Ax
Ax
A1 x:m
A1
k0 0
sk x
xks
补充： 非整数年龄的生命分布假设
年龄内死亡均匀分布假设（UDD假设）
令：S(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) 0 t 1
1、
t qx
s(x) s(x t) s(x)
s(x) [(1 t)s(x) ts(x 1)] s(x) s(x 1) t
同理，
i 1
1
A A x：n|
x：n|
对于两全保险有
A A A 1
1
x：n|
x：n|
x：n|
i1
1
A A x：n|
寿险精算现值
附加保险费：补偿保险公司因出售和管理保单发生的费用 需要的缴费部分。
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vd x
v2dx1
vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x
主要内容：
寿险精算现值
生存年金精算现值
净保费
寿险精算现值
终身寿险 定期寿险 两全寿险 精算现值是保险赔付在投保时的期望现值。
死亡年年末赔付的寿险
1、终身寿险
用Ax表示终身寿险的精算现值.
Ax
vk 1d xk
或者
n
Ax
Ax
A1 x:n
证明：n Ax vn n px Axn
给出实际意义的解释。
5、延期m年的n年定期寿险
延期m年的定期n年寿险：用m n Ax表示，某人x岁开始投保， 延期m年后n年内死亡年末给付1单位元的延期寿险的现值。 现值随机变量为：
0 Z vK 1
K 0,1,..., m 1 K m, m 1,..., m n 1
bk
1v
k
1 k
qx
.
k 0
本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。
（1）递增型人寿保险的趸缴净保费
（2）递减型人寿保险的趸缴净保费
（1）标准递增终身寿险
某x岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用 IA 表示这种保险的现值，则 x
x岁的lx人共趸缴净保费为A1x:n lx，由平衡原理，有：
A1 x:n
lx
vd x
v2dx1
vnd xn1
所以：
A1 vdx v2dx1
x:n
lx
vndxn1
v 0 qx v2 1 qx vn q n1 x
(人寿保险的精算现值)
1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
年龄
x
nE x
现时值
1
tE x
x+t
E n t x t
1
x+n 1 S
第二十九页，编辑于星期四：十六点 十七分。
4、n年定期两全保险
定义
被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人 即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末 支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上n年定期寿险的组合。
趸缴纯保费厘定
A x :1 n E (z T ) v n n p x e n n p x
现值随机变量的方差：
Var(zT)v2nnpx(vnnpx)2
21
Ax:n
(Ax:1n)2
第二十八页，编辑于星期四：十六点 十七分。
相关公式及意义
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
(3) Pr(zT 0.9) Pr(vT 0.9)
= Pr(T
ln v
ln 0.9 )
P(T
ln0.9
ln v
)
60 ln0.9
60
ln0.9 fT (t)dt ln v
lnv 0.9 60
ln0.9 6ln v 0.9 v6 e6
第二十六页，编辑于星期四：十六点 十七分。
3、n 年定期生存保险
假定： 岁的人，保额1元，n年定期两全保险
基本函(数x )关系
vt vvtn
, ,
tn tn
bt 1, t0
zTbTvT vvnT,,T Tnn
第三十页，编辑于星期四：十六点 十七分。
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型
保险精算中的人寿保险的精算现值的模型一、人寿保险简介保险精算学主要分为两大类：一个是所谓的人寿保险（寿险精算），另一个是非人寿保险。
前者主要以人的寿命、身体或健康为“保险标的”的保险。
非人身保险主要包括：汽车保险、屋主保险、运输保险、责任保险、信用保险、保证保险等。
而这次我们主要讨论人寿保险。
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。
广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。
它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。
人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类：（1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分，可分为：定额受益保险，变额受益保险。
（2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定期寿险和终身寿险。
（3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分分为：非延期保险和延期保险。
