2022年高考数学总复习第64讲：圆锥曲线中的范围、最值问题

2022年高考数学总复习第64讲：圆锥曲线
中的范围、最值问题
考点1 范围问题
求参数范围的4种方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围． (3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．
(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．
(2019·山师附中模拟)已知椭圆C ：x 23＋y 2
2＝1，
直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，
设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．
(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；
(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．
[解] (1)联立方程x 23＋y 2
2＝1和y ＝kx ＋m ， 得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－6＝0， 所以Δ＝(6km )2－4(2＋3k 2)(3m 2－6)>0， 所以m 2<2＋3k 2，所以2＋3k 2>3，即k 2>1
3， 解得k >33或k <－3
3.
所以实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3
3，＋∞.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－6km 2＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－6
2＋3k 2
.
设直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2， 因为直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，
所以k 1k 2＝y 1y 2
x 1x 2＝k 2，即（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x
2
＝k 2(m ≠0)，
化简得2＋3k 2
＝6k 2
，即k 2
＝2
3.
因为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝53⎝ ⎛
⎭
⎪⎫6－32m 2， 点O 到直线l 的距离h ＝
|m |
1＋k
2
＝3
5|m |，
所以S △OAB ＝12|AB |·h ＝66·32m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫6－32m 2≤66×32m 2＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫6－32m 22＝
6
2， 当m ＝±2时，直线OA 或OB 的斜率不存在，等号取不到，所以△OAB 的面积的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫
0，62.
本例求解采用了学生熟知的两种方法：不等式法和判别式法，利用
判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式Δ的关系建立目标不等式．
[教师备选例题]
(2019·江南十校联考)已知右焦点为F 2(c ，0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点
A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．
[解] (1)∵椭圆C 过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1，①
∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点， ∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3
4a 2，② 由①②得a 2＝4，b 2＝3，
1.如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛
物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆x 2
＋y 2
4＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积
的取值范围．
[解] (1)证明：设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
14y 22，y 2.
因为P A ，PB 的中点在抛物线上， 所以y 1，y 2为方程⎝
⎛⎭⎪⎫y ＋y 022
＝4·14y 2
＋x 02， 即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根． 所以y 1＋y 2＝2y 0， 所以PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，
y 1y 2＝8x 0－y 2
， 所以|PM |＝18(y 21＋y 2
2)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）. 所以△P AB 的面积
S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324()y 2
0－4x 03
2.
因为
x 20＋y 2
4
＝1(－1≤x 0<0)，
所以y 2
0－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，
所以△P AB 面积的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
62，
15104. 2．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF →
的取值范围．
[解] (1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，
2a ＝2＋0＋2＋（2＋2）2＝42， 所以a ＝22，b ＝2， 即椭圆C 的方程是y 28＋x 2
4＝1. (2)若直线l 垂直于x 轴，
则点E (0，22)，F (0，－22)，OE →·OF →
＝－8. 若直线l 不垂直于x 轴，
设l 的方程为y ＝kx ＋2，点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 将直线l 的方程代入椭圆C 的方程得到： (2＋k 2)x 2＋4kx －4＝0， 则x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，x 1x 2＝－42＋k 2
，
所以OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2
)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－4－4k 22＋k 2＋－8k 22＋k 2＋4
＝20
2＋k 2
－8， 因为0<202＋k 2≤10，所以－8<OE →·OF →
≤2， 综上所述，OE →·OF →的取值范围是[－8，2]． 考点2 最值问题
圆锥曲线中最值问题的解决方法
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解．
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围．
利用基本不等式求最值 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；
(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．
[解] (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.
故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2.
(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →
＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0
.
又x 20＋2y 20＝4，
所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2
＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 2
＋4－x 202＋2（4－x 20 ）x 20
＋4 ＝x 20
2＋8x 20
＋4(0＜x 20≤4)．
因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，
所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.
