2022-2023学年四川省宜宾市校高二年级下册学期开学考试数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年四川省宜宾市校高二下学期开学考试数学（文）试题
一、单选题
1．命题“存在，”的否定是（ ）
0R x ∈0
20x ≤A ．不存在，B ．存在，0R x ∈0
20x >0R x ∈0
20
x ≥C ．对任意的，D ．对任意的，x ∈R 20x
<x ∈R 20
x
>【答案】D
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】解：由题意
∵特称命题的否定是全称命题，
∴命题“存在，”的否定是：
0R x ∈0
20x ≤对任意的，．
x ∈R 20x
>故选：D ．2．抛物线
的焦点坐标为（ ）
243x y
=
A ．
B ．
C ．
D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭3,016⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D
【分析】将抛物线化成标准形式，即可求解.
【详解】由得
，故焦点为，2
43x y =
234y x =3,016⎛⎫ ⎪
⎝⎭故选：D
3．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：），所得数据用茎叶图cm 表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）
A ．甲乙两班同学身高的极差相等
B ．甲乙两班同学身高的平均值相等
C ．甲乙两班同学身高的中位数相等
D ．乙班同学身高在以上的人数较多
175cm
【答案】D
【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确.【详解】由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为18215725-=，两班身高极差不相等，故A 错误；
18315924-=甲班同学身高的平均值为，1
(157158163165166170172178181182)169.210+++++++++=乙班同学身高的平均值为
1
(159162165167171172176178181183)171.410+++++++++=显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B 错误；
根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为166170
1682+=，
171172
171.52+=所以，甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C 错误；
由茎叶图可知，甲班同学身高在以上的人数为3人，乙班同学身高在以上的人数为4175cm 175cm 人，故D 正确.故选;D 4．若直线与直线平行，则实数a 的值为（ ）
1:20l x y -+=2:230l x ay +-=A ．B ．C ．2
D ．1
2-1
-【答案】A
【分析】解方程即得解.1(1)20a ⨯--⨯=【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=-经检验，当时，满足题意.2a =-故选：A
5．在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式成立的概率为（ ）
2
20x x +<A ．B ．C ．D ．13
12
23
34
【答案】B
【分析】由可得,再根据几何概型的计算方法求解即可.2
20x x +<20x -<<【详解】解：由可得，
2
20x x +<20x -<<由几何概型的定义可得使不等式成立的概率为：.2
20x x +<20(2)2(221
4)---==-故选：B.
6．已知命题，使得；，使得．以下命题为真命题的为
1:R p x ∃∈210x x ++<2:[1,2]p x ∀∈210x -≥A ．
B ．
C ．
D ．
12p p ⌝∧⌝12
p p ∨⌝12
p p ⌝∧12
p p ∧【答案】D
【详解】
的解集为空集，故命题为假命题，22
(1)430,10x x ∆=--=-<∴++< 1p 1
p ⌝为真命题；，使得恒成立，故为真命
210,11,x x x -≥∴≥≤ 或[1,2]x ∴∀∈210x -≥2p 题，
为假命题；因为真命题，为真命题，故为真命题，答案为C ．
2p ⌝1p ⌝2p 12p p ⌝∧7．圆与圆
的位置关系为（ ）
()2
21:11
O x y -+=()2
22:39
O x y -+=A ．外离B ．外切C ．相交
D ．内切
【答案】D
【分析】求出两个圆的圆心与半径, 通过圆心距与两圆的半径和与差的关系, 判断两个圆的位置关系.
【详解】因为圆
的圆心, 半径为
,
()2
21:11
O x y -+=(1,0)11r =圆
的圆心, 半径为，,
()2
22:39
O x y -+=(3,0)23r =
,而
，
2
=122
r r -=则圆 与圆 的位置关系为内切.1O 2O 故选: D.
