2020届高考数学(理)二轮考点专训卷：(4)三角函数 Word版含答案
2020年高考数学二轮复习专题04：三角函数、解三角形
2020年高考数学二轮复习专题04：三角函数、解三角形一、单选题（共13题；共26分）1. ( 2分) 要得到函数的图象，只要将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位2. ( 2分) 若函数，，则是（）A. 最小正周期为为奇函数B. 最小正周期为为偶函数C. 最小正周期为为奇函数D. 最小正周期为为偶函数3. ( 2分) 已知函数其中，的图象如图所示，则函数的解析式为A. B.C. D.4. ( 2分) 若直线与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5. ( 2分) 已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.6. ( 2分) 将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则=（）A. B. C. D.7. ( 2分) 函数的部分图像如图所示，则的值分别是（）A. B. C. D.8. ( 2分) 已知a是实数，则函数的图象不可能是（）A. B.C. D.9. ( 2分) 已知函数，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.10. ( 2分) 设，且，则等于（）A. 2B.C. 8D.11. ( 2分) 若为第二象限角，则（）A. B. C. D.12. ( 2分) 定义运算：，将函数（）的图像向左平移个单位所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.13. ( 2分) 函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（共5题；共5分）14. ( 1分) 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的最大值是________．15. ( 1分) 已知角终边上有一点,且，则________16. ( 1分) 已知,则________.17. ( 1分) 已知函数的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为－1.若，的值域是，则m的取值范围是________.18. ( 1分) 函数，下列四个命题① 是以为周期的函数② 的图象关于直线对称③当且仅当，取得最小值-1④当且仅当时，正确的是________．（填正确序号）三、解答题（共8题；共80分）19. ( 10分) 已知，（1）求的值；（2）求；20. ( 10分) 已知函数f(x)=sin(ωx+ ) - b(ω>0，0< <π的图象的两相邻对称轴之间的距离，若将f(x)的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数．（1）求f(x)的解析式并写出单增区间；（2）当x∈，f(x)+m-2<0恒成立，求m取值范围．21. ( 10分) 已知角的始边为轴的非负半轴，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点.（1）求的值；（2）若角是第二象限角，求的值.22. ( 10分) 已知函数的部分图象如图所示.（1）将函数的图象保持纵坐标不变,横坐标向右平移个单位后得到函数的图象,求函数在上的值域;（2）求使的x的取值范围的集合.23. ( 10分) 已知函数，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的倍，所得图像为函数的图像.（1）用“五点描点法”画出的图像（）.（2）求函数的对称轴，对称中心.24. ( 10分) 已知函数（）的最小正周期为，且其图象关于直线对称.（1）求和的值；（2）若，，求的值.25. ( 10分) 在中，角的对边分别为.（1）求的值；（2）求的面积.26. ( 10分) 已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知分别为内角的对边，其中为锐角，，且，求的面积．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】将的图象象左平移个单位，可得的图象，故答案为：C.【分析】利用函数图象的平移变换规律，即可得结果.2.【答案】A【考点】正切函数的周期性【解析】【解答】∵=-sin2x，∴f（x）=-sin2x，可得f（x）是奇函数，最小正周期T= =π故答案为：A．【分析】本题主要考查正弦函数的周期性，由诱导公式可将化为f（x）=-sin2x，结合正弦函数的奇偶性即可求出结果。
2020高考复习数学：三角函数(附答案)
2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！一、选择题（每小题6分，共60分）1.若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析：由sin2θ＜0得2sin θcos θ＜0.又cos θ＞0，∴sin θ＜0.∴角θ的终边在第四象限.答案：D2.要得到函数y =sin2x 的图象可由函数y =cos2x 的图象 A.向左平移2π个单位B.向右平移2π个单位C.向左平移4π个单位D.向右平移4π个单位解析：y =sin2x =cos （2π－2x ）=cos ［2（x －4π）］. 答案：D3.已知函数y =A sin （ωx + ）在同一周期内，当x =9π时，取得最大值21，当x =9π4时，取得最小值－21，则该函数的解析式为A.y =2sin （3x －6π）B.y =21sin （3x +6π）C.y =21sin （3x －6π）D.y =21sin （3x －6π）解析：A =21，2T =3π，ω=Tπ2=3，易知第一个零点为（－18π，0），则y =21sin ［3（x +18π）］，即y =21sin （3x +6π）.答案：B4.设集合M ={y |y =sin x }，N ={y |y =cos x tan x }，则M 、N 的关系是A.N MB.M NC.M =ND.M ∩N =∅解析：M ={y |－1≤y ≤1}，N ={y |－1＜y ＜1}，选A. 答案：A 5.y =xx cos 2sin 3-的值域是A.［－1，1］B.［－3，3］C.［－3，1］D.［－1，3］解析：原式可化为3sin x +y cos x =2y ，23y +sin （x +ϕ）=2y （tan ϕ=3y ），sin （x +ϕ）=232yy +∈［－1，1］，解得y ∈［－1，1］. 答案：A6.在△ABC 中，tan A ·tan B ＞1，则△ABC 为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形解析：tan （A +B ）=－tan C ，得BA BA tan tan 1tan tan ⋅-+=－tan C .∵tan A ·tan B＞1，∴tan A ＞0，tan B ＞0.1－tan A ·tan B ＜0，∴－tan C ＜0.tan C ＞0，∴△ABC 为锐角三角形.故选B.答案：B7.方程cos x =lg x 的实根个数为A.1个B.2个C.3个D.无数个解析：当x =10时，lg x =1，在同一坐标系中画出y =cos x 和y =lg x 的图象，可知有3个交点，选C.答案：C 8.）（）（3arctan 21arccos 23arcsin--+的值是 A.－3 B.2C.－3πD.3π解析：原式=－3，选A. 答案：A9.已知f （sin x ）=sin3x ，则f （cos x ）等于 A.－cos3x B.cos3x C.sin3x D.－sin3x解析：f （cos x ）=f ［sin （2π－x ）］=sin3（2π－x ）=－cos3x ，选A.答案：A10.函数f （x ）=sin2x +5sin （4π+x ）+3的最小值是A.－3B.－6C.89D.－1解析：f （x ）=2sin x cos x +225（sin x +cos x ）+3.令t =sin x +cos x ，t ∈［－2，2］，则y =（t +425）2－89.则当t =－2时，y min =－1，选D.答案：D二、填空题（每小题4分，共16分）11.已知角α的终边上一点P （3，－1），则sec 2α+csc 2α+cot 2α=_________.解析：sec α=32，csc α=－2，cot α=－3，代入得325.答案：32512.（2005年春季上海，11）函数y =sin x +arcsin x 的值域是____________.解析：该函数的定义域为［－1，1］.∵y =sin x 与y =arcsin x 都是［－1，1］上的增函数，∴当x =－1时，y min =sin （－1）+arcsin （－1）=－2π－sin1，当x =1时，y max =sin1+arcsin1=2π+sin1，∴值域为［－2π－sin1，2π+sin1］.答案：［－2π－sin1，2π+sin1］13.△ABC 中，若sin A =53，cos B =135，则cos C =_______.解析：由cos B =135，得sin B =1312＞53=sin A .A 是锐角，cos A =54，cos C =cos （π－A －B ）=6516.答案：651614.若f （x ）=a sin 3x +b tan x +1且f （3）=5，则f （－3）=_______. 解析：令g （x ）=a sin 3x +b tan x ，则g （－x ）=－g （x ）.f （3）=g （3）+1=5，g （3）=4.f （－3）=g （－3）+1=－g （3）+1=－4+1=－3.答案：－3三、解答题（本大题共6小题，共74分）15.（12分）（2005年黄冈市调研题）已知sin 2α－cos 2α=510，α∈（2π，π），tan （π－β）=21，求tan （α－2β）的值.解：∵sin 2α－cos 2α=510， ∴1－sin α=52.∴sin α=53.又∵α∈（2π，π），∴cos α=－α2sin 1-=－54.∴tan α=－43.由条件知tan β=－21，∴tan2β=ββ2tan tan 2-1=－34.∴tan （α－2β）=βαβα2tan tan 2tan tan ⋅+1-=247. 16.（12分）已知2cos2α－cos2β=1，求21sin 22α+sin 2β+2cos 4α的值.解：由2cos2α－cos2β=1，即2cos2α=1+cos2β，得cos2α=cos 2β.因此21sin 22α+sin 2β+2cos 4α=21sin 22α+sin 2β+2·（2+α2cos 1）2=1+cos2α+sin 2β=1+cos 2β+sin 2β=2.17.（12分）（2004年浙江，理17）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A =31.（1）求sin 22C B ++cos2A 的值；（2）若a =3，求bc 的最大值.解：（1）sin 22C B ++cos2A =21［1－cos （B +C ）］+（2cos 2A －1）=21（1+cos A ）+（2cos 2A －1）=21（1+31）+（92－1）=－91.（2）∵bca cb 2222-+=cos A =31，∴32bc =b 2+c 2－a 2≥2bc －a 2.∴bc ≤43a 2.又∵a =3，∴bc ≤49.当且仅当b =c =23时，bc =49.故bc 的最大值是49. 18.（12分）已知a 1=xtan 1，a n +1=a n cos x －sin nx ，求a 2、a 3、a 4，推测a n 并证明.解：a 2=a 1cos x －sin x =xxx sin sin cos 22-=xx sin 2cos ，a 3=a 2cos x －sin2x =xx sin 3cos ，a 4=xx sin 4cos .可推测a n =xnx sin cos ，数学归纳法可证之.（读者自己完成）19.（12分）设A 、B 、C 是三角形的内角，且lgsin A =0，又sin B 、sin C 是关于x 的方程4x 2－2（3+1）x +k =0的两个根，求实数k的值.解：由lgsin A =0，得sin A =1，A =2π，B +C =2π，sin C =cos B .又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+，，4sin sin 213sin sin k C B C B ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.4cos sin 213cos sin k B B B B ，由sin B cos B =21［（sin B +cos B ）2－1］，得4k =21［（213+）2－1］，解得k =3.20.（14分）已知F （θ）=cos 2θ+cos 2（θ+α）+cos 2（θ+β），问是否存在满足0≤α＜β≤π的α、β，使得F （θ）的值不随θ的变化而变化?如果存在，求出α、β的值；如果不存在，请说明理由.解：F （θ）=23+21［cos2θ+cos （2θ+2α）+cos （2θ+2β）］=23+21（1+cos2α+cos2β）cos2θ－21（sin2α+sin2β）sin2θ.F （θ）的值不随θ变化的充要条件是⎩⎨⎧=+=++，，02sin 2sin 02cos 2cos 1βαβα 得（cos2α+1）2+sin 22α=1， cos2α=－21.同理，cos2β=－21.又0≤α＜β≤π，故存在α、β满足条件，其值分别为α=3π，β=3π2.●意犹未尽相信自己是一只雄鹰一个人在高山之巅的鹰巢里，抓到了一只幼鹰，他把幼鹰带回家，养在鸡笼里.这只幼鹰和鸡一起啄食、嬉闹和休息.它以为自己是一只鸡.这只鹰渐渐长大，羽翼丰满了，主人想把它训练成猎鹰，可是由于终日和鸡混在一起，它已经变得和鸡完全一样，根本没有飞的愿望了.主人试了各种办法，都毫无效果，最后把它带到山顶上，一把将它扔了出去.这只鹰像块石头似的，直掉下去，慌乱之中它拼命地扑打翅膀，就这样，它终于飞了起来！一语中的：磨炼召唤成功的力量.。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xy αtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 227．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan =(2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅.【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______； (3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______；(4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______；(3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o ______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan-=+∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o ．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα； ∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα(2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x 原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( ) A ．sin15°－cos15° B ．sin15°＋cos15° C ．－sin15°－cos15° D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题．例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x x x x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立， 即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间，2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合 (2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕω B ．3π,1-==ϕω C ．6π,21==ϕω D ．6π,21-==ϕω解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y列表(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1．【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______． 7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高. 21=∆ABCS ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a 又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ． 法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和bc＝321+，求∠A 和tan B 的值． 解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ． 由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( )A ．35 B ．45 C ．55 D ．65 二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A . (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米． 求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα (2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα，所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35， 因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α， 所以原式.52932534-=+-⨯= 练习3－3一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 二、填空题5．2 6．2 7．)3π2sin(+=x y 8．]2,89[- 三、解答题9．解：x x x x x x f 2cos 2sin 1cos 2cos sin 2)(2-=+-=＝)4π2sin(2-x . (1)Z ∈+=-k k x ,2ππ4π2，对称轴方程为Z ∈+=k k x ,8π32π， (2)Z ∈+≤-≤+k k x k ,2π3π24π22ππ2，即Z ∈+≤≤+k k x k ,8π7π8π3π，f (x )的单调减区间为Z ∈++k k k ],8π7π,8π3π[．10．解：(I)∵⋅+=+=-+=)3π2sin(22cos 32sin )4sin 21(32sin )(2x x x x x x f∴f (x )的最小正周期.π421π2==T当1)3π2sin(-=+x 时，f (x )取得最小值－2；当1)3π2sin(=+x 时，f (x )取得最大值2．(Ⅱ)由(I)知⋅+=+=)3π()().3π2sin(2)(x f x g x x f 又⋅=+=++=∴2cos 2)2π2sin(2]3π)3π(21sin[2)(xx x x g).(2cos 2)2cos(2)(x g xx x g ==-=-∴函数g (x )是偶函数．11．解：(1)12cos 2sin 32sin 322cos 12)(+++=+++⨯=a x x a x xx f ωωωω。
2019-2020学年度最新人教版高考数学二轮复习：三角函数专题Word版
2019-2020学年度最新人教版高考数学二轮复习：三角函数专题Word 版(附参考答案)本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。
分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。
解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=-故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。
A ．m 2=nB ．m 2=12+nC ．n m 22=D ．22mn = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1 故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形(含答案)
