泛函分析习题标准答案

第二章 度量空间
作业题答案提示 1、
试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-
能定义度量吗？
答：不能，因为三角不等式不成立。

如取
则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、
试证明：（1）()1
2
,x y x y ρ=
-;(2)(),1x y x y x y
ρ-=
+-在R 上都定
义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。

注意到
2
11
22x y x z z y x z z y ⎛⎫
-≤-+-≤-+- ⎪
⎝⎭
故有1
112
22
x y
x z z y
-≤-+-
（2）仅证明三角不等式 易证函数()1x
x x
ϕ=+在R +上是单调增加的， 所
以
有
()()
a b a b ϕϕ+≤+,从而有
1111a b a b a b
a b a b a b
++≤≤+
++++++
令,,x y z R ∀∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z
y x z x y z
---≤+
+-+-+-
4.试证明在[]b a C ,1
上，)12.3.2()()(),(⎰-=b
a dt t y t x y x ρ
定义了度量。

证：（1）0)()(0),(≡-⇔=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。

[])
,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt
t y t z dt t z t x dt
t y t z dt t z t x dt
t y t x y x b
a
b a
b a
b
a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=⎰⎰⎰⎰
5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明
∑∑==≤⎪⎭
⎫
⎝⎛n
i i
n i i x n x 12
2
1
证：∑∑∑∑=====⋅≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛n
i i
n i n i i n i i x n x x 12
12
122
11
8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积
21R R R ⨯=上定义了度量
{}2
12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。

（1）略。

(2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈⨯，则
{
}
1222
1112
2212
22
2222
111111222222112
2222
2
1111
112222
2211222211(,)[(,)(,)](,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)
n n i i i i i i x y x y x y x z z y x z z y x z z y x z z y x z z y ρρρρρρρρρρρρρξηξη===+⎡⎤⎡⎤≤+++⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤≤+++⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1
221n i =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
∑
（3）111222(,)max{(,),(,)}x y x y x y ρρρ=
111111222222111111222222max{(,)(,),(,)(,)}max[(,)(,)]max[(,)(,)](,)(,)
x z z y x z x z x z z y x z x z x z z y ρρρρρρρρρρ≤++≤+++=+
9、试问在[,]C a b 上的0(;1)B x 是什么？
[,]C a b 上图像以0x 为中心铅直高为
2的开带中的连续函数的集
合。

10、试考虑[0,2]C π并确定使得(,)y B x r ∈的最小r ，其中
sin ,cos x t y t ==。

[0,2]
[0,2(,)sup sin cos sup
)4
t t x y t t t πππ
ρ∈∈=-=-=
11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。

设A 是离散度量空间X 的任一子集。

a A ∀∈，开球1
(,){}2
B a a A =⊂，故A 事开集。

同样道理，知C A 是开的，故()C C A A =又是闭集。

12．设0x 是M R ⊂的聚点，试证明0x 的任何邻域都含有M 的无限多个点。

证：略。

13．（1）若度量空间R 中的序列{}n x 是收敛的，并且有极限x ，试证明{}n x 的每个子序列{}k
n x 都是收敛的，并且有同一极限。

（2）若{}n x 是Cauchy 序列，并且存在收敛的子序列{}k
n x ，
k n x x →，试证明{}n x 也是收敛的，并且有同一极限。

（1） 略
（2） ε∀，N ∃，当,k
m n N
>时，有
(,)2
kl
m n x x ε
ρ<
，(,)2
kl
n
x x ε
ρ<（{}n x 是Cauchy 序列且k
n
x x →）
因此，当m N >时，(,)(,)(,)2
2
kl
kl m m n
n x x x x x x ε
ε
ρρρε
≤+≤+
=
18.试证明：Cauchy 序列是有界的.
证明：若{}n x 是Cauchy 序列，则存在,使得对于一切0n n >,有()0
,1n n
x x ρ<,因此，对于一切n ，有
()()(){}0
00
1
1
,max 1,,,...,,n n
n n n x x x x x
x ρρρ-≤
19.若{}n x 和{}n y 都是度量空间x 中的Cauchy 列，试证明： (),n n n x y ρρ=是收敛的。

证：根据三角不等式，有
()()()()
()()
,,,,,,n n n n m m m m n n m m m n x y x x x y y y x x y y ρρρρρρρρ=≤++=++
故，()(),,n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+ 同样有：()(),,m n n m m n x x y y ρρρρ-≤+
即：()(),,0n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+→ 而R 是完备的，则{}n ρ是收敛的。