（4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险（狭义）、生存保险和两全保险。
人寿保险的特点1：保障的长期性这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽视的因素。
2：保险赔付金额和赔付时间的不确定性人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。
被保险人的死亡时间是一个随机变量。
这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。
3：被保障人群的大多数性保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。
人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、假定传统的人寿保险产品的趸缴纯保费是在如下假定下厘定的：假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命独立同分布。
假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。
假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。
2、原理保险公司在上面三个假定条件下，按照净均衡的原则来厘定趸缴纯保费的数额。
而趸缴纯保费是指在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值。
人寿保险精算现值
其精算现值以 m A x 表示，有
x1
mAx E(Z) vk1kqx km
显然有 Ax A1x:mmAx
5.延期m年的n年定期寿险 延期m年的n年定期寿险是指从x+m岁起 的n年定期寿险。对(x) 的1单位元延期m年n 年定期寿险，其赔付现值随机变量为
0 , K 0 ,1 ,2 , ,m 1 Z vK 1 ,K m ,m 1 , ,m n 1
A 4 10:35%k 40vk1kq40k 401.01 5k1dl44 00 k
例2: 某人在50岁时购买了保险金额为10万元 的终身寿险，假设生存函数为
s(x) 1 x , 105
保险金在死亡年末给付，i=10%，求这一保 单的精算现值。
注: 在符号 A 1 中，令n=1，即得 A 1 ，在
A A1 A 1
35 :5
35 :5
35 :5
4
v k 1 k q35 v 5 5 p35
k0
1 l35
4
( v k 1d 35k
k 0
v5l40 )
4.延期m年终身寿险 对(x) 的1单位元死亡年末赔付 m年延期 终身寿险，现值随机变量为
0, K0,1,2,L,m1 Z vK1, Km ,m1,L
机变量为 ZvK1 ，它的期望就是其精算现值.
因为 所以
P (Kk) kpxqx k kqx
A xE (Z)k x0 1vk 1kqxl1 xk x0 1dxkvk 1
●赔付现值随机变量的方差：
V(a Z )r E (Z 2) [E (Z )2 ]
E(Z2)
v2(k1)kqx
e q 2(k1) kx
vk1, k0,1,2,,n1 Z
第三章 人寿保险的精算现值
1
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
则
A 1 =E(Zt ) =v .n px =e .n px
n xn :
−δn
寿险精算
23
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( A 1 )
2 2 2 x:n
2
E (Z ) = v .n px = e
x t
∫
0 t T
t
=∫ v t pxµx+tdt
t 0
∞
=∫ e t pxµx+tdt
−δt 0
寿险精算 19
∞
5.赔付现值变量的方差 赔付现值变量的方差
Var ( Z ) = E ( Z ) − [ E ( Z )] = E ( Z ) − ( Ax )
2 2 2
2
E (Z ) =
2
∫
∞ 0
z t2 f T ( t ) d t
= =
2 ∞
∫ ∫
∞ 0 ∞ 0
v 2t t p x µ x+t d t e −2δ t t p x µ x + t d t
记 Ax = ∫ e−2δ t t px µx+t dt ，则 0
Var(Z) = Ax −(Ax )
2
寿险精算
2
20
6.用替换函数表示趸缴纯保费 引入替换函数： 引入替换函数：
寿险精算 5
• 保费净均衡原理的思想很好理解，但在保 险经营过程中要落实这条原理，保险公司 必须要解决以下几个问题： 1.什么时候会发生索赔事件？ 2.发生索赔的概率有多大？ 3.发生的索赔额等于多少？ 4.钱的时间价值如何测量？
保险精算
趸缴纯保费的厘定
符号： 厘定
m
Ax:n
Ax m:n
0
m
m +n
(x )
m
( x m)
Ax:n
m
A
1 x:n
mA
1 x:n
A
1 x:m
Ax m:n
现值随机变量的方差
3、延期终身寿险
定义
0 m
(x 假定： ) 岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系
vt v t , t 0 1 , t m bt 0 , t m
v t , t m zt bt vt 0 , t m
趸缴纯保费的厘定
符号： 厘定：
人寿保险的分类
受益金额是否恒定
定额保险 变额保险
保障标的的不同
人寿保险（狭义） 生存保险 两全保险
保单签约日和保障期 起始日是否同时进行
非延期保险 延期保险
保障期是否有限