已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2，F 是
椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为23
3，O 为坐标原点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
[解] (1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝23
3，得c ＝ 3. 又c a ＝3
2，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.
故E 的方程为x 24＋y 2
＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，
故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2
＝1， 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，
即k 2>3
4时，x 1，2＝8k ±24k 2
－34k 2＋1
.
从而|PQ |＝k 2
＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋14k 2－3
4k 2＋1
.
又点O 到直线PQ 的距离d ＝
2
k 2
＋1
. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝1
2·d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.
设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4
＝4
t ＋4t ≤1.
当且仅当t ＝2，即k ＝±7
2时等号成立，且满足Δ>0. 所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为2y ±7x ＋4＝0.
利用函数性质求最值
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，
点A 在C 上，若|AO |＝|AF |＝3
2.
(1)求C 的方程；
(2)设直线l 与C 交于P ，Q ，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．
[解] (1)∵点A 在C 上，|AO |＝|AF |＝32，∴p 4＋p 2＝3
2，∴p ＝2，∴C 的方程为x 2＝4y .
(2)设直线方程为y ＝kx ＋b ，代入抛物线方程，可得x 2－4kx －4b ＝0，
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， ∴y 1＋y 2＝4k 2＋2b ，
∵线段PQ 的中点的纵坐标为1，∴2k 2＋b ＝1，
△OPQ 的面积S ＝1
2·b ·16k 2＋16b ＝b 2＋2b ＝2·b 3＋b 2(0＜b ≤1)， 设y ＝b 3＋b 2，y ′＝3b 2＋2b ＞0，故函数单调递增， ∴b ＝1时，△OPQ 的面积的最大值为2.
若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先
建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，可以构建二次型函数、双曲线型函数、多项式型函数等．
[教师备选例题]
如图，已知点F (1,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2.
(1)求p 的值及抛物线的准线方程； (2)求S 1
S 2
的最小值及此时点G 点坐标．
[解] (1)由抛物线的性质可得：p
2＝1，∴p ＝2， ∴抛物线的准线方程为x ＝－1；
(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，重心G (x G ，y G )，令y A ＝2t ，t ≠0，则x A ＝t 2，
由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x ＝t 2－1
2t y ＋1，
代入y 2＝4x ，得：y 2－2(t 2－1)
t
y －4＝0，
∴2ty B ＝－4，即y B ＝－2t ，∴B (1t 2，－2
t )，
又x G ＝13(x A ＋x B ＋x C )，y G ＝13(y A ＋y B ＋y C )，重心在x 轴上，∴2t －2
t ＋y C ＝0， ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t －t 2
，2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －t ，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 4－2t 2＋23t 2，0，
∴直线AC 的方程为y －2t ＝2t (x －t 2)，得Q (t 2－1,0)， ∵Q 在焦点F 的右侧，∴t 2>2， ∴S 1S 2
＝1
2|FG |·|y A |12|QG |·
|y C |
＝|2t 4－5t 2＋23t 2
|·|2t |
|t 2－1－2t 4－2t 2
＋23t 2
|·|2
t －2t |
＝2t 4－t 2t 4－1＝2－t 2－2t 4－1，令m ＝t 2－2，则m >0， S 1S 2＝2－m m 2＋4m ＋3
＝2－1
m ＋3m
＋4
≥2－
12
m ·3
m ＋4
＝1＋3
2，
∴当m ＝3时，S 1S 2取得最小值为1＋3
2，此时G (2,0)．
已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线
交抛物线于A ，B 两点．
(1)若AF →＝2FB →
，求直线AB 的斜率；
(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．
[解] (1)依题意知F (1，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →
，所以y 1＝－2y 2. ② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±2
4.
所以直线AB的斜率是±2 2.
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S
△AO B
.
因为2S
△AOB ＝2·
1
2·|OF|·|y1－y2|＝（y1＋y2）
2－4y1y2
＝41＋m2，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.。