34.若X 是紧度量空间，并且M X ⊂是闭的，试证明M 也是紧的。

证明：因为X 是紧的，故M 中任一序列{}n x 有一个在n X 中收敛的子序列{}nk x 。

不妨设{}nk x x X →∈，则有x M ∈。

又因M 是闭的，所以x M ∈，因此M 是紧的。

第三章 线性空间和赋范线性空间
10.试证明下列都是n R 上的范数
（1） 11
n
i i x x ==∑； (2)
1
2
2
21n i i x x =⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭
∑ ; (3) max i i
x x ∞=; 2
12
1n
i
i x x =⎛⎫ ⎪= ⎪⎝
⎭
∑是范数吗？
（1）、（2）和（3）的证明略
2
12
1n
i
i x x =⎛⎫ ⎪= ⎪⎝
⎭
∑不是范数，不满足三角不等式。

以
为例，令()()1,0,0,1x y ==则1,4x y x y ==+=
13.试证明（1）C 、0C 和0l 都是l ∞的线性空间，其中C 是收敛数列集；0C 是收敛数列0的数列集；0l 是只有有限个元素的数列集。

（2）0C 还是l ∞的闭子空间，从而是完备的。

（3）0l 不是l ∞的闭子空间。

证明：
（2）设()12,0,...x x x C =∈，()()
()12
,,...n n n x x x =,使得 ()n n x x →∞→.则有任意的0ε>，N ∃使得对于一切j ，
当,时有,又因为，所以当时
从而有
于是，故
14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。

令，则，且
于是，收敛
但
15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。

证：设{X
n }是X中任一Cauchy列，则∀k∈N，∃n
k
，s.t.当m，
n≥n
k 时，k-
<2
S-
S
m
n。

而且对一切的k ，可选取n 1k +>n k ，从而{S nk }是{S n }的一个子列，并且令X 1=S 1n ，X k =S n -S nk ，则{S nk }是级数k X ∑的部分和序列，从而
12X 12
)1(112
1k +=+=+-=∑∑∑∞
=--∞
=-X X X S S k k k k k
于是k X ∑绝对收敛，故k X ∑收敛。

不妨设S nk →S ∈X ，由于{X n }是Cauchy 列，故
0S n →-+-≤-S S S S S nk nk n
又由于{S n }是任意的，故证明X 是完备的。

17.设（X ，1•）和（X ，2•）是赋范线性空间，试证明其Descarts 积X=X 1*X 2在定义范数X =max{11X ，22X }后也成为赋范线性空间。

证：（1）X =0⇔11X =22X =0⇔X=（0,0）=Θ
（2）X α=max{11X α，22X α}=αmax{11X ，22X }=αX （3）设X=（X 1，X 2），y=（y 1，y 2），则 }y x y x max{y x 222111++=+，
y
+=+≤++≤x }y ,y max{}x ,x max{}y x ,y x max{2211221122221111
20.（1）若•和•0是X 上任意两个等价范数，试证明（X ，•）和（X ，•0）中的Cauthy 序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价 证：设{X n }是（X ，•）中的任一Cauthy 序列，即 0>∀ε，∈∃N N ，当n ，m>N 时，ε<m n x -x
由于⋅和⋅0是X 上任意两个等价范数，所以存在正数a ，b 使a •≤•0≤b • （*） 于是当n ≥m>N 时，有
εb x b x m m <-≤-n 0n x x
即x n 是（X ，•0）中的Cauthy 序列。

反之，若{x n }是（X ，•0）中的Cauthy 序列，则由（*）左边不等式，可证{x n }
是（X ，•）中的Cauthy 序列。

（2）R n 是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。

20 (2)的直接证明：
证明在中，范数1•、2•和∞•等价，其中
11n
i
i x x ==∑；12221
()
n
i
i x x
==∑；max i
x i x ∞=
证
1
2
2
max
i i
x i x ≤，
∴2x x ∞∞≤≤， 故2•和∞•等价。

2 由Cauchy-Schwart 不等式，得，
1112
2
2
2
2
1
1
1
1
()(1)()
n
n
n
n
i
i i i i i i x x n x ====≤=∑∑∑∑
故有 12x n x ≤ 再有 112222
2111
()[()]n
n
i
i i i x x
x x ===≤=∑∑
我们得
1211
x x x n
≤≤ 故1•与2•等价
29. 若T ：()D T Y →是可逆的线性算子，x 1,...,x n 是线性无关的，试正明1Tx ,...,n Tx 也是线性无关的.
证：若存在λ1，...，λn ∈Ф且不全为零，使得 11...0n n Tx Tx λλ++=,
则由于1T -存在且为线性的，故
1T -()1111......0n n n n Tx Tx x Tx λλλλ++=++=,
与x 1,...,x n 线性无关矛盾。