定期寿险 终身寿险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资收益（利息）成为不容忽 视的因素。
趸缴纯保费的厘定
符号： Ax:n 厘定
记：n年定期寿险现值随机变量为 z1 n年定期生存险现值随机变量为 z2 n年定期两全险现值随机变量为 z 3 已知 z3 z1 z2
则
E ( z3 ) E ( z1 ) E ( z2 ) A x:n A A
1 x:n
1 x:n
t t
px x t dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e2 t fT (t )dt E ( zt )2
保险精算课件第3章寿险精算现值
解：
fT
Z 0,
k n, n 1,
精算现值以 A1 表示，有 x:n
n1
A1 E(Z ) x:n
vk1 k qx
k 0
Z的方差为
其中
Var(Z ) 2 A1 ( A1 )2
x:n
x:n
n1
2 A1 E(Z 2 ) x:n
v2(k 1) k qx
10
e t
fT
(t)dt
e0.06t 0.04e0.04t dt
10
0.04e0.1tdt 0.4e1（万元） 10
2.定期寿险
1单位元死亡即付n年定期寿险的精算现值为
A1 x:n
n 0
vt
fT
(t)dt
n 0
vt
t
px
x t dt
①在死亡均匀分布假设下，有
k 0
qx
1 lx
x 1
d xk v k 1
k 0
●赔付现值随机变量的方差：
Var(Z ) E(Z 2 ) [E(Z )]2
E(Z 2)
v2(k1) k qx
e q 2 (k 1) kx
k 0
k 0
E(Z 2) 相当于以计算趸缴净保费利息力
A1 x :n j
k 1
j0
例：计算保险金额为10000元的下列保单，在 30岁签发时的趸缴净保费。假设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。
（1）终身寿险
（2）30年定期寿险
（3）30年两全保险。
例：现年35岁的人购买了一张终身寿险保单。 该保单规定，被保险人在第1年内死亡，给付 1000元，以后每年的死亡赔付额以6%的增长 率递增。假设死亡给付发生在保单年度末，利 率为6%。试求其趸缴纯保费。
保险精算1-5章习题答案
第一章生命表1．给出生存函数()2 2500xs x e-=，求：(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。
(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。
(3)人能活到70岁的概率。
(4)50岁的人能活到70岁的概率。
()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)P X s ss sqsP X ssps<<=--=>==2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T(t)(4)f T(f)(5)E(x)3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q65。
()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)s s sq ps ss sqs-====-∴==4.已知Pr［T(30)＞40］=0.70740，Pr［T(30)≤30］=0.13214，求10p60Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740×S(30)Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30)∴10p60= S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.815115.给出45岁人的取整余命分布如下表：k0 1 2 3 4 5 6 7 8 945kq .0050 .0060 .0075 .0095 .0120 .0130 .0165 .0205 .0250 .0300求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。
(1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.046.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整）（1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11（3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。
第三章生命年金的精算现值
（5）如果g(t)≡t，a=0，b=∞时，上述一般年金就变成 了连续递增的连续支付型终身生命年金。 这种年金的现值随机变量
2013-7-24
21
（6）如果g(t)=n-[t]，a=0，b=n时，上述一般年金就变 成了年度递减的连续支付型n年期定期生命年金。
2013-7-24
22
将上述的有关连续型生命年金的讨论小结如下：
求出时刻 t 时生命年金的给付数额 ;确定时刻 t 时给付 数额的精算现值 ; · 对给付年金的精算现值按所有可能 的给付时间进行相加或积分。
2013-7-24 3
总额支付法的计算步骤是 : 求出从开始支付至死亡或停止支付这段时间 t 内所有年 金给付额的现值 , 这一现值仅与利率有关 ;将求出的现 值乘以相应的死亡概率或概率密度 ;对第二步得到的结 果按所有可能的死亡时间 t 进行相加或积分.