8．“”是“直线
与直线垂直”的（ ）
1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据两直线垂直的条件，求解范围即可求解.m 【详解】若直线
与直线垂直，则
()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=或，
()()()()()241104104m m m m m m m -+-+=⇒-+=⇒=1m =-故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，
1m =-()()24120m x m y -+++=()130m x my +-+=故选：B
9．直线与圆交两点.若，则的面积为
:l y x =222
:(1)(2)(0)C x y a a -+-=>,A B ||=AB a ABC
（ ）
A B C D 【答案】A
【分析】由题知圆心为
，半径为，进而根据几何法求弦长得
()
1,2C r a =
，解得
，再计算面积即可得答案.AB a ===a =【详解】解：由题知圆心为
，半径为，
()
1,2C r a =
所以，圆心
到直线的距离为
()
1,2C :l y x =d =
=
所以，弦长，即，解得
，AB a ===2320a -=a =
所以的面积为ABC 1122S AB d =
==故选：A
10．若，，，则的最小值为（ ）0a >0b >()lg lg lg 3a b a b +=+a b +
A ．
B ．
C ．6
D ．4+3+【答案】B
【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由
，
()()()lg lg lg 3lg 3lg 331a b a b a b b ab ab a b a b ⇒=⇒=+⇒=
+=+-+因为，，所以，即，
0a >0b >10b ->1b >
所以
33(1)44411b a b b b b b +=+=+-+≥+=+--
当且仅当时取等号，即时取等号，3
11b b =--1b =故选：B
11．在三棱锥中，平面，则该三棱锥外接球的
-P ABC 2,90,AC AB BAC PC ︒
==∠=⊥,1ABC PC =体积为（ ）A ．B ．C ．D ．
36π12π
8π
92π【答案】D
【解析】画出图形，将几何体补全为长方体，则将问题转化为求对应长方体外接球体积问题，结合体积公式即可求解
【详解】
如图所示，三棱锥实际上为长方体上四点组合而成，则外接球半径为，32r ==
则该三棱锥外接球的体积为
344279
3382V r πππ
==⨯=故选：D
【点睛】本题考查锥体外接球体积算法，对于这类问题，我们都可考虑把锥体还原成对应的长方体或圆柱体，再求对应的外接球半径，这样会简化求解难度，属于中档题
12．是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的左、12,F F ()22
22:10x y C a b a b -=>>1F l C 右两支分别交于两点，若
，则双曲线的离心率为（ ）
,A B 22::12:5:13
AB BF AF =
A B ．C D 2
【答案】D
【分析】根据长度关系可得
，利用双曲线定义可用表示出，利用勾股定理可
2AB BF ⊥a 12,BF BF 构造关于的齐次方程求得离心率.
,a c 【详解】
设
，则
，
，
12AB t
=25BF t
=213AF t
=，
；2
2
2
22AB BF AF += 2AB BF ∴⊥由双曲线定义可知：
，，
211132AF AF t AF a
-=-=1132AF t a ∴=-，，
1212172022BF BF AF AB BF AF t t a a ∴-=+-=+=-=1
5t a ∴=，，
11312
355BF AF AB a a a ∴=+=+=2BF a
=，，则
.
22
2121
2BF BF F F
+= 22294a a c ∴+=e ===故选：D.
二、填空题
13．若实数，满足约束条件则的最小值为___________.
x y 4,
2,2,x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
2z x y =-【答案】2
-【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析求解.【详解】解析由约束条件作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示.
由，得.
2z x y =-2y x z =-令直线与直线的交点为，则
.
2y =2x y +=A ()
0,2A 由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，则有最小值为.2y x z =-A y z 2-故答案为：-2
14．双曲线的焦距为______．
22
12x y λλ+=-
【答案】【分析】由，可得，，从而即可求解.
2λλ>-2
0a λ=>220b λ=->【详解】解：因为，所以，，
2λλ>-2
0a λ=>220b λ=->
所以，解得222
22c a b λλ=+=+-=c =
所以该双曲线的焦距为．2c =
故答案为：15．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为A .若为正三角形，()22
2210x y a b a b +=>>1F 2F 12AF F △则该椭圆的离心率为______.