32.若T θ≠是有界性算子，试证明对满足1x <的任意()x D T ∈，都有Tx T <.
思路：由Tx T x ≤即证结论。

33.设Τ：
∞
→
∞
使得21,
,...2x Tx x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，试证明()
,.T B l l ∞∞∈ 证：设()12,,...,,...n x x x x =，()12,,...,,...n y y y y =，则
()
()1211211222122211211212221121,,...,,...,,...,,...22,,...,,...22n n n n T x y T x y x y x y x y x y x y n n x y x y αααααααααααααααα+=+++⎛⎫
=+++ ⎪
⎝⎭⎛⎫⎛
⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=2211χαχαT +T 从而T 是线性算子.
χ
χχχ=≤=T n n
n
n
n
sup sup
,
所以()1,,≤T B ∈T ∞∞且l l . 进一步可以证明1=T .
37.设[][]1
1
:0,10,1,T C C →使得()()[]0,0,1.t
Tx t x d t ττ=∈⎰
（1）试求()R T 和()[]11:0,1;T R T C -→ （2）试问()[]()11,0,1T B R T C -∈吗？
（1）()R T 是满足()00y =且在[]0,1上连续可微分的函数构成的
[]10,1C 的子空间，且()[]1',0,1T y y t t -=∈。

（2）1T -是线性的，但是无界的。

事实上，()1'n n t n t -=，蕴含着1T n -≥ 38.在C[0,1]上分别定义1
0()()Sx t t x s ds =⎰和()()Tx t tx t =
(1)试问S 和T 是可交换的吗? (2)试求Sx ，Tx ，STx 和TSx 修改S ，T ，ST ，TS
(1)1
0()(())()ST x S tx t t sx s ds ==⎰, 1
1
2
00()(())()TS x T t x s ds t x s ds ==⎰⎰,
故ST TS ≠，S 和T 不是可交换的。

(2)1
0Sx xds x ≤=⎰, 所以1S ≤ 令1x ≡，[0,1]t ∈ 则1sx s x s =≤= 于是1S = 类似可求：1T =，1
2
ST =
，1TS =。

39.在()X B R =上定义范数
sup ()
t R
x x t ∈=，并设T ：
X X
→使得
()()Tx t x t τ=-，其中0τ>试证明(,)T B X X ∈。

证： X y x ∈∀,，则
T （+x α1y α2）=x α1(t-τ)+α2y(t-τ)=Ty Tx αα21+, 即 T 是线性算子
Tx =sup R
t ∈)(τ-t x =sup R
t ∈)(t x =x ，
∴1=T
40、证明下列在C []b a ,上定义的泛函是有界线性泛函： （1）dt t t x x b
a o y f )()()(1⎰=，[]
b a C y ,0∈固定； （2）
固定R b x a x x f
∈+=βαβα,),()()(2
证： （1）线性性略
令B=[]
max
,t b a ∈)(0
t y =y 0，
则有
dx x B x b a
f ⎰≤)(1=B （b-a ）x ，
故有 f 1≤B （b-a ） （2）略
41、设[]11,1C -上的线性泛函f 定义为
⎰⎰-=-1
1
)()()(dt t x dt t x x f ，试求f
解：[]11,1x C ∀∈-, ()()
1
1
2f x x
dt dt x
-≤+=⎰
⎰，
所以2f ≤，
取()1n
x t t =，n 为正奇数，[]1,1t ∈-则1x =， ()1110
1
1
1
1222
11
1n
n
n
n
f x t dt t dt t dt f n n
-=
-===
≤++⎰
⎰⎰
由于2sup
21
n
n =+,故2f ≥. 综上所述，2f =。

44.
（1）在[]11,1C -上定义[]
()[]
()
',,max max t a b t a b x
x t x t ∈∈=+，
试证明•是[]11,1C -中的范数。

（2）试证明()()'2a b f x x c c +⎛⎫==
⎪⎝
⎭
在[]1
,C a b 上定义了有界线性泛函。

（3）试证明视[]1,C a b 为[]1,C a b 的子空间时，上面定义的f 不再是
有界的。

证：（1）仅证三角不等式
''
''≤≤∣x +y ∣=max ∣x(t)+y(t)∣+max ∣x(t)+y(t)∣
max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣+max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣ ∣x ∣+∣y ∣
（2）仅证有界性
''()max max c ≤≤∣f(x)∣=x ∣x(t)∣+∣x(t)∣=∣x ∣,
∣f ∣1
(3)当1[,]c a b 视为[],c a b 的子空间时，（2）中的f 不再是有界的，此时[]1,,sup ().x c a b x x t ∀∈=对每个n N ∈，都存在[]1,n x c a b ∈，使得
'()1n x c =且1
max ()n x t n
<
于是，便有
'()()()
sup
max ()
n n n t
x c f x f x n x
x x t ≥=>
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。