国开电大本科《工程数学(本)在线形考(形成性考核作业4)试题及答案

国开电大本科《工程数学(本)在线形考
(形成性考核作业4)试题及答案
工程数学(本)形成性考核作业4
综合练习书面作业(线性代数部分)
一、解答题(每小题10分，共80分)
1. 设矩阵, , 已知XA=B, 求X.
2. 设矩阵,解矩阵方程AX=B'
3.解矩阵方程AX-X=B, 其中,
4. 求齐次线性方程组
5. 求齐次线性方程组
的通解.
6. 当λ取何值时，齐次线性方程组
有非零解?在有非零解的情况下求方程组的通解.
7. 当λ取何值时，非齐次线性方程组
有解?在有解的情况下求方程组的通解.
8. 求线性方程组
的通解.
二、证明题(每题10分，共20分)
1. 对任意方阵A, 试证A+A '是对称矩阵.
2. 设 n 阶方阵A 满足A²+A-I=O, 试证矩阵A 可逆. …1.设矩阵 , ,已知XA=B, 求X.↵ 解：由XA=B 知，XAA- ¹=BA- 1, 则X=BA- ¹↵
一2.设矩阵
,解矩阵方程AX=B'↵
解：因为
得
3.解矩阵方程AX-X=B, 其中,.↵
解：由AX-X=B 可得(A-I)X=B
由已知条件可得
利用初等行变换可得
[A- 1
因此，
于是由矩阵乘法可得
4、
解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形
方程组的一般解为(其中x ,,x , 是自由未知量)。

令x=1,x ₄=0, 得相应的解向量为
X ₁= 4710
令x;=0,x ₄=1,得相应的解向量为
X ₂= -5 -601
[ 于是，{X,,X ₂)即为方程组的一个基础解系.
方程组的通解为k,X,+k,X ₂(其中k,k,为任意常数).
5、解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形
方程组的一般解(其中x ;为自由未知量)
令x;=1,得方程组的一个基础解系X
11]
于是，方程组的通解为kX,(其中k 为任意常数)
6、
解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形
故当λ=7时，方程组有非零解。

方程组的一般解为(其中x; 是自由未知量) 令x:=1, 得方程组的一个基础解系X;=[-31 1]'. 于是，方程组的通解为kX; ( 其 中k 为任意常数)。

7、解：将齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形
因R(A)=2,故当R(B)=2时，即当λ=5时，方程组有无穷多解
选x;为自由未知数，得解方程
即
8、解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形
方程组的一般解为(其中是自由元)
令=0,得到方程组的一个特解%=(-1,2,0)
不计最后一列， =1,得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系
著=(-2,1,1)'
于是，方程组的通解为： X=X。

+EX, (其中k是任意常数)。

二、证明题(每题10分，共20分)
证明：由已知条件和对称矩阵的性质
(A+A)'=A+(A)=A+A=A+A'
所以A+A 是对称矩阵.
2、证明：所以可以分解为：A(I-A)= | 或 (I-A)A=I
根据逆矩阵定义：AB=BA=I
那么A 和I-A都可逆，且A 的逆为1-A,I-A 的逆为A。