2020年高考数学（理）二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形三角函数是一种重要的基本初等函数，它是描述周期现象的一个重要函数模型，可以加深对函数的概念和性质的理解和运用．其主要内容包括：三角函数的概念、三角变换、三角函数、解三角形等四部分．在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式的基础上，能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明；理解并能正确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解斜三角形．重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等．§3－1 三角函数的概念【知识要点】1．角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数．2．弧度rad 以及度与弧度的互化： 3.57)π180(rad 1,π180;≈===r l α． 3．三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角α 的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上任意一点P (x ，y )，｜OP ｜＝r (r ≠0)，则;cos ;sin r x r y ==αα⋅=xyαtan5．三角函数线：正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT6．同角三角函数基本关系式：⋅==+αααααcos sin tan ,1cos sin 22 7．诱导公式：任意角α 的三角函数与角ααα±±-2π,π,等的三角函数之间的关系，可以统一为“k ·2π±α ”形式，记忆规律为“将α 看作锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”．【复习要求】1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；会表示终边相同的角；会象限角的表示方法． 2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值， 3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值． 4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式． 【例题分析】例1 (1)已知角α 的终边经过点A (－1，－2)，求sin α ，cos α ，tan α 的值；(2)设角α 的终边上一点),3(y P -，且1312sin =α，求y 的值和tan α ． 解：(1)5||==OA r ，所以.2tan ,55cos ,55252sin ==-==-=-==x y r x r y ααα(2),13123sin ,3||22=+=+==y y y OP r α 得⎪⎩⎪⎨⎧=+>13123022y y y ，解得.3236tan ,6-=-===x y y α 【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．例2 (1)判断下列各式的符号：①sin330°cos(－260°)tan225° ②sin(－3)cos4 (2)已知cos θ ＜0且tan θ ＜0，那么角θ 是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (3)已知α 是第二象限角，求角αα2,2的终边所处的位置．解：如图3－1－1，图3－1－2 (1)①330°是第四象限角，sin330°＜0；－260°是第二象限角，cos(－260°)＜0；225°是第三象限角，tan225°＞0；所以sin330°cos(－260°)tan225°＞0.②－3是第三象限角，sin(－3)＜0；5是第四象限角，cos5＞0，所以sin(－3)cos5＜0或：－3≈－3×57.3°＝－171.9°，为第三象限角；5≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．(2)cos θ ＜0，所以角θ 终边在第二或第三象限或在x 轴负半轴上tan θ ＜0，所以角θ终边在第二或第四象限中，所以角θ 终边在第二象限中，选B.【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，(3)分析：容易误认为2α是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是),π,2π(α 是第二象限角，所以2k π＋2π＜α ＜2k π＋π，(k ∈Z )，所以,2ππ2π4ππ+<<+k k )(Z ∈k 如下图3－1－3，可得2α是第一象限或第三象限角，又4k π＋π＜2α ＜4k π＋2π，2α 是第三象限或第四象限角或终边落在y 轴负半轴的角．【评析】处理角的象限问题常用方法(1)利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理； (2)遇到弧度制问题也可以由)π180(rad 1=°≈57.3°化为角度处理； (3)在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况． (4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练． 如第一象限角：)(,2ππ2π2Z ∈+<<k k k α，注意防止2π0<<α的错误写法．例3 (1)已知tan α ＝3，且α 为第三象限角，求sin α ，cos α 的值； (2)已知31cos -=α，求sin α ＋tan α 的值；(3)已知tan α ＝－2，求值：①ααααcos sin cos sin 2-+；②sin 2α ＋sin α cos α ．解：(1)因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cos sin 3cos sin 22αααα，得到.1010cos 10103sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=αα (2)因为031cos <-=α，且不等于－1，所以α 为第二或第三象限角， 当α 为第二象限角时，sin α ＞0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2-===-=ααααα 所以⋅-=+324tan sin αα 当α 为第三象限角时，sin α ＜0，,22cos sin tan ,322cos 1sin 2==-=--=ααααα 所以⋅=+324tan sin αα 综上所述：当α 为第二象限角时，324tan sin -=+αα，当α 为第三象限角时，⋅=+324tan sin αα 【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：(1)先定所给角的范围：根据所给角的函数值的符号进行判断(2)利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号) (3)当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论(3)(法一)：因为tan α ＝－2，所以.cos 2sin ,2cos sin αααα-=-= ①原式1cos 3cos 3cos cos 2cos cos 4=--=--+-=αααααα，②原式＝(－2cos α )2＋(－2cos α )cos α ＝2cos 2α ，因为⎩⎨⎧=+-=1cos sin cos 2sin 22αααα，得到51cos 2=α，所以⋅=+52cos sin sin 2ααα (法二)：①原式,112141tan 1tan 21cos sin 1cos sin 2=--+-=-+=-+=αααααα②原式⋅=+-=++=++=5214241tan tan tan cos sin cos sin sin 22222αααααααα 【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：(1)可以利用αααcos sin tan =将切化弦，使得问题得以解决； (2)1的灵活运用，也可以利用sin 2α ＋cos 2α ＝1，αααcos sin tan =，将弦化为切．例4 求值：(1)tan2010°＝______； (2))6π19sin(-＝______； (3)⋅+---+-)2πcos()π3sin()2π3sin()πcos()π2sin(ααααα解：(1)tan2010°＝tan(1800°＋210°)＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝3330tan = (2)216πsin )6ππsin()6ππ3sin(619πsin )6π19sin(==+-=+-=-=-或:216πsin )6ππsin()6ππ3sin()6π19sin(==--=--=-【评析】“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”，6π2π26ππ-⨯-=--，可以看出是2π的－2倍(偶数倍)，借助图3－1－2看出6ππ--为第二象限角，正弦值为正． (3)原式)2πcos()πsin()]2π(πsin[)cos (sin ααααα---+--=⋅⋅⋅⋅-=-=--=αααααααααsin 1sin cos cos sin sin )2πsin(cos ·sin【分析】αα-⨯=-2π32π3，将α 看做锐角，借助图3－1－2看出α-2π3为第三象限角，正弦值为负，2π的3倍(奇数倍)，改变函数名，变为余弦，所以可得ααcos )2π3sin(-=-，同理可得ααsin )2πcos(=+-，所以原式αααααααcsc sin 1sin sin cos )cos (sin -=-=---=⋅⋅⋅. 【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α 看做锐角，符号看象限，(函数名)奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．例5 已知角α 的终边经过点)5πsin ,5πcos (-，则α 的值为( ) A ．5π- B ．5π4 C )(,π5πZ ∈+-k k D ．)(,π25π4Z ∈+k k解：因为05πsin ,05πcos >>，所以点)5πsin ,5πcos (-在第二象限中，由三角函数定义得，5πtan 5πcos 5πsin tan -=-==x y α，因为角α 的终边在第二象限， 所以)π25π4tan(5π4tan )5ππtan(tan k +==-=α，所以，)(,π25π4Z ∈+=k k α，选D ．例6 化简下列各式：(1)若θ 为第四象限角，化简θθ2sin 1tan - (2)化简θθ2tan 1cos +(3)化简)4πcos(4sin 21--解：(1)原式＝|cos |cos sin |cos |tan cos tan 2θθθθθθθ===， 因为θ 为第四象限角，所以cos θ ＞0，原式＝θθθθsin cos cos sin ==⋅，(2)原式＝⋅==+=+=|cos |cos cos 1cos cos sin cos cos cos sin 1cos 222222θθθθθθθθθθθ当θ 为第二、三象限角或终边在x 轴负半轴上时，cos θ ＜0，所以原式1cos cos -=-=θθ，当θ 为第一、四象限角或终边在x 轴正半轴上时，cos θ ＞0，所以原式1cos cos ==θθ.(3)原式|4cos 4sin |)4cos 4(sin 4cos 4sin 212+=+=+=.4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0， 所以原式＝－(sin4＋cos4)＝－sin4－cos4．【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法： (1)函数名称有弦有切：切化弦；(2)分式化简：分式化整式；(3)根式化简：无理化有理(被开方式凑平方)，运用||2x x =，注意对符号的分析讨论；(4)注意公式(sin α ±cos α )2＝1±2sin α cos α ＝1±sin2α 的应用．例7 扇形的周长为定值L ，问它的圆心角θ (0＜θ ＜π)取何值时，扇形的面积S 最大?并求出最大值． 解：设扇形的半径为)20(Lr r <<，则周长L ＝r ·θ ＋2r (0＜θ ＜π) 所以44214421)2(2121ππ2,22222222++=++=+==⋅=+=θθθθθθθθθθL L L r r S L r ． 因为844244=+⨯≥++θθθθ，当且仅当θθ4=，即θ ＝2∈(0，π)时等号成立．此时16812122L L S =⨯≤，所以，当θ ＝2时，S 的最大值为162L .练习3－1一、选择题1．已知32cos -=α，角α 终边上一点P (－2，t )，则t 的值为( ) A ．5 B ．5± C ．55 D ．55±2．“tan α ＝1”是“Z ∈+=k k ,4ππ2α”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要不而充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知点P (sin α －cos α ，tan α )在第一象限，则在[0，2π]上角α 的取值范围是( )A ．)4π5,π()4π3,2π( B ．)4π5,π()2π,4π(C ．)2π3,4π5()4π3,2π(D ．)π,4π3()2π,4π(4．化简=+170cos 10sin 21( ) A ．sin10°＋cos10° B ．sin10°－cos10° C ．cos10°－sin10°D ．－sin10°－cos10°二、填空题5．已知角α ，β 满足关系2π0;<<<βα，则α －β 的取值范围是______． 6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．7．若2π3π,sin <<=ααm ，则tan(π－α )＝______． 8．已知：2π4π,81cos sin <<=ααα，则cos α －sin α ＝______．三、解答题9．已知tan α ＝－2，且cos(π＋α )＜0，求 (1)sin α ＋cos α 的值 (2)θθ2cos sin 22-－的值10．已知21tan =α，求值： (1)ααααcos sin cos 2sin -+； (2)cos 2α －2sin α cos α ．11．化简ααααααααtan 1tan cos sin ]π)1cos[(]π)1sin[()πcos()πsin(2+++++++-⋅k k k k§3－2 三角变换【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α ＋β )＝sin α cos β ＋cos α sin β ；sin(α －β )＝sin α cos β －cos α sin β ； cos(α ＋β )＝cos α cos β －sin α sin β ；cos(α －β )＝cos α cos β ＋sin α sin β ；⋅+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(;tan tan 1tan tan )tan(2．正弦、余弦、正切的二倍角公式sin2α ＝2sin α cos α ：cos2α ＝cos 2α －sin 2α ＝1－2sin 2α ＝2cos 2α －1；⋅-=ααα2tan 1tan 22tan 【复习要求】1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用； 2．掌握三角变换的通法和一般规律； 3．熟练掌握三角函数求值问题． 【例题分析】例1 (1)求值sin75°＝______；(2)设54sin ),π,2π(=∈αα，则=+)4πcos(α______；(3)已知角2α的终边经过点(－1，－2)，则)4πtan(+α的值为______； (4)求值=+-15tan 115tan 1______．解：(1)=︒︒+︒︒=︒+︒=︒30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin 222322+⨯ 21⨯426+=． (2)因为53cos ,54sin ),π,2π(-==∈ααα所以， 1027)5453(22sin 22cos 22)4πcos(-=--=-=+ααα(3)由三角函数定义得，342tan 12tan2tan ,22tan2-=-==αααα， 所以71tan 1tan 1tan 4πtan 14πtantan )4πtan(-=-+=-+=+ααααα. (4)3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1=︒=︒-︒=︒︒+︒-︒=︒+︒-⋅==-=+-=+-3330tan )1545tan(15tan 45tan 115tan 45tan 15tan 115tan 1o【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意αααtan 1tan 1)4πtan(-+=+和αααtan 1tan 1)4πtan(+-=-运用． 例2 求值： (1)=-12πsin 12πcos3______； (2)cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝______； (3)=++37tan 23tan 337tan 23tan o______． 解：(1)原式)12πsin 3πcos 12πcos 3π(sin 2)12πsin 2112πcos 23(2-=-= 24πsin 2)12π3πsin(2==-=.【评析】辅助角公式：,cos ),sin(cos sin 2222ba a xb a x b x a +=++=+ϕϕ⋅+=22sin b a b ϕ应熟练掌握，另外本题还可变形为=-)12πsin 2112πcos 23(2 -12πcos 6π(cos 2.24πcos 2)12π6πcos(2)12πsin 6πsin ==+=(2)分析所给的角有如下关系：77°＋43°＝120°，167°＝90°＋77°，原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos(90°＋77°)＝cos43°cos77°－sin43°sin77° ＝cos(43°＋77°)＝cos120°＝⋅-21 (3)分析所给的角有如下关系：37°＋23°＝60°，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tan a ＋tan β 与两角正切的积tan α tan β ，所有均指向公式⋅-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(∵,337tan 23tan 137tan 23tan )3723tan(60tan =︒︒-︒+︒=+=∴,37tan 23tan 3337tan 23tan -=+ ∴337tan 23tan 337tan 23tan =++o．【评析】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+的变形tan α ＋tan β ＝tan(α ＋β )(1－tan α tan β )应予以灵活运用．例3 41)tan(,52)tan(=-=+βαβα，则tan2α ＝______； (2)已知1312)4πsin(,53)sin(),π,4π3(,=--=+∈ββαβα，求)4πcos(+α的值．解：(1)分析所给的两个已知角α ＋β ，α －β 和所求的角2α 之间有关系(α ＋β )＋(α －β )＝2α ，=-++=)]()tan[(2tan ββa a a 1813415214152)tan()tan(1)tan()tan(=⨯-+=-+--++βαβαβαβα， (2)∵)π,4π3(,∈βα，∴)43,2π(4π),π2,23π(π∈-∈+ββα，又∵53)sin(-=+βα，∴54)cos(=+βα；∵1312)4πsin(=-β，∴135)4πcos(-=-β．)4πsin()sin()4πcos()cos()]4π()cos[()4πcos(-++-+=--+=+ββαββαββαα65561312)53()135(54-=⨯-+-⨯=. 【评析】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如αββαααββα2)(,4π)4π()(，+-=+=--+++=)(βα)(βα-等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．例4 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α ，β ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为552,102.(Ⅰ)求tan(α ＋β )的值； (Ⅱ)求α ＋2β 的值．解：由三角函数定义可得552cos ,102cos ==βα， 又因为α ，β 为锐角，所以55sin ,1027sin ==βα，因此tan α ＝7，21tan =β (Ⅰ)3tan tan 1tan tan )tan(-=-+=+βαβαβα；(Ⅱ) 34tan 1tan 22tan 2=-=βββ，所以12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα， ∵α ，β 为锐角，∴4π32,2π320=+∴<+<βαβα 【评析】将三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式结合在一起进行考查，要求基础知识掌握牢固，灵活运用；根据三角函数值求角，注意所求角的取值范围．