2013-7-24
23
2013-7-24
24
§ 3.2 离散型生命年金
离散型生命年金是指年金的领取人每次领取年金的时间 间隔是离散的 , 如按每年、每 半年、每季度、每月来 进行的。 离散型生命年金还分为 “ 期初付 ” 和 “ 期末付 ” 两种情 形。其中 , 期初付生命年金在个人寿险中得以 广泛应用 , 大多数个人寿险的保险费就是按 期初付生 命年金的方式分期缴纳保险费的。 3.2.1按年付的定额生命年金 按年付生命年金是以年为时间间隔 , 每年支付一次 , 每次 支付的金额均相等的生命年金
2013-7-24
30
上式表明 : 年龄为x岁的生存者 , 在预定年利率为 i 的 条件下 , 只要缴纳金额 1元 , 便可享受期初付的年金 额为 d 元的终身生命年金; 而一旦死亡 , 还可在死亡 的年度 末获得 1 元的死亡保险金. 若从一般的投资角度来解释 , 即(x)现在投资资金 1元 , 在年利率 i 的条件下 , 可在 (x) 生存时 , 其每年的年 初均可获得回报 d 元 , 而 (x) 一旦死亡 , 则在其死亡 的年度末偿 还其投资的本金 1 元
《寿险精算现值》幻灯片
位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元
用IA 表示这种保险的现值，则 x
IA x
(t 1)vt1t qx
t0
1 vxlx
(t 1)vxt1dxt
t0
1 Dx
(t 1)Cxt
t0
1
Dx
Cxt
t0
Cx1t
t0
Cx2t
t0
1 Dx
Mxt
t0
引进转换函数：Rx Mxt t0
《寿险精算现值》幻灯片
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保费:是投保人购置保险产品支付的价格，它是由保险公司的精算师根据保险 产品的本钱、利润目标、市场竞争因素等制定的。理论上，保险费又称为总保费或 毛保费，可以分为净保费和附加保险费两局部。
1
vt
t
px
x
t
dt
k 0
v p 1 k s
0
ks x
xk sds
k 0
vk 1 k
px
v p 1 s1
0
s xk
xk sds
k 0
在死亡均匀分布假设下，有
p q s xk xk s
xk
0 s 1
then
Ax
vk 1 k
px
qxk
k 0
1vs1ds i
0
Ax .
2、定期寿险
x:n
x:n
,where
n1
2A1 x:n
e2k1 k qx
保险精算课件 第3章寿险精算现值
0 k= 0 k=
ω−x− 1
ω−x− 1
延期m年的 延期 年的n 年的 年定期寿险 延期m年的 延期 年的 终身寿险 n年期两全 年期两全 保险
A =A m
1 xn :
1 xm n : +
−A
1 xm :
1 xm :
m
A = A −A x x
1 xn :
A: = A +A xn
1 xn :
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 延期m年的 延期 年的n 年的 年期两全保险
k+ 1
(x) 的1单位元 年两全保险的精算现值为 单位元n年两全保险的精算现值为 单位元
A:n =∑ ⋅ k q +v ⋅ n p v x x x
k+ 1 n k= 0
n− 1
=A +A
1 x:n
1 x: n
其中 A 精算现值。 精算现值。
1 x: n
表示1单位元给付纯生存险的 表示 单位元给付纯生存险的 单位元给付
☆两全保险现值随机变量的方差 为两全保险现值随机变量， 设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 为两全保险现值随机变量 年 定期现值随机变量， 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 年纯生存保险现值 随机变量， 不会同时发生， 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
V r(Z) =V r(Z +Z ) a a 1 2 =V r(Z )+V r(Z )−2E Z )⋅ E Z ) a 1 a 2 ( 1 ( 2