【答案】##1
2
0.5
【分析】利用题给条件求得，进而求得椭圆的离心率2a c =【详解】为正三角形，则，则椭圆的离心率
12AF F △2a c =122
c c e a c =
==故答案为：1
2
16．已知圆，直线与圆相交于点，且，则弦的长度为____
2
2
:4O x y +=l O ,P Q •2OP OQ =-
PQ
【答案】【详解】由题
12cos 2cos 2OP OQ OP OQ POQ POQ ⋅=-⇒⋅∠=-⇒∠=-
则由余弦定理222
2cos 12PQ OP OQ OP OQ POQ PQ =+-⋅∠=∴=
故答案为：三、解答题
17．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，(x )x 超出的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用x .100水量单位：吨，将数据按照
,,分成组，制成了如图所示的频率分布直方
()[)[)0,0.5,0.5,1⋯[]4,4.59
图．
(1)求直方图中的值；
a (2)设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；303(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，并说明理由．85％(x )x 【答案】(1)0.3a =(2)万，理由见解析3.6(3)，理由见解析
2.9x =【分析】（1）根据各组的累积频率为，构造方程，可得值；
1a （2）由图可得月均用水量不低于吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于吨的人数；33（3）由图可得月均用水量低于吨的频率及月均用水量低于吨的频率，进而可得值．
2.53x 【详解】（1），
()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ⨯+++++++= ；
0.3a ∴=（2）由图可得月均用水量不低于吨的频率为：
，
3()0.50.120.080.040.12
⨯++=由，得全市居民中月均用水量不低于吨的人数约为万；300.12 3.6⨯=3 3.6（3）由图可得月均用水量低于吨的频率为：；
2.5()0.50.080.160.30.40.520.7385%
⨯++++=<月均用水量低于吨的频率为：；
3()0.50.080.160.30.40.520.30.8885%
⨯+++++=>则
吨．
0.850.73
2.50.5 2.9
0.30.5x -=+⨯
=⨯18．已知圆的圆心在直线上，经过点，且与直线相切.C 320x y +=C (2,0)A -4380x y -+=（1）求的标准方程；
C （2）直线与相交于两点，求的面积.
:230l x y --=C ,M N CMN 【答案】（1）
（2）10
()()22
2325
x y -++=
【解析】（1）不妨设圆心为
，半径为，结合待定系数法和点到直线距离公式即可求解；
()
,C a b r （2）由圆心到直线距离公式求得弦心距，再由几何性质和勾股定理求得弦长，利用d 即可求解
1
2S MN d =
⋅【详解】（1）设圆心为
，半径为，则圆的标准方程为;
,由题可得
()
,C a b r ()()22
2
x a y b r -+-=，解得，则圆的标准方程为；()222
33202485a a b a b r
r b ⎧
⎪+=⎪-+⎪⎪++=⎨⎪⎪=⎩23
5a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩C ()()222325x y -++=（2）如图，可求出圆心到直线的距离，
:230l x y --=
d
则半弦长，
2l
=
=
=l =
11
10
22
CMN S MN d =⨯⋅=⨯=△【点睛】本题考查待定系数法求圆的标准方程，由圆的几何性质求弦长，属于中档题
19．某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.y x 年份代号x
12345高考人数（千人）
y 35
33
28
29
25
（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）(1)求关于的线性回归方程；
y x (2)根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；(3)试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.
（参考公式：
）
()()
()
1
2
1
,n
i
i
i n
i
i a y bx
x x y y b x x ==--=
=--∑∑【答案】(1) 2.437.2y x =-+(2)22.8千人(3)答案见解析
【分析】（1）根据题中数据计算得即可解决；（2）根据（1）中回归方程计算即可；22.4,37.a b =-=（3）言之有理，客观分析即可.
【详解】（1）设回归方程为，由表中数据知，
y bx a =+，.
3x =30y =所以，
25(1)30(2)1(1)2(5)12
2.4
41415b -⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=
=-=-+++所以
，
()30 2.4337.2
a y bx =-=--⨯=所以关于的回归方程.
y x 2.437.2y x =-+（2）由（1）得关于的回归方程.y x 2.437.2y x =-+令，（千人），6x = 2.4637.222.8y =-⨯+=所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.（3）①该市经济发展速度慢；②该市人口数量减少；③
到省会城市求学人数增多.
20．如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体和.
PABD QABC (1)求证：；
PQ AB ⊥(2)若，求四面体的体积.2AB =APQB 【答案】(1)证明见解析
【分析】（1）连接与相交于点，证得为的中点，连接，，利用线面垂直的CD AB O O AB PO QO 判定定理证得平面，即可得到；
AB ⊥POQ PQ AB ⊥（2）过点分别作，得到分别为和的中心，分别求得,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,P
Q ABD △ABC 的长度，结合平面，及，即可求解.