例5 化简(1)12cos2sin22sin 22cos 2-+αααα；(2).2sin 3)4πcos()4πcos(2x x x +-+解：(1)原式⋅+-=--=--=-=)4πsin(2sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22αααααααααα (2)法一：原式x x x x x 2sin 3)sin 22cos 22)(sin 22cos 22(2++-= x x x 2sin 3sin cos 22+-=⋅+=+=+=)6π2sin(2)2sin 232cos 21(22sin 32cos x x x x x法二：,2π)4π()4π(=--+x x原式x x x 2sin 3)4πcos()]4π(2πcos[2+--+=x x x x x 2sin 3)2π2sin(2sin 3)4πcos()4πsin(2+--=+---=⋅+=+=)6π2sin(22sin 32cos x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础．例6 (1)已知α 为第二象限角，且415sin =α，求12cos 2sin )4πsin(+++ααα的值． (2)已知323cos sin 32cos 62-=-x x x ，求sin2x 的值． 解：(1)因为α 为第二象限角，且415sin =α，所以41cos -=α， 原式.2cos 42)cos (sin cos 2)cos (sin 221)1cos 2(cos sin 2)cos (sin 222-==++=+-++=ααααααααααα 【评析】此类题目为给值求值问题，从分析已知和所求的三角式关系入手，如角的关系，另一个特征是往往先对所求的三角式进行整理化简，可降低运算量．(2)因为32sin 32cos 32sin 322cos 16+-=-+⋅x x x x3233)6π2cos(323)2sin 212cos 23(32-=++=+-=x x x 所以0)6π2sin(,1)6π2cos(=+-=+x x 216πsin )6π2cos(6πcos )6π2sin(]6π)6π2sin[(2sin =+-+=-+=x x x x【评析】在进行三角变换时，应从三个角度：角的关系、函数的名称、所给运算式的结构全面入手，注意二倍角的变式(降幂升角)22cos 1sin ,22cos 1cos 22αααα-=+=和辅助角公式的应用，此类变换是处理三角问题的基础，因为处理三角函数图象性质问题时往往先进行三角变换．练习3－2一、选择题1．已知53sin ),π,2π(=∈αα，则)4πtan(+α等于( ) A ．71 B ．7 C ．71-D ．－72．cos24°cos54°－sin24°cos144°＝( ) A ．23-B ．21 C ．23 D ．21-3．=-o30sin 1( )A ．sin15°－cos15°B ．sin15°＋cos15°C ．－sin15°－cos15°D ．cos15°－sin15°4．若22)4πsin(2cos -=-αα，则cos α ＋sin α 的值为( ) A ．27-B ．21-C ．21 D ．27 二、填空题 5．若53)2πsin(=+θ，则cos2θ ＝______． 6．=-10cos 310sin 1______．7．若53)cos(,51)cos(=-=+βαβα，则tan α tan β ＝______． 8．已知31tan -=α，则=+-ααα2cos 1cos 2sin 2______． 三、解答题 9．证明⋅=++2tan cos 1cos .2cos 12sin ααααα10．已知α 为第四象限角，且54sin -=α，求ααcos )4π2sin(21--的值．11．已知α 为第三象限角，且33cos sin =-αα. (1)求sin α ＋cos α 的值；(2)求αααααcos 82cos 112cos2sin82sin 522-++的值．§3－3 三角函数【知识要点】12π 2π π 对称轴Z ∈+=k k x ,ππx ＝k π，k ∈Z2．三角函数图象是研究三角函数的有效工具，应熟练掌握三角函数的基本作图方法．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图．3．三角函数是描述周期函数的重要函数模型，通过三角函数体会函数的周期性．函数y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||π2ω=T ；y ＝A tan(ω x ＋ϕ)(ω ≠0)的最小正周期：||πω=T ．同时应明确三角函数与周期函数是两个不同的概念，带三角函数符号的函数不一定是周期函数，周期函数不一定带三角函数符号．【复习要求】1．掌握三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质：定义域、值域(最值)、单调性、周期性、奇偶性、对称性等．2．会用五点法画出函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(A ＞0，ω ＞0)的简图，掌握图象的变换方法，并能解决相关图象性质的问题．3．本节内容应与三角恒等变换相结合，通过变换，整理出三角函数的解析式，注意使用换元法，转化为最基本的三个三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x ，结合三角函数图象，综合考察三角函数性质 【例题分析】例1 求下列函数的定义域(1)xxy cos 2cos 1+=；(2)x y 2sin =.解：(1)cos x ≠0，定义域为},2ππ|{Z ∈+≠k k x x (2)sin2x ≥0，由正弦函数y ＝sin x 图象(或利用在各象限中和轴上角的正弦函数值的符号可得终边在第一二象限，x 轴，y 轴正半轴上) 可得2k π≤2x ≤2k π＋π， 定义域为},2πππ|{Z ∈+≤≤k k x k x例2 求下列函数的最小正周期 (1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．解：(1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T .(4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y ＝｜sin x ｜的图象为下图，可得，T ＝π．【评析】(1)求三角函数的周期时，通常利用二倍角公式(降幂升角)和辅助角公式先将函数解析式进行化简，然后用||π2ω=T (正余弦)或||πω=T (正切)求最小正周期． (2)对于含绝对值的三角函数周期问题，可通过函数图象来解决周期问题． 例3 (1)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 (2)若函数f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)为R 上的奇函数，则ϕ＝______． (3)函数)2π2π(lncos <<-=x x y 的图象( )解：(1),,44cos 12sin 21)cos sin 2(21sin cos 2)(2222R ∈-====x xx x x x x x f 周期为2π，偶函数，选D (2)f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以2sin(－2x ＋ϕ)＝－2sin(2x ＋ϕ)对x ∈R 恒成立， 即sin ϕcos2x －cos ϕsin2x ＝－sin2x cos ϕ－cos2x sin ϕ， 所以2sin ϕcos2x ＝0对x ∈R 恒成立，即sin ϕ＝0，所以ϕ＝k π，k ∈Z ．【评析】三角函数的奇偶性问题可以通过奇偶性定义以及与诱导公式结合加以解决．如在本题(2)中除了使用奇偶性的定义之外，还可以从公式sin(x ＋π)＝－sin x ，sin(x ＋2π)＝sin x 得到当ϕ＝2k π＋π或ϕ＝2k π＋π，k ∈Z ，即ϕ＝k π，k ∈Z 时，f (x )＝2sin(2x ＋ϕ)可以化为f (x )＝sin x 或f (x )＝－sin x ，f (x )为奇函数．(3)分析：首先考虑奇偶性，f (－x )＝lncos(－x )＝lncos x ＝f (x )，为偶函数，排除掉B ，D 选项 考虑(0，2π)上的函数值，因为0＜cos x ＜1，所以lncos x ＜0，应选A 【评析】处理函数图象，多从函数的定义域，值域，奇偶性，单调性等方面综合考虑．例4 求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ;(2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ； (3) x x y 2sin 32cos -=；(4))23πsin(2x y -=解：(1)y ＝cos x 的增区间为[2k π＋π，2k π＋2π]，k ∈Z ，由π2π23π21ππ2+≤-≤+k x k 可得3π14π43π8π4+≤≤+k x k )3π21cos(-=x y 的增区间为Z ∈++k k k ],3π14π4,3π8π4[，(2)先求出函数)6π2sin(2+=x y 的增区间Z ∈+-k k k ],6ππ,3ππ[然后与区间[－π，0]取交集得到该函数的增区间为]6π5,π[--和]0,3π[-，(3))3π2cos(2)2sin 232cos 21(2+=-=x x x y ，转化为问题(1)，增区间为 Z ∈++k k k ],6π5π,3ππ[(4)原函数变为)3π2sin(2--=x y ，需求函数)3π2sin(-=x y 的减区间， 2π3π23π22ππ2+≤-≤+k x k ，得12π11π12π5π+≤≤+k x k ， )23πsin(2x y -=的增区间为.],12π11π,12π5π[Z ∈++k k k【评析】处理形如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，(ω ＜0)的函数单调性时，可以利用诱导公式将x 的分数化正，然后再求相应的单调区间．求三角函数单调区间的一般方法：(1)利用三角变换将解析式化为只含有一个函数的解析式，利用换元法转化到基本三角函数的单调性问题． (2)对于给定区间上的单调性问题，可采用问题(2)中的方法，求出所有的单调增区间，然后与给定的区间取交集即可．例5 求下列函数的值域(1)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合(2))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y (4)y ＝cos2x －2sin x解：(1)当Z ∈+=+k k x ,ππ26π21时，1)6π21cos(-=+x ，函数的最大值为3，此时x 的取值集合为},3π5π4|{Z ∈+=k k x x(2)结合正弦函数图象得：当)3π2,6π(-∈x 时，1sin 21≤<-x该函数的值域为(－1，2](3)分析：利用换元法，转化为题(2)的形式．)6π,3π(),3π2cos(2-∈+=x x y ，,3π23π23π),6π,3π(<+<-∴-∈x x设3π2+=x t ，则原函数变为3π23π,cos 2<<-=t t y ，结合余弦函数图象得：1cos 21≤<-t ，所以函数的值域为(－1，2]．(4)y ＝－2sin 2x －2sin x ＋1，设t ＝sin x ，则函数变为y ＝－2t 2－2t ＋1，t ∈[－1，1]， 因为⋅++-=23)21(22t y 结合二次函数图象得，当t ＝1时，函数最小值为－3，当21-=t 时，函数最大值为23，所以函数的值域为].23,3[-【评析】处理三角函数值域(最值)的常用方法：(1)转化为只含有一个三角函数名的形式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A cos(ω x ＋ϕ)＋k ，y ＝A tan(ω x ＋ϕ)＋k 等，利用换元法，结合三角函数图象进行处理．(2)转化为二次型：如A sin 2x ＋B sin x ＋C ，A cos 2x ＋B cos x ＋C 形式，结合一元二次函数的图象性质求值域． 例6 函数y ＝sin(ω x ＋ϕ)的图象(部分)如图所示，则ω 和ϕ的取值是( )A ．3π,1==ϕωB ．3π,1-==ϕωC ．6π,21==ϕωD ．6π,21-==ϕω 解：π)3π(3π24=--=T ，即ωπ2π4==T ，所以21=ω， 当3π-=x 时，0])3π(21sin[=+-⨯ω，所以Z ∈+=k k ,6ππω，选C例7 (1)将函数x y 21sin =的图象如何变换可得到函数)6π21sin(+=x y 的图象(2)已知函数y ＝sin x 的图象，将它怎样变换，可得到函数)3π2sin(2-=x y 的图象解：(1)x y 21sin =−−−−−−−−→−个单位图象向左平移3π)6π21sin()3π(21sin +=+=x x y (2)法一：y ＝sin x −−−−−−−−→−个单位图象向右平移3π)3πsin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,)3π2sin(-=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y法二：y ＝sin x −−−−−−−−−−−−−−→−倍横坐标变为原来图象上点的纵坐标不变21,x y 2sin =−−−−−−−−→−个单位图象向右平移6π)6π(2sin -=x y−−−−−−−−−−−−−−−→−倍纵坐标变为原来图象上点的横坐标不变2,)3π2sin(2-=x y【评析】由y ＝sin x 的图象变换为y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的图象时，特别要注意伸缩变换和横向平移的先后顺序不同，其横向平移过程中左右平移的距离不同．例8 (1)函数)3π21sin(2-=x y 的一条对称轴方程为( ) A ．3π4-=x B ．6π5-=x C ．3π-=x D ．3π2=x (2)函数)3π2cos(-=x y 的对称轴方程和对称中心的坐标解：(1)法一：)3π21sin(2-=x y 的对称轴为Z ∈+=-k k x ,2ππ3π21， 即Z ∈+=k k x ,3π5π2，当k ＝－1时，3π-=x ，选C法二：将四个选项依次代入)3π21sin(2-=x y 中，寻找使得函数取得最小值或最大值的选项当3π-=x 时，22πsin 2)3π6πsin(2-=-=--=y ，选C(2) )3π2cos(-=x y 的对称轴为Z ∈=-k k x ,π3π2，即Z ∈+=k k x ,6π2π对称中心：,,2ππ3π2Z ∈+=-k k x 此时Z ∈+=k k x ,12π52π所以对称中心的坐标为Z ∈+k k ),0,12π52π(【评析】正余弦函数的对称轴经过它的函数图象的最高点或最低点，对称中心是正余弦函数图象与x 轴的交点，处理选择题时可以灵活运用．例9 已知函数)0(),2πsin(sin 3,sin )(2>++=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π． (1)求ω 的值． (2)求f (x )在区间]3π2,0[上的值域． (3)画出函数y ＝2f (x )－1在一个周期[0，π]上的简图．(4)若直线y ＝a 与(3)中图象有2个不同的交点，求实数a 的取值范围． 解：(1)x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=21)6π2sin(212cos 21sin 23+-=+-=x x x ωωω 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω ＞0，所以π2π2=ω，解得ω ＝1 (2)由(1)得21)6π2sin()(+-=x x f ，因为3π20≤≤x ，所以6π76π26π≤-≤-x ，结合正弦函数图象，得1)6π2sin(21≤-≤-x因此2321)6π2sin(0≤+-≤x ，即f (x )的取值范围为]23,0[(3)由(1)得)6π2sin(21)(2-=-=x x f y(4)由图象可得，－2＜a ＜2且a ≠－1． 【评析】本节内容应与三角恒等变换相结合，利用降幂升角公式和辅助角公式等三角公式化简三角函数解析式，整理、变形为只含有一个函数名的解析式，如y ＝A sin(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)或y ＝A cos(ω x ＋ϕ)(ω ＞0)的形式，利用换元法，结合y ＝sin x 、y ＝cos x 的图象，再研究它的各种性质，如求函数的周期，单调性，值域等问题，这是处理三角函数问题的基本方法．练习3－3一、选择题1．设函数),2π2sin()(-=x x f x ∈R ，则f (x )是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．R ∈-=x x y ),3π2sin( B ．R ∈+=x x y ),6π2sin(C ．R ∈+=x x y ),3π2sin(D ．R ∈+=x x y ),32π2sin(3．函数)3π2sin(+=x y 的图象( )A ．关于点(3π，0)对称B ．关于直线4π=x 对称C ．关于点(4π，0)对称D ．关于直线3π=x 对称4．函数y ＝tan x ＋sin x －｜tan x －sin x ｜在区间)2π3,2π(内的图象大致是( ）二、填空题5．函数)2πsin(sin 3)(x x x f ++=的最大值是______． 6．函数)]1(2πcos[)2πcos(-=x x y 的最小正周期为______．7．函数)2π0,0)(sin(<<>+=ϕωϕωx y 的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为y ＝______．8．函数y ＝cos2x ＋cos x 的值域为______． 三、解答题9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R ． (Ⅰ)求函数f (x )的对称轴的方程； (Ⅱ)求函数f (x )的单调减区间． 10．已知函数.34sin 324cos 4sin2)(2+-=xx x x f (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期及最值； (Ⅱ)令)3π()(+=x f x g ，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．11．已知R ∈>++=a a x x x x f ,0(,cos sin 32cos 2)(2ωωωω，a 为常数)，且满足条件f (x 1)＝f (x 2)＝0的｜x 1－x 2｜的最小值为2π． (Ⅰ)求ω 的值； (Ⅱ)若f (x )在]3π,6π[-上的最大值与最小值之和为3，求a 的值．§3－4 解三角形【知识要点】1．三角形内角和为A ＋B ＋C ＝πA CB -=+π,2π222=++C B A ，注意与诱导公式相结合的问题． 2．正弦定理和余弦定理正弦定理：r CcB b A a 2sin sin sin ===，(r 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos ;2cos ;2cos 222222222-+=-+=-+= . a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．3．在解三角形中注意三角形面积公式的运用：21=∆ABC S ×底×高.21=∆ABC S ab sin .sin 21sin 21B ac A bc C == 4．解三角形中注意进行“边角转化”，往往结合三角变换处理问题．【复习要求】1．会正确运用正余弦定理进行边角的相互转化；2．会熟练运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的求角，求边，求面积问题． 【例题分析】例1 (1)在△ABC 中，3=a ，b ＝1，B ＝30°，则角A 等于( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．60°或120°(2)△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足等式(a ＋b )2＝ab ＋c 2，则角C 的大小为______. (3)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是______． (4)在△ABC 中，若31tan =A ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝______． 解：(1)∵,23sin ,30sin 1sin 3,sin sin =∴=∴=A A B b A a又∵a ＞b ，∴A ＞B ＝30°，∴A ＝60°或120°，(2)∵(a ＋b )2＝ab ＋c 2，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴,120,2122cos 222 =∴-=-=-+=C ab ab ab c b a C (3)∵CcB b A a sin sin sin ==，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8. ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴21852*******cos 222=⨯⨯-+=-+=ac b c a B ，∴B ＝60°． (4)分析：已知条件为两角和一条对边，求另一条对边，考虑使用正弦定理，借助于31tan =A 求sin A 210,150sin 10101,sin sin ,1010sin ,31tan =∴=∴==∴=AB AB B AC A BC A A . 