1. 终身寿险
对 (x 的1单位元死亡年末赔付终身寿 ) 表示。 险，其精算现值以 A 表示。 x 记 K(x) =k 为 x岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算 A x
ω−x− 1
ω−x− 1
延期m年的 延期 年的n 年的 年定期寿险 延期m年的 延期 年的 终身寿险 n年期两全 年期两全 保险
A =A m
1 xn :
1 xm n : +
−A
1 xm :
1 xm :
m
A = A −A x x
1 xn :
A: = A +A xn
1 xn :
死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳 延期m年的 延期 年的n 年的 年期两全保险
k+ 1
(x) 的1单位元 年两全保险的精算现值为 单位元n年两全保险的精算现值为 单位元
A:n =∑ ⋅ k q +v ⋅ n p v x x x
k+ 1 n k= 0
n− 1
=A +A
1 x:n
1 x: n
其中 A 精算现值。 精算现值。
1 x: n
表示1单位元给付纯生存险的 表示 单位元给付纯生存险的 单位元给付
☆两全保险现值随机变量的方差 为两全保险现值随机变量， 设Z为两全保险现值随机变量，Z1为n年 为两全保险现值随机变量 年 定期现值随机变量， 定期现值随机变量，Z2为n年纯生存保险现值 年纯生存保险现值 随机变量， 不会同时发生， 随机变量，则Z1和Z2不会同时发生，我们有
V r(Z) =V r(Z +Z ) a a 1 2 =V r(Z )+V r(Z )−2E Z )⋅ E Z ) a 1 a 2 ( 1 ( 2
1. 终身寿险
对 (x 的1单位元死亡年末赔付终身寿 ) 表示。 险，其精算现值以 A 表示。 x 记 K(x) =k 为 x岁投保人的整值剩余寿命， 下面计算 A x
人寿保险的精算现值趸缴纯保
第二章：人寿保险的精算现值（趸缴纯保费）
教学要求：
掌握各类寿险的保险金给付模型的建立方法。
掌握各类寿险的趸缴纯保费的计算。
掌握寿险的精算现值（趸缴纯保费）的定义。
** 寿险定价的基础 ***
0
第一节 离散型人寿保险模型
** 讨论保额固定的离散型人寿保险 ***
0
?1nn源自n0mm+n
0 n n-1 n-2 …………….. 2 1
1 1…...1 1…...1……1 1…...1……1……1 ……………………………………………... 1…...1……1……1……1………… 1……1
第五节 递推公式与换算函数
t
t
s
S=t
（2）
0 1 2 3 4 5 6……………….. 1 1 1………1………1………1….. 1 1 …… ..1………1………1….. 1………1………1………1….. ……… 1………1…… 1….. 1………1 . . 1
n
01
02
03
0
m
m+n
第二节 连续型人寿保险模型
** 讨论保额固定的连续型人寿保险 ***
第三节 连续模型与离散模型的精算现值的关系
在保险实务中，使用的是死亡即付的连续 模型，而死亡年末付的离散模型的计算更容易 和简便，以下讨论转换关系。
第四节 保额递增、递减型人寿保险
递推公式（讨论不同投保年龄的趸缴纯保费 的关系）
其它递推公式
二、换算函数（符号）
THANKS
第三章人寿保险的精算现值
(IA )x kvkk 1pxqxk
A 1
j x:j
k 1
j0
n
n 1
(D A )1 x :n
(n k 1 )v kk 1p xq x k
A 1 x :n j
1 0 0 0 0 0 A50 1 0 0 0 0 0 v k 1 k p50 q50 k k0
1 0 0 0 0 0 55 1 .0 8 (k 1) 5 5 k 1
k0
55 55 k
100 000
1
1
1
1 .0
8
56
55 1.08 1 1
k 0
k 0
趸缴净保费的变形公式
n1
lxA1x:n| vk1dxk k0
思考：该公式的含义？
自然保费
即
A
1 x
:
n
|
中n=1的趸缴净保费.