1,,PP PQ OA AO ⊥POQ 2A PQB A POQ V V --=【详解】（1）证明：因为与共面，所以连接与相交于点，
ABD △ABC CD AB O 因为和是相同的正四面体，所以四边形为菱形，则为的中点，PABD QABC ACBD O AB 连接，，因为，，所以，
PO QO PA PB =QA QB =,Q PO AB O AB ⊥⊥又因为，所以平面，所以；
PO QO O ⋂=AB ⊥POQ PQ AB ⊥
（2）解：在四边形中，过点分别作
，垂足分别为，DPQC ,P Q 11,PP CD QQ CD ⊥⊥11,P Q 如图所示，可得分别为等边和等边的中心，
11,P Q ABD △ABC
因为，在等边中，可得2AB =ABD △OD =1DP =1OP =
在直角中，可得1DPP 1PP ==
同理可得，
1OQ =1111PQ PQ OQ OP ==+=由（1）知，平面，可得平面，
AB ⊥POQ AO ⊥POQ
所以
1223A PQB A POQ POQ V V S OA --==⨯⨯⨯=△
21．已知平面上动点P 到定点的距离比P 到直线的距离大1.记动点P 的轨迹为曲线C .
(2,0)F =1x -（1）求曲线C 的方程；
（2）过点的直线交曲线C 于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点是D ，证明：直线恒(2,0)-l BD 过点F .
【答案】（1）（2）证明见解析
28y x =【解析】(1)先分析出点P 在直线的右侧，然后利用抛物线的定义写出方程即可
=1x -(2)设出直线的方程和A 、B 两点坐标，联立方程求出的范围和A 、B 两点纵坐标之和和积，写l m 出直线的方程，然后利用前面得到的关系化简即可.
BD 【详解】（1）不难发现，点P 在直线的右侧，
=1x -∴P 到的距离等于P 到直线的距离.
(2,0)F 2x =-∴P 的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
(2,0)F 2x =-∴曲线C 的方程为.
28y x =（2）设直线的方程为，l 2x my =-()()
1122,,,A x y B x y 联立，得，，解得或.
228x my y x =-⎧⎨=⎩28160y my -+=264640m ∆=->1m >1m <-∴，.
128y y m +=1216y y =又点A 关于x 轴的对称点为D ，()
11,D x y -则直线的方程为BD ()212221
y y y y x x x x +-=--即()()()22122221218228y y y y y x x x my my y y ⎛⎫+-=-=- ⎪----⎝⎭令，得.0y =22211222888y y y y y x y -=-⋅==∴直线恒过定点，而点.
BD (2,0)(2,0)F 【点睛】本题考查了抛物线的定义和综合问题，属于较难题，设而不求法是解决直线与抛物线交点
问题的常见方法.
22．椭圆的左顶点为
22
22:1(0)x y M a b a b +=>>(
)2,0A -(1)求椭圆的方程；
M (2)已知经过点
的直线交椭圆于两点，是直线上一点.若四边形为平⎛ ⎝l
M ,B C D 4
x =-ABCD 行四边形，求直线的方程.
l 【答案】(1)；
2
21
4x y +=(2)或y x =+y =【分析】（1）直接由顶点和离心率求出椭圆方程即可；
（2）设，由表示出直线的斜率，进而写出直线的方程，联立椭圆求出弦长(4,)D t -AD BC k k =
l l ，由求出，即可求得直线的方程.
BC BC AD =t l 【详解】（1）由题意知：，故椭圆的方程为；
2,c a a ==2221b a c =-=M 2214x y +=（2）
设，又，故，又直线经过点
，故的方程1122(4,),(,
),(,)D t B x y C x y -(2,0)A -2AD BC t
k k =-=l ⎛ ⎝l 为
2t y x =-
联立椭圆方程可得，显然
，22214t y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩(
)
22110t x +--=0∆>
，
1212211x x x x t +==-+
=
=，由，可得
BC AD ==解得或，
t =0=t 故直线的方程为或l y x =+y =。