【评析】对于正弦定理和余弦定理应熟练掌握，应清楚它们各自的使用条件，做到合理地选择定理解决问题． 例2 (1)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 (2)在△ABC 中，2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 解：(1)法一：BbA a sin sin =，a cos A ＝b cos B ， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∵2A ，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， ∴A ＝B 或2π=+B A ，选D ．法二：∵a cos A ＝b cos B ，∴acb c a b bc a c b a 2)(2)(222222-+=-+，整理得(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0．所以：a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，选D ．(2)∵2sin B ·sin C ＝1＋cos A ，cos(B ＋C )＝cos(π－A )＝－cos A ， ∴2sin B ·sin C ＝1－(cos B cos C －sin B sin C )， ∴cos B cos C ＋sin B ·sin C ＝1， ∴cos(B －C )＝1，∵B ，C ∈(0，π)，∴B －C ∈(－π，π)， ∴B －C ＝0，∴B ＝C ，选C ．【评析】判断三角形形状，可以从两个角度考虑(1)多通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，进而判断三角形形状，(2)多通过余弦定理将角的关系转化为边的关系，进而判断三角形形状，通常情况下，以将边的关系转化为角的关系为主要方向，特别需要关注三角形内角和结合诱导公式带给我们的角的之间的转化．例3 已知△ABC 的周长为12+，且sin A ＋sin B ＝2sin C (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为C sin 61，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++ABAC BC AC BC AB 212，解得AB ＝1． (2)由△ABC 的面积C C AC BC S sin 61sin 21=⋅=，得31=⋅AC BC ，因为2=+AC BC ，所以(BC ＋AC )2＝BC 2＋AC 2＋2AC ·BC ＝2，可得3422=+AC BC ，由余弦定理，得212cos 222=-+=⋅BC AC AB BC AC C ， 所以C ＝60°．例4 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，设a 、b 、c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和b c ＝321+，求∠A 和tan B 的值．解(1)由已知和余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，所以∠A ＝60°． (2)分析：所给的条件是边的关系，所求的问题为角，可考虑将利用正弦定理将边的关系转化为角的关系．在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin(60°＋B )，因为B BB B B BC b c sin sin 60cos cos 60sin sin )60sin(sin sin +⋅=+==.32121tan 123+=+=B所以⋅=21tan B 【评析】体现了将已知条件(边321+==b c )向所求问题(角tan B →sin a ，cos α )转化，充分利用了正弦定理和三角形内角关系实现转化过程．例5 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，3π=C ． (Ⅰ)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(Ⅱ)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(Ⅰ)由余弦定理abc b a C 2cos 222-+=及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以3sin 21=C ab ，得ab ＝4．联立方程组⎩⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得a ＝2，b ＝2．(Ⅱ)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，(sin B cos A ＋cos B sin A )＋(sin B cos A －cos B sin A )＝4sin A cos A ， 即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，332,334,6π,2π====b a B A ，当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得334,332==b a . 所以△ABC 的面积332sin 21==C ab S .【评析】以上两例题主要考查利用正弦定理、余弦定理来确定三角形边、角关系等基础知识和基本运算能力．以及三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆的运用．同时应注意从题目中提炼未知与已知的关系，合理选择定理公式，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化．例6 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α ，∠BDC ＝β ，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ ，求塔高AB ．解：在△BCD 中，∠CBD ＝π－α －β ．由正弦定理得．sin sin CBDCDBDC BC ∠=∠所以)sin(sin sin sin βαβ+=∠∠=⋅s CBD BDC CD BC ．在Rt △ABC 中，⋅+=∠=⋅)sin(sin tan tan βαβθs ACB BC AB例7 已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小． 解：sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0，sin A sin B ＋sin A cos B －(sin A cos B ＋cos A sin B )＝0， sin A sin B －cos A sin B ＝sin B (sin A －cos A )＝0， 因为sin B ≠0，所以sin A －cos A ＝0，所以tan A ＝1，4π=A ，可得BC +=4π3， 所以02sin sin )22π3cos(sin )4π3(2cos sin =+=++=++B B B B B B ，sin B ＋2sin B cos B ＝0，因为sin B ≠0，所以12π,3π2,21cos ==-=C B B .【评析】考查了三角形中角的相互转化关系，同时兼顾了两角和、二倍角、诱导公式等综合应用． 练习3－4一、选择题1．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3B ．2:3:1C ．1∶4∶9D ．3:2:12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3,3π==a A ，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2C ．13-D ．33．△ABC 中，若a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形4．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若b a 25=，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A ．35B ．45 C ．55 D ．65二、填空题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3π,3==C c ，则A ＝______． 6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若ac B b c a 3tan )(222=-+，则角B 的值为______．7．设△ABC 的内角6π=A ，则2sinB cosC －sin(B －C )的值为______． 8．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＝(2a －c )cos B ，则∠B 的大小为______. 三、解答题9．在△ABC 中，53tan ,41tan ==B A .(Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)若AB 的边长为17，求边BC 的边长．10．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD ，DC ，且拐弯处的转角为120°．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．求该扇形的半径OA 的长(精确到1米)．11．在三角形ABC 中，5522cos ,4π,2===B C a ，求三角形ABC 的面积S ．专题03 三角函数参考答案练习3－1一、选择题：1．B 2．B 3．B 4．C 二、填空题 5．)0,2π(-6．16 7．21mm - 8．23- 三、解答题9．解：(1)⋅-=+=-=>55cos sin ,55cos ,552sin ,0cos ααααα(2)原式＝222)sin 1(sin sin 21cos 1sin 21θθθθθ-=+-=-+-=⋅+=-=-=5521sin 1|sin 1|θθ 10．解：(1)原式51tan 2tan -=-+=αα(2)原式.0tan 1tan 212=+-=αα11．解：当k 为偶数时，原式.0cos sin cos sin 1cos sin 1cos sin .cos sin )cos (sin cos sin 22=+-=++---=αααααααααααααα当k 为奇数时，原式01cos sin )cos (sin =+-=αααα，综上所述，原式＝0．练习3－2一、选择题1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题 5257-6．4 7．21 8．65- 三、解答题9．解：左边=====2tan 2cos 22cos2sin22cos 2sin 2cos 2cos cos 2cos sin 22222.ααααααααααα右边.10．解：原式)sin (cos 2cos 1cos 2cos sin 21cos )2cos 2(sin 12ααααααααα-=-+-=--=， 因为α 为第四象限角，且54sin -=α，所以53cos =α， 所以原式514=. 11．解：(1)由a a a a cos sin 21)cos (sin 2-=-＝31可得32cos sin 2=αα， 所以a a a a cos sin 21)cos (sin 2+=+＝35，因为α 为第三象限角，所以sin α ＜0，cos α ＜0，sin α ＋cos α ＜0， 所以315cos sin -=+αα. (2)原式αααααααααcos cos 3sin 4cos )12cos 2(3sin 4cos 82cos 6sin 4522+=-+=-++=3tan 4+=α，因为51tan 1tan cos sin cos sin -=-+=-+αααααα，所以2531515tan -=+-=α，。
2020届高考数学(文)二轮考点专训卷(4)三角函数+Word版含答案
考点专训卷（4）三角函数1、已知()23sin πα-=-,且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则()tan 2απ-= ( )A. 5B. 5-C.D. 2-2、下列命题中正确的是（ ） A. 终边在x 轴负半轴上的角是零角 B. 三角形的内角必是第一、二象限内的角 C. 不相等的角的终边一定不相同D. 若360(Z)k k βα=+⋅︒∈，则α与β终边相同 3、下列说法中正确的是( ) A.120︒角与420︒角的终边相同 B.若α是锐角,则2α是第二象限的角 C.140-︒角与480︒角都是第三象限的角 D.60︒角与420-︒角的终边关于x 轴对称4、在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ，则2017πsin()2α-=（ ） A. 45-B. 35-C. 35D. 455、已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式,可推出扇形的面积公式S = ( ) A ．22rB ．22lC ．2lr D ．不可类比6、已知角θ的终边与单位圆交于点1(2P -，则tan θ的值为( )A.12-C.7、已知5sin 26cos ,0,2αααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.13-B.13C.23-D.238、已知sin cos x x +=(0,)x π∈,则tan x = ( )A. 3-B. 3C.D.9、下列函数中,以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增的是( ) A.()cos 2f x x = B.()sin 2f x x = C.()cos f x x =D.()sin f x x =10、已知函数()sin()0,,24f x x x ωϕωϕππ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭为()f x 的一个零点,4x π=为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调,则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.511、已知0ω>,函数()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上单调递减,则ω的取值范围是( ) A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎤⎥⎝⎦D.(]0,212、设函数()sin()cos()4f x a x b x αβ=π++π++(其中,,,a b αβ为非零实数),若(2001)5f =,则(2018)f 的值是( ) A.5B.3C.8D.不能确定13、已知函数()sin f x x x =+,则下列命题正确的是（）A.函数()f x 的最大值为4；B.函数()f x 的图象关于点π(,0)3对称；C.函数()f x 的图像关于直线π6x =对称 D.函数()f x 在π[,π]6上单调递减14、已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图像关于直线3x π=对称15、已知,R x y ∈,满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围为 . 16、关于函数()22sin cos f x x x x =-，有如下命题：①.π3x =是()f x 图象的一条对称轴； ②.π(,0)6是()f x 图象的一个对称中心；③.将()f x 的图象向左平移6π，可得到一个奇函数的图象.其中真命题的序号为______________.17、已知函数()πcos sin 6f x x x ωω=++（）在[0]m ，上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是___。
2020-2021学年高考总复习数学(理)二轮复习专题精选《三角函数》试题及答案解析
最新高考二模数学理试题分类汇编三角函数1．（2015届广州市）函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示，则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+⎪24⎝⎭2（2015届揭阳市）已知1sin()3πα+=，则cos2α=A.9 B.89 C.79- D.793.（2015届茂名市）在△ABC 中,54sin =A ,6=•AC AB ,则△ABC 的面积为（ ）. A ．3B ．125C ．6D ．44（2015届肇庆市）在∆ABC 中，AB =5，AC =3，BC =7，则∠BAC = A ．65πB ．32πC ．3πD ．6π 答案：A D D B二．填空题5（2015届广州市）已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．6（2015届揭阳市）在△ABC 中，已知角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,， 且2(cos cos )c a B b A b -=，则sin sin AB=．7（2015届潮州市）（本小题满分12分）NMPoyx已知向量⎪⎭⎫⎝⎛-=1,3sin x m ，)0(,3cos 21,23>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A x A A n ,函数()f x n m =⋅r u r 的最大值为2．（1）求()f x 的最小正周期和解析式； （2）设,[0,]2παβ∈，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ-的值．8（2015届广州市）（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为453，求△ABC 外接圆半径的大小．9（2015届惠州市）（本小题满分12分）已知函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=．（1）求()f x 的表达式； （2）设,[0,]2παβ∈，16(3)5f απ+=，520(3)213f πβ+=-，求cos()αβ-的值．10（2015届揭阳市）(本小题满分12分)已知函数()sin()6f x A x πω=+(00)A ω>>，的部分图象如图4示，其中M 1(,0)6-为图象与x 轴的交点，1(,2)3P 为图象的最高点．(1)求A 、ω的值；(2)若2()3f απ=，(,0)3πα∈-，求cos()3πα+的值．11（2015届茂名市）（本小题满分12分）已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 图象的一部分如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设]0,2[,πβα-∈，1310)3(=+παf , 56)253(=+πβf ,求sin()αβ-的值.12（2015届深圳市）（本小题满分12分）设函数)2cos()(ϕ+=x x f （其中π0<<ϕ，R ∈x ）．已知21)0(-=f ． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足)()3πsin(θθf =+，且π0<≤θ，求角θ的值．13（2015届肇庆市）（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2cos )23sin()sin(3)(-++=ππ． （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若]0,2[πθ-∈，103)32(=+πθf ，求)42sin(πθ-的值．7解：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=63(sin 3cos 213sin 233cos 213sin 23)(πx A x x A x A x A x f …3分 ()f x 的最小正周期2613T ππ== ……………………………………………4分因为 0A >，由题意知A=2, ……………………………5分所以 1()2sin(),36f x x x R π=-∈……………………………6分（2）10132sin 32sin ,132326f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπββ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………8分53sin ,cos ,135αβ∴==,[0,]2παβ∈12cos ,13α∴===4sin ,5β===……………………………10分5312433sin()=sin cos cos sin 13513565αβαβαβ--=⨯-⨯=-…………………12分 8（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k=，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c aA bc+-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC 的内角， 所以sin A =2=6分由（1）知5b k =，3c k =，因为△ABC的面积为，所以1sin 2bc A =，……………………………………………8分即15322k k ⨯⨯⨯= 解得k =10分由正弦定理2sin aR A=，即72sin 2k R A ==，…………………………………………………11分 解得14R =． 