cx
vqx
1 1i
dx lx
是根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄 的预定死亡率计算出的该年度的死亡纯保费。 随着年龄的增长而提高,即年龄越大，自然保费就 越高。在寿险实务中,一般不采用这种方式。
给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
净保费的计算原理
收支平衡原理（精算等价原理）： 净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
精算现值（包含两层含义）：
保险赔付在投保时的期望现值 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求
m |A x v m m p xA x m m E xA x m
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年份 年内死亡人数 赔付支出 （1） （2） 1 1 2 2 3 4 5 3 4 5
例3.1答案
100张保单的未来赔付支出总现值
1000 1.031 2000 1.032 3000 1.033 4000 1.034 5000 1.035 13468.48
(n K ) v K 1 , K 0, 1, 2, , n 1 Z bK 1vK 1 0, 其他
趸缴净保费
n 1
给付现值随机变量
k 1 1 1 1 ( DA)1 ( n k ) v p q A A A k x xk x: n | x:1| x:2| x: n | k 0
例3.2
某人在40岁时投保了3年期10 000元定期寿险， 保险金在死亡年末赔付。假设预定利率为5%， 以中国人寿保险业经验生命表（1990-1993年， 男女混合表），计算趸缴净保费。
例3.2答案
1 10 000 A40:3| 10000 vq40 v 2 1| q40 v3 2| q40
给付现值随机变量 0, K 0,1, 2， , m 1 Z K 1 v , K m，m+ 1, m n 1 趸缴净保费
1 A m| x: n | E ( Z ) m n 1 k m
1 v k 1 k | qx A1 A x: m n | x: m |
趸缴净保费
Ax E ( Z ) v
k 0
k 1
k | qx v
k 0
k 1
k px qx k
例3.3
张某50岁时购买了一份保额为100 000元的终 身寿险。已知： x lx 1000 1 105 设预定利率为0.08 求这份保单的趸缴净保费。
人寿保险给付上的两大特点
不确定性： 是否发生给付不确定 给付的时间不确定 给付发生在较长时间以后，其成本受利率 影响很大。
净保费的计算原理
收支平衡原理（精算等价原理）： 净保费的精算现值＝保险赔付的精算现值
它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收入 期望现时值等于支出期望现时值
几个关系式
m
A v p A E A m| x m x x m m x x m
m|
A
1 x:n|
v m px A
m m
1 x m: n|
m Ex A
1 x m: n|
m|
Ax:n| v m px Ax m:n| m Ex Ax m:n|
一般变额寿险
给付现值随机变量
Z bK 1v
K 1
K 0,1, 2,
趸缴净保费
E ( Z ) bk 1 v
k 0
k 1
k | qx
例3.5
对一份3年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概 率如下表所示： bk+1 300 000 350 000 400 000 qk+1 0.02 0.04 0.06
精算现值（包含两层含义）：
保险赔付在投保时的期望现值 把所有可能的赔付先折现到保单签发时刻，然后再求 期望值 精算现值=趸缴净保费
由于赔付的不确定性源于人的死亡不确定，所以， 以连续型（离散型）未来寿命为随机变量，来求期 望值。
第一节 离散型寿险 的趸缴净保费
本节的主要目标
理解趸缴净保费的计算公式并熟练应用
计算原理 k 1 E ( Z ) bk 1 v Pr( K k )
bk 1 v bk 1 v
k k k k 1
k | qx k px qx k
k 1
K的不同上下限，对应着不同的险种
（一）n年定期寿险
给付函数
1, K 0,1,, n 1 bK 1 0, K n, n 1,
（三） n年期生存保险
被保险人生存至n年期满时,保险人在第n年末支 付保险金. 只有一个因素不确定:是否给付保险金,而保险金 给付的时间和数量可以预先确定. 保险金给付相当于一个二项分布:即在n年末只有 只有两种可能,要么给付1,要么不给付,且给付的 概率为 n p x .