所以△ABC外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分 9（本小题满分12分）解：(1)依题意得2π2π1==T 6π3ω=，∴x πf(x)=Asin(+)36， ……2分 由f(2π)=2，得2ππAsin(+)=236，即5πAsin =26，∴A=4， ……4分 ∴x πf(x)=4sin(+)36. ……5分(2)由16f(3α+π)=5，得1π164sin[(3α+π)+)]=365，即π164sin(α+)=25，∴4cos 5α=， ……6分又∵πα[0]2∈，，∴3sin 5α=， ……7分由5π20f(3+)=213β-，得15ππ204sin[(3+)+)]=32613β-，即5sin(+π)=13β-，∴5sin β13=， ……9分又∵πβ[0]2∈，，∴12cos β13=， ……10分cos(α－β)= cos αcos β+ sin αsin β412356351351365=⨯+⨯=. ……12分 10解：（1）由1(,2)3P 为图象的最高点知2A =，---------------------1分又点M 1(,0)6-知函数()f x 的最小正周期114()236T =+=，-----------------------3分∵2T πω=∴ωπ=,-------------------------------------------------5分(2)由（1）知，()2sin()6f x x ππ=+由2()3f απ=得1sin()63πα+=，----------------------------------------6分∵(,0)3πα∈-∴666πππα-<+<----------------------------------------7分∴cos()63πα+===-------------------------9分∵cos()cos()366πππαα+=++cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+-+-------------11分∴cos()3πα+1132=-⨯=------------12分 11解：（1）由图象可知2=A ，…………………………………………………………1分,2921143πππ=-=T Θωππ26==∴T 31=∴ω. ………………………3分)631sin(2)(π+=∴x x f . ………………………4分（2）∵10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+==∴5cos 13α=，………………6分 又∵56sin 2)sin(2)253(=-=+=+βπβπβf ∴53sin -=β，……………8分 ∵]0,2[,πβα-∈，,1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα54)53(1sin 1cos 22=--=-=ββ. ………………………………………10分∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-.6533)53(13554)1312(-=-⨯-⨯-=………………………………12分 12（本小题满分12分）设函数()cos(2)f x A x =+ϕ（其中0A >，0π<<ϕ，R ∈x ）．已知π6x =时，()f x 取得最小值2-．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若角θ满足π2sin()()3f +=θθ，且π0<≤θ，求πsin()3θ+的值． 解：（1）由()f x 最小值2-且0A >，所以2A =． …………………………………………1分因为π()26f =-，所以πcos()13ϕ+=-， ……………………………………………………2分由0π<<ϕ可得ππ4π333ϕ<+<，所以ππ3ϕ+=， ………………………………………3分 所以2π3ϕ=． ……………………………………………………………………………………4分 故)(x f 的解析式为2π()2cos(2)3f x x =+． …………………………………………………5分 （2）（法1）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ， 即)3π(sin 21)3πsin(2+-=+θθ，01)3πsin()3π(sin 22=-+++θθ， ……………………8分所以1)3πsin(-=+θ或21)3πsin(=+θ．………………………………………………10分 又0πθ≤<，所以ππ4π333θ≤+<． …………………………………………………11分 所以21)3πsin(=+θ．………………………………………………………………………12分（法2）由（1），得)3π22cos()3πsin(+=+θθ，即)3π22cos()6πcos(+=-θθ． ………………………………………………………8分所以θθ-+=+6ππ23π22k 或θθ+-=+6ππ23π22k ，Z ∈k ．…………………………10分即6π3π2-=k θ或65ππ2-=k θ，Z ∈k ．又0πθ≤<，所以2π=θ． …………………………………………………………11分所以21)3πsin(=+θ．………………………………………………………………………12分13（本小题满分12分） 解：（1）x x x x f 2cos cos sin 3)(-=（2分）212cos 2sin 23+-=x x （4分） 21)62sin(--=πx （5分）所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . （6分） （2）由（1）得21cos 21)2sin(21]6)32(2sin[)32(-=-+=--+=+θπθππθπθf ，（7分）由10321cos =-θ，得54cos =θ. （8分）因为]0,2[πθ-∈，所以53sin -=θ. （9分）所以2524cos sin 22sin -==θθθ，2571cos 22cos 2=-=θθ， （11分）所以502314sin2cos 4cos2sin )42sin(-=-=-πθπθπθ. （12分）。
2020—2021年高考总复习数学《三角函数》高考考点专项复习及参考答案(精品试题).docx
届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：三角函数一、填空题1、（崇明县2016届高三二模）若函数2cos y x ω=(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ．2、（奉贤区2016届高三二模）在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转4π到点B ，若直线OB 的倾斜角为α，则cos α的值为_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为4、（黄浦区2016届高三二模）函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为5、（静安区2016届高三二模）函数[]π，，02cos ∈=x x y 的递增区间为6、（闵行区2016届高三二模）已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为7、（静安区2016届高三二模）关于θ 的函数2()cos 2cos 1f x θθθ=--的最大值记为()M x ，则()M x 的解析式为8、（普陀区2016届高三二模）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα . 9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在ABC ∆中，角,,A B C所对的边分别为,,.a b c 已知03,45,a B ==______________，求角A ．”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示060,A =试将条件补充完整．10、（闸北区2016届高三二模）ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且222ac c b a +=-，若ABC ∆最大边长是7且sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为 ．11、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 12、（普陀区2016届高三二模）若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为 . 二、选择题1、（崇明县2016届高三二模）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2、（黄浦区2016届高三二模） 若ABC ∆的三条边a 、b 、c 满足():():()7:9:10a b b c c a +++=，则ABC ∆（ ）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形也可能是钝角三角形3、（闵行区2016届高三二模）将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像 ．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）.（A ）π3(B)π6 （C ）π3或2π3(D)π6或5π6二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在的平面与道路走向垂，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，路宽24AD =米．设BAC θ∠=()126ππθ≤≤（1）求灯柱AB 的高h （用θ表示）；（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB 与 灯杆BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？ （结果精确到0.01米）（第21题图）ABC D2、（奉贤区2016届高三二模）如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P ．垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）．现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨． 设50PA x =>．(1)求cos PAB ∠(用x 的表达式表示) ；(2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？BA· · 居民生活区 第21题图北P3、（虹口区2016届高三二模）在锐角ABC∆中，2sin sin sin()sin().44A B B B ππ=++-(1) 求角A 的值； (2) 若12,AB AC ⋅=u u u r u u u r求ABC ∆的面积.4、（黄浦区2016届高三二模）已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数； （1）若()24f π=，()f x 的最大值为10，求a 、b 的值；（2）若1a =，6x π=是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()3f x =，且0[0,2]x π∈；5、（浦东新区2016届高三二模）如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东︒30方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4m ，于是选择沿C B A →→路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s,忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务.（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B ∠是多少？（用反三角函数表示）6、（普陀区2016届高三二模）【理科】已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=π（1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值.7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=．（1）求函数)(x f 的单调递增区间； （2）将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.8、（杨浦区2016届高三二模）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB,现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示东北BAC的四边形菜园OAPB(假设OM 、ON 这两面墙都足够长).已知|PA|=|PB|=10(米),π4AOP BOP ∠=∠=,OAP OBP ∠=∠.设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S.(1)将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； (2)求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.9、（闸北区2016届高三二模）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）（理）求证：存在0(,)64x ππ∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x ⋅能按照某种顺序．．．．成等差数列．10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （0>ω，R ∈x ），且函数)(x f 的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．参考答案 一、填空题 1、1 2、10103、32 4、π 5、⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2 6、17、20()20x x M x x x ≥⎧=⎨-<⎩8、2 9、622c +=10、1 11、312、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈二、选择题1、B2、C3、C三、解答题1、（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD ACACD CDA=∠∠ ，得 sin 163sin()sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ (3)分三角形ABC 中，3ACB πθ∠=- 由sin sin AB ACACB ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin()sin 63AC ACB h ABC ππθθ⋅∠==+-∠()126ππθ≤≤ (6)分（2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠.................................9分所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 283θ=+.......................................................11分因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值88321.86+≈......................13分制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米. .....14分2、解：（1）由条件①，得505303PA PB== 1分5,3PA x PB x=∴=Q ，3分 则222(5)16(3)cos 2165x x PAB x+-∠=⨯⨯6分8cos 105x PAB x∠=+8分 （2）28sin 1105x PAB x ⎛⎫∠=-+ ⎪⎝⎭9分 所以点P到直线AB的距离sin h PA PAB =∠10分2851()105x h x x=⋅-+11分42117644x x =-+-221(34)2254x =--+12分8cos 1,1,28105x PAB x x∠≤∴+≤∴≤≤Q 所以当234x =，即34x =时，h 取得最大值15千米.13分即选址应满足534PA =千米，334PB =千米.14分 3、()2222sin sin sin()sin()sin sin()cos()4444111sin sin(2)sin cos 1242222A B B B B B B B B B B πππππ=++-=+++=++=+=L L 解：因分故由ABC∆为锐角三角形，得.6A π=……6分（2）由（1）知3cos ,2A =由已知，有 312cos ,2AB AC cb A bc =⋅=⋅=u u u r u u u r 故8 3.bc =……9分从而111sin 832 3.222ABC S bc A ∆=⋅=⋅⋅= ……12分4、[解]（1）因为22()sin cos sin()f x a x b x a b x θ=+=++（其中22sin b a bθ=+，22cos a a bθ=+），所以()f x 的最大值为22a b +．由2210a b +=，（2分）及222422f a b π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，（4分）解得1a =-，3b =或3a =，1b =-．（6分） （2）易知，当6x π=时，取得最大值21b +或最小值21b -+，于是2131622f b b π⎛⎫=+=±+ ⎪⎝⎭，解得3b =．（8分）于是()sin 3cos 2sin()3f x x x x π=+=+，（10分）当()3f x =时，解得2x k =π或23x k π=π+（k ∈Z ）．（12分）因为0[0,2]x ∈π，故所求0x 的值为0，3π，2π．（13分） 5、解：（1）设c b a 、、分别是A 、B 、C 所对的边，c b a 、、均为正数。
2020高考理科数学第二轮复习综合测试及答案
2020高考理科数学第二轮复习综合测试及答案本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A、B、C分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为（）2．复数1cos45sin45zi=-o o的共轭复数是（）A．i2121+B22C22i D．i+13．已知m,n是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，给出下列命题：①若m∥β，n∥β且m,n,αα⊂⊂则α∥β；②若n,mαβI=∥n，则m∥α且m∥β；③若m,α⊥m∥β则αβ⊥；④若α∥β，且m,n,γαγβI I==则m∥n．其中的正确的命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．圆心在抛物线24x y =上的动圆过点（0,1），且与定直线l 相切，则直线l 的方程为（ ）A ．1x =B ． 116x =C ．116y =-D ． 1y =-5．若sin(cos ),cos(sin )a x b x ππ==，且3,12x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则 （ ）A ．221a b +=B ．a b <C ．a b >D ．a b =6．设函数()ln(f x x x =+，则对于任意的实数a 和b ，0a b +<是()()0f a f b +< 的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件7．若函数1()2ax f x x +=+（a 为常数），在()2,2-内为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦8．已知点P 是椭圆C ：22184x y +=上的动点，12,F F 分别为左、右焦点，O 是坐标原点，则12PF PF PO-的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．[]0,2C ．12⎛ ⎝⎦D ．⎡⎣9．已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A —BCD 的中截面B为M ，则O 到平面M 的距离为 （ ）A ．4aBCD 10．在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的个数最多是 （ ）A ．30B ．60C ．120D ．24011．在算式“4×□+1×△=30”的两个□、△中，分别填入两个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数构成的数对（□, △）应为（ ）A ．（4, 14）B ．（6, 6）C ．（3, 18）D ．（5, 10）12．某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水2t 2升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供 （ ）A ．3人洗浴B ．4人洗浴C ．5人洗浴D ．6人洗浴第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.13．如右图是由三个相同的正方形相接，在ABC ∆中，锐角α=∠ACB ，则=αtan _______.14．若,x y R ∈，且2186x y xy ==，则_____.x y += 15．有４个不等式：2,<<3<<．其中不正确的个数是___ ___.16．若连续且不恒等于的零的函数()f x 满足'()()0f x f x +=，试写出一个符合题意的函数()______.f x =三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知函数()sin()cos f x x x ϕ=+的图像关于原点(0,0)O 对称，试求函数()f x 的解析式．18．（本小题满分12分）某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题， 并且宣布：观众答对问题A 可获奖金a 元，答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对，才能再答第2个问题，否则中止答题。
【山东高考二轮复习三角函数专题】山东省2020届新高考二轮专题复习：三角函数测试题(含答案)
三角函数测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为50494平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为50492平方步2．已知函数f（x）＝a sin2x﹣b cos2x，ab≠0．当x∈R时，f(x)≤f(π3)，则下列结论错误的是（）A．a=√3b B．f（π12）＝0C．f(−π5)=f(−2π15)D．f(−4π15)=−f(2π5)3．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的图象可由y＝A sinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f（x）的图象关于直线x=π3对称C．函数f（x）在区间[−π3，π3]上单调递增D．函数f（x）图象的对称中心为(kπ2−π12，0)（k∈Z）4．若m cos80°+√3tan10°=1，则m ＝（ ） A ．4B ．2C ．﹣2D ．﹣45．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，BC =√3CD ，则∠ADB 的最大值为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π36．在平面直角坐标系xOy 中，点P(√3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是（ ） A ．(−√2，1)B ．(−1，√2)C ．(−√3，1)D ．(−1，√3)7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π4，B =π12，c ＝3√3，则a ＝（ ） A ．√2B ．2√2C ．3√2D ．4√28．将函数f （x ）＝sin （3x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若直线x =π6是g （x ）的图象的一条对称轴，则（ ） A ．f （x ）为奇函数 B ．g （x ）为偶函数C ．f （x ）在[π12，π3]上单调递减 D ．g （x ）在[−π15，π9]上单调递增二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知函数f （x ）＝|cos x |+sin x ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．函数f （x ）的图象是轴对称图形C ．函数f （x ）的最大值为√2D ．函数f （x ）的最小值为﹣110．将函数y ＝sin （x +φ）的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为(π4，0)，则φ的取值可能是（ ） A ．π12B ．−5π12C ．5π6D ．7π1211．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则（ ） A ．若2cos C （a cos B +b cos A ）＝c ，则C =π3B ．若2cosC （a cos B +b cos A ）＝c ，则C =π6C ．若边BC 上的高为√36a ，则当c b +b c取得最大值时，A =π3D ．若边BC 上的高为√36a ，则当cb +bc 取得最大值时，A =π612．函数f （x ）＝2sin （x +π6）的图象可由函数g （x ）=√3sin2x ﹣cos2x 的图象如何变化得到（ ）A ．先将g （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位B ．先将g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位C ．先将g （x ）的图象上所有点向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．先将g （x ）的图象上所有点向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b ∈R ，设函数f （x ）＝2|sin x +a |+|cos2x +sin x +b |的最大值为G （a ，b ），则G （a ，b ）的最小值为 ．14．若sin(α−2020π)=15，则cos2α＝15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos B ＝a cos C +c cos A ，若△ABC 外接圆的半径为2√33，则△ABC 面积的最大值是 ．16．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若BD =1，∠B =π4，cos ∠ADB =−35，则AB ＝ ，sin ∠CAD ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f(x)=2sinxsin(x +π3)−12．（Ⅰ）若f （x +φ）为偶函数，且φ∈（0，π），求φ；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 满足f （A ）＝1，sin B ＝2sin C ，a ＝2，求△ABC 的面积．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2bc −1=2abcosCb 2+c 2−a 2，a =2√7． （1）求△ABC 外接圆的面积； （2）若b +c ＝8，求△ABC 的面积．19．在平面四边形ABCD中，∠ABC=π2，∠DAC=2∠ACB，∠ADC=π3．（1）若∠ACB=π6，BC=√3，求BD；（2）若DC=√3AB，求cos∠ACB．20．△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m→=（c﹣a，sin B），n→=（b﹣a，sin A+sin C）且m→∥n→．（1）求C；（2）若√6c+3b=3a，求sin A．21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan A（2cos C﹣sin A）＝cos A﹣2sin C．（1）求角B的大小；（2）若角B为锐角，b＝1，△ABC的面积为√34，求△ABC的周长．22．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F 处，折痕为DE，设BD＝x，BF＝y．（1）求x、y满足的关系式；（2）求x的取值范围．13．已知a ，b ∈R ，设函数f （x ）＝2|sin x +a |+|cos2x +sin x +b |的最大值为G （a ，b ），则G （a ，b ）的最小值为4916．14．若sin(α−2020π)=15，则cos2α＝232515．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos B ＝a cos C +c cos A ，若△ABC 外接圆的半径为2√33，则△ABC 面积的最大值是 √3 ．16．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若BD =1，∠B =π4，cos ∠ADB =−35，则AB ＝ 4√2 ，sin ∠CAD ＝2√525．四、17． （Ⅰ）f(x)=2sinx(12sinx +√32cosx)−12=sin 2x +√3sinxcosx −12=1−cos2x2+√32sin2x −12=sin(2x −π6)，则f(x +φ)=sin(2x +2φ−π6)，由f （x +4）为偶函数可知f(0+φ)=sin(2φ−π6)=±1，所以2φ−π6=π2+kπ(k ∈Z)，解得φ=π3+kπ2(k ∈Z)．又因为φ∈（0，π），所以φ=π3或56π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(A)=sin(2A −π6)=1⇒A =π3，sin B ＝2sin C ⇒b ＝2c ， 所以由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc⇒c =23√3，b =43√3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×43√3×23√3×√32=23√3．18． （1）依题意得：2b c−1=2abcosC b 2+c 2−a 2，故：2b −c =2abccosC b 2+c 2−a 2=acosC cosA，则：2b cos A ﹣c cos A ＝a cos C ，所以：2sin B cos A ＝sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ），即：2sin B cos A ＝sin B ，参考答案因为：sin B≠0，所以：cosA=12，因为：A∈（0，π），所以：A=π3，所以：asinA =2R=√7√32=√7√3（R为△ABC外接圆的半径），则：R=√7√3，故△ABC外接圆的面积S=πR2=283π．（2）由A=π3．及余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，又a=2√7，b+c＝8，所以：(2√7)2=82−3bc，解得：bc＝12．故S△ABC=12bcsinA=3√3．19．（1）如右图，∠ABC=π2，∠DAC=2∠ACB，∠ADC=π3，∠ACB=π6，BC=√3，可得∠DAC=π3，在直角三角形ABC中，AB＝BC tanπ6=1，AC=BCcosπ6=2，可得△DAC为边长为2的等边三角形，在△ABD中，∠DAB=2π3，可得BD=√AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠DAB=√1+4−2×1×2×(−12)=√7；（2）如右图，设AB＝x，则DC=√3x，∠ACB＝α，则∠DAC＝2α，在直角三角形ABC中，AC=ABsinα=xsinα，在△ACD中，由正弦定理可得ACsin∠ADC =CDsin2α，即sinα⋅√32=√3xsin2α=√3x2sinαcosα，化简可得cosα=34，即cos∠ACB=34．20． （1）∵向量m →=（c ﹣a ，sin B ），n →=（b ﹣a ，sin A +sin C ）且m →∥n →，∴（c ﹣a ）（sin A +sin C ）＝（b ﹣a ）sin B ，由正弦定理可得（c ﹣a ）（a +c ）＝（b ﹣a ）b ， ∴a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab=ab 2ab =12，∵C ∈（0，π）， ∴C =π3．（2）由（1）可得B =2π3−A ，由题设及正弦定理可得：√6sin C +3sin （2π3−A ）＝3sin A ，即√22+√32cos A +12sin A ＝sin A ，可得sin （A −π3）=√22， 由于0＜A ＜2π3，−π3＜A −π3＜π3， ∴cos （A −π3）=√22，∴sin A ＝sin （A −π3+π3）＝sin （A −π3）cos π3+cos （A −π3）sin π3=√6+√24． 21． （1）∵tan A （2cos C ﹣sin A ）＝cos A ﹣2sin C ， ∴2sin A cos C ﹣sin 2A ＝cos 2A ﹣2cos A sin C ．化简得sinAcosC +cosAsinC =12，即sin(A +C)=12， ∴sin(π−B)=12，即sinB =12． ∴B =π6或B =5π6．（2）∵B 是锐角， ∴B =π6，由S △ABC =12acsinB =√34，得，ac =√3．在△ABC 中，由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −√3ac ， ∴(a +c)2=1+2√3+3=(1+√3)2， ∴a +c =1+√3， ∴△ABC 的周长为2+√3． 22．（1）如图连接DF，由点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，可得DE垂直平分AF，则AD＝DF，由等边三角形ABC的边长为1，且BD＝x，可得AD＝1﹣x，DF＝1﹣x，在△BDF中，∠B＝60°，由余弦定理可得DF2＝BD2+BF2﹣2BD•BF•cos B即（1﹣x）2＝x2+y2﹣2xy•12，化简可得y2﹣xy+2x﹣1＝0，即x、y满足的关系式为y2﹣xy+2x﹣1＝0；（2）由（1）可得y2﹣xy+2x﹣1＝0，解得x=y2−1y−2，设y﹣2＝t，由0＜y＜1，可得﹣2＜t＜﹣1，则y＝t+2，x=(t+2)2−1t =t+3t+4＝4﹣（﹣t+3−t）≤4﹣2√−t⋅3−t=4﹣2√3，当且仅当t═−√3，即y＝2−√3∈（0，1），等号成立，则x的取值范围是（0，4﹣2√3]．。
2020届高考数学(理)二轮考点专训卷(2)函数+Word版含答案
考点专训卷（2）函数 1、下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．()x x f =，()2x x g =B ．()2x lg x f =，()x 2lg x f =C ．()2x 1x x 1f -=-，()x x 1g =+ D ．()x x 1x 1f =+⋅-，()2x x 1g =- 2、设(0,),[0,]22ππαβ∈∈,那么23βα-的取值范围是( )A. 5(0,)6πB. 5(,)66ππ-C. ()0,πD. (,)6ππ-3、函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为( )A ．[]0,3B ．[]1,0-C ．[]1,3-D ．[]0,24、已知函数[]222,3,2y x x x =-+∈-,则该函数的值域为( )A.[]1,17B.[]3,11C.[]2,17D.[]2,45、已知函数()132f x x +=+，则()f x 的解析式是( )A ．32x +B ．31x +C ．31x -D ．34x +6、已知函数210()1f x x =+,则函数()f x 的解析式为( )A.5()1f x x =+B.5()1(0)f x x x =+≥C.5()1()f x x x =+≥1D.()1()f x x x =+≥17、若函数()()=a 0,1x f x a a >≠为增函数,那么()11log 1a g x x =+的图象是() A.B.C.D.8、已知25(1)()21(1)x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩则[(1)]f f =( ) A.3 B.13 C.8 D.189、已知映射:f A B →,其中A B R ==,对应为2:22f x y x x →=-+若对实数k B ∈,在集合A 中没有元素对应,则k 的取值范围是( )A. [,1]-∞-B. (,1)-∞+C.()1,+∞ D. [)1,+∞10、已知函数()y f x =在定义域(1,1)-上是减函数，且(21)(1)f a f a -<-，则实数的取值范围是( )A. 2(,)3+∞ B. 2(,1)3 C. (0,2) D. (0,)+∞11、若(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩,是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭12、已知定义在R 上的函数()f x 满足: ①关于()1,0对称; ②()()2,f x f x =--③在[]1,1-上表达式为()21,f x x =-则函数()f x 与函数()2,01,0x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.813、函数(01)x y a a a =>≠且与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称,则函数()y f x =与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图像可能是图中的( )A. B.C. D.14、已知函数[]2()4,,5f x x x x m =-+∈的值域是[]5,4-，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．[]1,2- C ．(]1,2- D ．[]2,515、如图,是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽( )。
2020年高考理科数学全国2卷(word版,含答案)