给付函数:
0, K 0,1,, n 1 bK 1 1, K n, n 1,
给付现值随机变量 0, K 0,1,, n 1 K 1 Z bK 1v n v , K n, n 1,
趸缴净保费
A
1 x: n |
m Ex E ( Z ) v
k n
n k|
qx
n 1 n n n v 1 k | qx v 1 k qx v n px k 0
保费的分类-按保费缴纳的方式
趸缴保费（一次性缴纳保费）
自然保费 (根据当年保险赔付成本确定的保 费，年龄越大，缴纳的越多) 均衡保费（定期缴纳保费）
人寿保险给付方式的分类
分为：连续型寿险和离散型寿险 连续型寿险：保险金在死亡后立即赔付，以连续 型未来寿命T(x)作为随机变量来计算期望值 离散型寿险：保险金在死亡的年末赔付，以离散 型未来寿命K(x)作为随机变量来计算期望值 实务中，多采用连续给付的方式（被保人死亡到 保险金的赔付时间很短，计算时，把被保险人的 死亡和保险金的给付看作在同一时间发生，即认 为是立即赔付）
（五）延期m年终身寿险
保险金在被保险人投保m年后，发生保险责任 范围内的死亡给付保险金。 , m 1 0, K 0,1, 2， 给付函数 bK 1 1, K m，m+ 1 给付现值随机变量
, m 1 0, K 0,1, 2， Z K 1 v , K m，m+ 1
（四）两全保险
两全保险是定期寿险与纯生存保险的组合 给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2,
给付现值随机变量
趸缴净保费
v K 1 , K 0,1,, n 1 Z bK 1vK 1 n K n, n 1, v ,
1 x: n |
Ax:n| A
掌握用换算函数计算各类离散型寿险趸缴净 保费
主要险种
n年期定期寿险 终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的终身寿险 延期m年的n年定期寿险 递增终身寿险 递减n年定期寿险 一般变额寿险
例3.1
100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在 死亡年年末。如果预定年利率为3%，各年预计的死亡人 数分别为1、2、3、4、5人。 每年的赔付支出及其折现值如表所示： 折现因子 (3)=1000×(2) (4) 1000 1.03-1 2000 1.03-2 3000 4000 5000 1.03-3 1.03-4 1.03-5 赔付支出现值 (5)= (3) ×(4) 970.87 1885.19 2745.43 3553.95 4313.04
1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i) (1 i) 1 i 49.28(元)
（二）终身寿险
给付函数
bK 1 1, K 0,1, 2，
K 1
给付现值随机变量
Z bK 1vK 1 v ， K 0,1, 2，
趸缴净保费
m|
Ax E ( Z ) v
k m
k 1
k | qx Ax A
1 x: m |
（六）延期m年的n年定期寿险
保险金在被保险人投保m年后的n年内，发生保 险责任范围内的死亡给付保险金。 给付函数 0, K 0,1, 2， , m 1
bK 1 1, K m，m+ 1, m n 1
（七）递增型寿险
终身寿险
bk 1 k 1, k 0,1, 2,
K 1
Z ( K 1) v
k 0
, K 0, 1, 2,
( I A) x (k 1)v k 1 k p x q x k Ax 1| Ax 2| Ax
n年定期
例3.3答案
100 000 A50 100 000 v k 1 k p50 q50 k
k 0 55 55
100 0001.08
k 0
( k 1)
55 k 1 55 55 k
56
1 1 100 000 1 1.08 1 55 1.08 1 1.08 22421.91(元)
k 0 1 2
假设预定利率为6%，计算这一保单的精算现值。
例3.5答案
300 000vqx 350 000v 1| qx 400 000v
10000 vq40 v 2 1| q40 v3 2| q40 10000v 3 3 p40 1 1 1 10000 q40 p40 q41 p40 p41q42 2 3 (1 i ) (1 i) 1 i 1 10000 p40 p41 p42 3 (1 i) 49.28 8591.34 8640.62(元)
K 1
保险金给付在签单时的现值随机变量