1.【ID:4002669】已知集合，，，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：集合，，，则，则，故选：A．2.【ID:4002670】若为第四象限角，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：为第四象限角，则，，则，是第三或第四象限角或为轴负半轴上的角，，故选：D．3.【ID:4002671】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压份订单未配货，预计第二天的新订单超过份的概率为．志愿者每人每天能完成份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于，则至少需要志愿者()A. 名B. 名C. 名D. 名【答案】B【解析】解：第二天的新订单超过份的概率为，就按份计算，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于就按份计算，因为公司可以完成配货份订单，则至少需要志愿者为名，故选：B．4.【ID:4002672】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所．分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)．环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块．下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 块B. 块C. 块D. 块【答案】C【解析】解：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，，由等差数列的性质可得，，，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，故选：C．5.【ID:4002673】若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．故圆的方程为，再把点代入，求得或，故要求的圆的方程为或．故所求圆的圆心为或；故圆心到直线的距离或；故选：B．6.【ID:4002674】数列中，，，若，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由，且，取，得，，则数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，即．故选：C．7.【ID:4002675】右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在俯视图中对应的点为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图：根据三视图和几何体的的对应关系的应用，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，所以在侧视图中与点对应．故选：A．8.【ID:4002676】设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，若的面积为，则的焦距的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，分别将，代入可得，即，，则，，当且仅当时取等号，的焦距的最小值为，故选：B．9.【ID:4002677】设函数，则()A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】解：由，得．又，为奇函数；由，．可得内层函数的图象如图，在上单调递减，在上单调递增，则上单调递减．又对数式是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，在上单调递减．故选：D．10.【ID:4002678】已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则到平面的距离为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得，，可得：，球的表面积为，外接球的半径为：，解得，所以到平面的距离为：．故选：C．11.【ID:4002679】若，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故，故选：A．12.【ID:4002680】周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满足的序列是()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：对于A选项：序列，，不满足足，故排除A；对于B选项：序列，不满足条件，排除；对于C选项：序列，，，，符合条件，对于D选项：序列不满足条件．故选：C．13.【ID:4002681】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则________．【答案】【解析】解：向量，为单位向量，且，的夹角为，，又与垂直，，即，则．故答案为：．14.【ID:4002682】名同学到个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去个小区，每个小区至少安排名同学，则不同的安排方法共有________种．【答案】36【解析】解：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有种．故答案为：．15.【ID:4002683】设复数，满足，，则________．【答案】【解析】解：复数，满足，，所以，，．得．．又，故．故答案为：．16.【ID:4002684】设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中所有真命题的序号是________．①②③④【答案】①③④【解析】解：设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，：若直线平面，直线平面，则．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④，17. 中，．（1）【ID:4002685】求．【答案】【解析】，由正弦定理得：①，又由余弦定理得：②，由①②得：，又，．（2）【ID:4002686】若，求周长的最大值．【答案】【解析】由正弦定理及得，，，故，又，当，即时，的周长取最大值，为，的周长的最大值为．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，．（1）【ID:4002687】求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)．【答案】【解析】由已知得样本平均数为，，该地区这种野生动物数量的估计值为．（2）【ID:4002688】求样本的相关系数(精确到)．【答案】【解析】．（3）【ID:4002689】根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，．【答案】见解析【解析】分层抽样．根据植被覆盖面积分层再随机抽样．理由：由于植被覆盖面积差异较大，即总体由差异明显的几个部分组成，分层抽样有利于保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本代表性．19. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合．过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．（1）【ID:4002690】求的离心率．【答案】【解析】右焦点与焦点与重合，设抛物线方程为，则，抛物线方程为．在椭圆中，当时，，解得，，在抛物线中，当时，，，又，，①又，②联立①②可得：，解得或(舍去)，的离心率．（2）【ID:4002691】设是与的公共点，若，求与的标准方程．【答案】，【解析】解：由得，椭圆的离心率，，，方程为：，同时，方程为：．设，由抛物线的性质得：，，，又也在椭圆上，把代入的方程得：，即，解得或(舍去)，的标准方程为：，的标准方程为：．20. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面是矩形，，分别为，的中点，为上一点，过和的平面交于，交于．（1）【ID:4002692】证明：，且平面平面．【答案】见解析【解析】解法：三棱柱，故，又矩形，为中点，为中点，．四边形为平行四边形，．四边形为矩形，．平行四边形，四边形为矩形，．在等边中，为的中点，．，平面．又，平面．又平面，平面平面．解法：因为，分别为，的中点，所以．又由已知得，故．因为是正三角形，所以．又，故平面．所以平面平面．（2）【ID:4002693】设为的中心，若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】【解析】解法：为中心，，不妨设，则，又面面且面．．又，平行四边形，．，，交面于，，为在面上的投影，为直角梯形．，，，有．．，设与面夹角为，则，．又，则．解法：由已知得．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．连接，则四边形为平行四边形，故，．由知平面平面．作，垂足为，则，垂足为，则平面．设，则，，故，．又是平面的法向量，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．21. 已知函数．（1）【ID:4002694】讨论在区间的单调性．【答案】见解析【解析】．当时，；当时，．所以在区间，单调递增，在区间单调递减．（2）【ID:4002695】证明：．【答案】见解析【解析】，，，，则有当时，，又，即有以为周期，故可知上均有，即．（3）【ID:4002696】设，证明：．【答案】见解析【解析】，所以．22. 已知曲线，的参数方程分别为：(为参数)，：(为参数)．（1）【ID:4002697】将，的参放方程化为普通方程．【答案】：，，，：【解析】解：：，，，由的参数方程得，，则：．（2）【ID:4002698】以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为．求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．【答案】【解析】解：，，，设，，满足题意，则，即，，：，即，极坐标方程为，即．23. 已知函数．（1）【ID:4002699】当时，求不等式的解集．【答案】【解析】当时，，不等式的解集为．（2）【ID:4002700】若，求的取值范围．【答案】【解析】，，当时，等号成立，，，，，．。
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习单元质检卷四 三角函数、解三角形(A)Word版含解析
单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018河北衡水中学金卷一模,1)已知集合M={x|x2-2x-3≤0},N={y|y=3-cos x},则M∩N=()A.[2,3]B.[1,2]C.[2,3)D.⌀2.(2018河南商丘一中月考)已知P(-,n)为角β的终边上的一点,且sin β=,则n的值为()A.±B.C.-D.±23.(2018陕西西安一模)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=()A. B. C.- D.-4.(2018湖南长沙一模,3)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像中相邻两对称轴的距离为,若角φ的终边经过点(3,),则f的值为()A. B. C.2 D.25.(2018山东济宁一模,7)将函数f(x)=2sin--1的图像向右平移个单位长度,再把所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图像,则图像y=g(x)的一个对称中心为() A. B.C.-D.-6.(2018河南郑州三模,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-,b=4,则△ABC面积的最大值为()A.4B.2C.3D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2018重庆5月调研,14)函数f(x)=2cos2x+sin x cos x-1的最大值是.8.(2018河北衡水中学押题二,13)在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则cos-=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2018北京朝阳模拟,15)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈时,f(x)≥0.10.(15分)(2018山西太原一模,17)△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角B;(2)若b=,求△ABC面积的最大值.11.(15分)(2018山东潍坊一模,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+b cos A=0.(1)求B;(2)若b=3,△ABC的周长为3+2,求△ABC的面积.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形(A)1.A集合M={x|x2-2x-3≤0}=[-1,3],N={y|y=3-cos x}=[2,4],则M∩N=[2,3],故选A.2.B由题意可得|OP|=,∴sin β==,∴n=±.又∵sin β=,∴n>0,∴n=.3.C∵sin α+2cos α=,∴sin2α+4sin α·cos α+4cos2α=.用降幂公式化简得4sin 2α=-3cos 2α,∴tan 2α==-.故选C.4.A由题意,得T=2×=π ∴ω=2.∵tan φ=,∴φ=,∴f(x)=sin.f=sin=.5.C将函数f(x)=2sin--1的图像向右平移个单位,再把所有的点的横坐标缩短到原来的,得函数表达式为f(x)=2sin--1,令2x-=kπ k∈Z,求得x=kπ+,得y=g(x)的一个对称中心为-,故选C.6.A∵在△ABC中,-=,∴(2a-c)cos B=b cos C,∴(2sin A-sin C)cos B=sin B cos C.∴2sin A cos B=sin C cos B+sin B cos C=sin(B+C)=sin A,得cos B=,即B=,由余弦定理可得16=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac≥2ac-ac,∴ac≤16 当且仅当a=c时取等号,∴△ABC的面积S=ac sin B=ac≤4.7.f(x)=2cos2x+sin x cos x-1=cos 2x+sin 2x=sin(2x+φ),其中tan φ=2,所以f(x)的最大值为.8.-由正弦定理得2sin A sin B=sin B,∵sin B≠0 ∴sin A=.A为锐角,∴A=,∴原式=cos-=-sin=-,故答案为-.9.解 (1)因为f(x)=sin2x+cos2x+sin 2x-cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=sin-+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)可知,f(x)=sin-+1.当x∈时,2x-∈-,sin-∈-,sin-+1∈[0,+1].当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值0.所以当x∈时,f(x)≥0.10.解 (1)利用正弦定理,得=1+,即sin(B+C)=cos C sin B+sin C sin B,∴sin B cos C+cos B sin C=cos C sin B+sin C sin B,∴cos B sin C=sin C sin B,又sin B≠0 ∴tan B=1,B=.(2)由(1)得B=,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2ac cos B,则有2=a2+c2-ac,即有2+ac=a2+c2,又由a2+c2≥2ac,则有2+ac≥2ac,变形可得:ac≤=2+,则S=ac sin B=ac≤.即△ABC面积的最大值为.11.解∵(a+2c)cos B+b cos A=0,∴(sin A+2sin C)cos B+sin B cos A=0,(sin A cos B+sin B cos A)+2sin C cos B=0,sin(A+B)+2sin C cos B=0,∵sin(A+B)=sin C,∴cos B=-,∵0<B<π ∴B=.(2)由余弦定理得9=a2+c2-2ac×-,化简得a2+c2+ac=9,∴(a+c)2-ac=9,∵a+b+c=3+2,b=3,∴a+c=2,∴ac=3, ∴S△ABC=ac sin B=×3×=.。
2020年高考理科数学二轮专题复习四：三角函数(附解析)
2020年高考理科数学二轮专题复习四：三角函数（附解析）1．以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2．考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简计算；3．考查三角函数的图象的平移及伸缩变换；4．掌握通过sin()y A x ωϕ=+【解析】式求性质及通过性质求【解析】式．一、公式： （1）诱导公式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=-（5）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=二、三角函数性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换 1．ϕ对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响2．(0)ωω>对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响3．(0)A A >对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响(1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，函数图象的周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)ϕ大于0时，函数图象向左平移，ϕ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．四、函数sin()y A x ωϕ=+的性质1．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>中参数的物理意义当0A <或0ϕ<时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相ϕ．如函数sin(2)4y x π=--的初相不是4πϕ=-．2．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的有关性质1．tan 255︒=（ ）A．2-．2-．2 D．22．若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．2 B ．32 C ．1 D ．123．已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A ．15B．5 C．3 D．54．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________．1．下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A ．|2cos |)(x x f = B ．|2sin |)(x x f = C ．||cos )(x x f = D ．||sin )(x x f =高频易错题经典常规题（45分钟）2．若cos2π2sin()4αα=--，则cos sin αα+的值为（ ） A．．12- C ．12 D3．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(,)2ππ单调递增；③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③4．设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点； ②()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点；③()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④精准预测题1．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(,0)12π-对称 B ．关于点(,0)12π对称C ．关于直线12x π=-对称 D ．关于直线12x π=对称2．关于函数()cos |s ||co 2|f x x x =+有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在35[,]44ππ上单调递增；④()f x 的值域为[]2,2-．上述结论中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,1]- B ．当且仅当222k x k πππ<<+（k ∈Z ）时，()0f x >C ．当且仅当22x k ππ=+（k ∈Z ）时，函数()f x 取得最大值1D ．函数()f x 是以π为最小正周期的周期函数4．已知函数()sin()f x A ωx φ=+，（0A >，0ω>，||2φπ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的 是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x p=对称 B ．()f x 的图象关于点5(,0)12p-对称2w =C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在[,0]2p-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,--5．已知函数()3|sin(2)|3|cos 2|6x f x x p=-+，现有如下命题： ①函数()f x 的最小正周期为2p ；②函数()f x 的最大值为③512x p=是函数()f x 图象的一条对称轴． 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为p ； ③()f x 的最小值为0；④()f x 在上有3个零点，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④ 7．已知2sin(5)2sin 3cos(2)333x x x p p ---=，则cos(2)3x p-=（ ） A ．19 B ．19- C ．13 D ．13- 2020年高考理科数学二轮专题复习四：三角函数（解析）1．以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2．考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简计算；3．考查三角函数的图象的平移及伸缩变换；4．掌握通过sin()y A x ωϕ=+【解析】式求性质及通过性质求【解析】式．一、公式： （1）诱导公式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=-（5）降幂公式：21cos2sin2αα-=，21cos2cos2αα+=二、三角函数性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换 1．ϕ对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响2．(0)ωω>对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响3．(0)A A >对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响(1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，函数图象的周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)ϕ大于0时，函数图象向左平移，ϕ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．四、函数sin()y A x ωϕ=+的性质1．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>中参数的物理意义当0A <或0ϕ<时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相ϕ．如函数sin(2)4y x π=--的初相不是4πϕ=-．2．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的有关性质1．tan 255︒=（ ）A．2-．2-．2 D．2 【答案】D【解析】因为tan 255tan(18075)tan 75︒=︒+︒=︒tan 45tan 30tan(4530)1tan 45tan 30︒+︒=︒+︒=-︒⋅︒，化简可得tan 2552︒=2．若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．2 B ．32 C ．1 D ．12【答案】A【解析】由题意可知32442T πππ=-=，即T π=，所以2ω=． 3．已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A ．15B．5 C．3 D．5【答案】B 【解析】(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==经典常规题（45分钟）所以sin 5α==． 4．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，则有2sin sin 22sin 2sin cos x x x x x -=-2sin (1cos )0x x =-=，即sin 0x =或cos 1x =， 当sin 0x =时，,x k k π=∈Z ； 当cos 1x =时，2,x k k π=∈Z ， 又[0,2]x π∈，所以0x =或π或2π，即函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π有3个零点．5．函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+， 因为cos [1,1]x ∈-，知当cos 1x =时()f x 取最小值，则3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为4-．高频易错题1．下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A ．|2cos |)(x x f = B ．|2sin |)(x x f = C ．||cos )(x x f = D ．||sin )(x x f = 【答案】A【解析】对于A ，函数|2cos |)(x x f =的周期T π=2，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，符合题意；对于B ，函数|2sin |)(x x f =的周期T π=2，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，不符合题意； 对于C ，函数x x x f cos ||cos )(==，周期T π=2，不符合题意； 对于D ，函数||sin )(x x f =的周期T π=，不符合题意．2．若cos2π2sin()4αα=--，则cos sin αα+的值为（ ） A．．12- C ．12 D【答案】C【解析】∵)cos2cos sin π2sin()4αααα==+=--， ∴1cos sin 2αα+=． 3．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(,)2ππ单调递增；③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③ 【答案】C【解析】因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确，因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确．4．设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点； ②()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点；③()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 【答案】D 【解析】根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故②错；∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故③对．1．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(,0)12π-对称 B ．关于点(,0)12π对称C ．关于直线12x π=-对称 D ．关于直线12x π=对称【答案】B精准预测题【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=．设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则2()sin(2)3g x x πϕ=++， 因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±， 所以2sin()13πϕ+=±，232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，所以6k πϕπ=-，k ∈Z ， 因||2πϕ<，所以6πϕ=-．又()sin(2)6f x x π=-，令262x k πππ-=+，k ∈Z ，故对称轴为直线23k x ππ=+，k Z ∈，所以C ，D 错误； 令26x k ππ-=，k ∈Z ，故212k x ππ=+，k ∈Z ， 所以对称中心为(,0)212k ππ+，k ∈Z ，所以A 错误，B 正确． 2．关于函数()cos |s ||co 2|f x x x =+有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在35[,]44ππ上单调递增；④()f x 的值域为[]2,2-．上述结论中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】2()cos |cos 2|cos |2cos |||||1f x x x x x ++=-=，由cos |o |c s x x =，可得22()cos |2cos 12cos ||||1|cos f x x x x x =+-+=-，由22|cos()||c (os())|1()f x x x f x -+--=-=，则()f x 为偶函数，故①正确； 可令s ||co t x =，可得2()21g t t t =+-，由s ||co y x =的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②正确；由cos y x =在[,0]2π-递增，在[0,]2π递减，可得()f x 在3[,]4ππ递增，在5[,]4ππ递减，故③错误；由[0,1]t ∈，219()2()48g t t =+-，可得()g t 在[0,1]递增，则()g t 的值域为[1,2]-，故④错误．3．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,1]-B ．当且仅当222k x k πππ<<+（k ∈Z ）时，()0f x >C ．当且仅当22x k ππ=+（k ∈Z ）时，函数()f x 取得最大值1D ．函数()f x 是以π为最小正周期的周期函数【答案】B【解析】由函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--， 则sin ,cos sin ()cos ,cos sin x x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩， 作出函数()y f x =的图像（实线部分），观察图像的性质有：函数()f x 的值域为[1,]2-，即选项A 错误，当且仅当222k x k πππ<<+（k ∈Z ）时，()0f x >，即选项B 正确，当且仅当24x k ππ=+（k ∈Z ）时，函数()f x ，即选项C 错误， 函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，即选项D 错误．4．已知函数()sin()f x A ωx φ=+，（0A >，0ω>，||2φπ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x p =对称 B ．()f x 的图象关于点5(,0)12p -对称2w =C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在[,0]2p -上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,--【答案】D【解析】由函数的图象可得2A =124312w p p p ?-，求得2w =， 由五点法作图可得23pj p ?=，求得3p j =，所以()2sin(2)3f x x p =+， 当时23x p =-，()0f x =，不是最值，故A 不成立； 当时512x p =-，()2f x =-，不是函数的对称中心，故B 不成立；将函数2cos 22sin(2)6y x x x p =-=-的图象向左平移2p 个单位得到函数 52sin[2()]sin(2)266y x x p p p =+-=+的图象，故C 不成立； 当[,0]2x pÎ时，22[,]333x p p p +?，因为2sin()3p -=-sin()12p -=-故方程()f x m =在[,0]2p 上两个不相等的实数根时，则的取值范围是(2,--， 所以D 成立．5．已知函数()3|sin(2)|3|cos 2|6x f x x p =-+，现有如下命题： ①函数()f x 的最小正周期为2p ；②函数()f x 的最大值为 ③512x p =是函数()f x 图象的一条对称轴． 其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意得，函数()f x 的最小正周期为2p ，故①正确；当[0,)12x p Î时，()3sin(2)3cos 2)66f x x x x p p =--+=+； 当[,)124x p p Î，()3sin(2)3cos 23sin(2)66x x f x x p p =-+=+；当[,]42x p pÎ时，3sin(2)3cos 2)()66x x x f x p p =--=-+． 作出函数()f x 的图象如图所示，可知②③正确．6．设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为p ；③()f x 的最小值为0；④()f x 在上有3个零点，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】因为函数()f x 定义域为R ，而且()cos |2||sin |()f x x x f x =+=，所以()f x 是偶函数，①正确；因为函数cos |2|y x =的最小正周期为p ，|sin |y x =的最小正周期为p ，所以()f x 的最小正周期为p ，②正确；2219()cos |2||sin |cos 2sin 12sin |sin |2(sin |)48f x x x x x x x x =+=+--==-++|， 而|sin |[0,1]x Î，所以当sin |1x =|时，()f x 的最小值为0，③正确； 由上可知()0f x =可得12sin 2|sin |0x x -+=，解得|sin |1x =或1sin ||2x =-（舍去） 因此在[0,2]p 上只有2x p =或32x p =，所以④不正确． 7．已知2sin(5)2sin 3cos(2)333x x x p p ---=，则cos(2)3x p -=（ ） A ．19 B ．19- C ．13 D ．13- 【答案】B【解析】因为sin(5)sin(32)sin 3cos(2)cos3sin(2)3333x x x x x x x p p p p -=+-=-+-， 所以2sin(5)2sin 3cos(2)sin 3cos(2)cos3sin(2)33333x x x x x x x p p p p ---=--+-=， 整理得2sin()33x p -+=，即2sin()33x p +=-， 所以21cos[2(cos(2)cos[2()])]2sin ()133933x x x x p p p p p -=+-=-+=+-=-。
2020届高考数学(理)二轮考点专训卷：(4)三角函数
考点专训卷（4）三角函数1、下列各对角中,终边相同的是( )A.203π和879πB.3π-和223πC.32π和32π-D.79π-和259π-2、若角θ满足sin 0θ<,tan 0θ<则角θ是（ ） A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 第二象限角或第四象限角3、把114-π表示成2(Z)k k θ+π∈的形式,且使θ最小的θ的值是( ) A.34-π B.4π- C.4π D.34π4、设角2α=-弧度，则α所在的象限是( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin2θ=（ ） A. 513- B. 513C. 1213-D. 12136、如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O 距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系sin()2(0,0)y A x A ωϕω=++>>,则有( )A. 15,32A ωπ== B. 2,315A πω==C. 2,515A πω==D. 15,52A ωπ==7、已知下列三角函数:①sin201︒;②23tan 4⎛⎫-π ⎪⎝⎭;③cos940︒;④sin1. 其中值为正的是( ) A.①② B.②③C.①④D.②④8、已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-,则2cos sin cos ααα+=( )A.65B.35C.25D.35-9、若1tan 2θ=-，则sin cos θθ的值为( )A. 15B. 35C. 45-D. 25-10、设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论错误的是( )A. () f x 的一个周期为2π-B. ()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C. ()πf x +的一个零点为π6x =D. () f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减11、要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需要把函数sin 2y x =的图象( )A. 向左平移π3个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位12、以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是( )A.函数()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.直线π8x =是函数()x f y =图象的一条对称轴 C.点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()x f y =图象的的一个对称中心D.将函数()x f y =图象向左平移π8个单位，可得到x y 2sin 2=的图象 13、函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象如图，则ϕ=（ ）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π314、已知函数πsin()0,||2y x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，π3-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，π3-15、函数π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一条对称轴方程为（ ）A ．π3x =-B ．π3x =C ．π6x =D ．π6x =-16、将函数()cos()()2f x x ϕϕπ=+<图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则ϕ=( )A.512π-B.3π-C.3πD.512π17、函数()2cos sin f x x x =+在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是__________18、将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值为__________19、已知()sin tan 1f x a x b x =++满足75f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则995f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________. 20、已知向量23sin ,1,cos ,cos 444x x x m n ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎭⎝⎭,记()f x m n =⋅．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()32f a =,求2cos 3a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （3）将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位得到()y g x =的图象,若函数()y g x k =-在70,3k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点,求实数k 的取值范围.21、已知函数2π()sin sin()1(0)2f x x x x ωωωω=⋅+-> 相邻两条对称轴之间的距离为π2． (1).求ω的值； (2).当ππ[,]122x ∈-时求函数()f x 值域.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：对于A,202876,103393ππππ=π+=π-,终边不相同; 对于B,23833ππ-+π=,故3π-和223π终边不相同;对于C,32π和32π-终边不相同;对于D,725299ππ--π=-,故79π-和259π-终边相同.故选D.2答案及解析：答案：D解析：∵sin θ<0，∴θ为第三或第四象限角或终边落在y 轴的非正半轴上， 又tan θ<0，∴θ为第二或第四象限角， 取交集得：θ为第四象限角。
2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(4)三角函数与解三角形+Word版含答案
（4）三角函数与解三角形 1、若角θ满足sin 0θ<,tan 0θ<则角θ是（ ）A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 第二象限角或第四象限角 2、一个扇形的弧长与面积都是3,则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A ．2radB ．32radC ．1radD ．52rad 3、已知tan 3α=,则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ). A.38 B.916 C.1112 D.794、函数23cos π2()cos(π)x x f x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-++在[]-π,π的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、已知0ω>，函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A.1(0,]2 B. (0,2] C. 15[,]24 D. 13[,]246、在ABC ∆中，已知5cos 13A =，4cos 5B =，则cos C 的值为（ ） A. 1665 B. 5665 C. 1665或5665 D ．1665- 7、在ABC △中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若4,60,75a B C ==︒=︒,则b 等于（ ）A.42 B.3 C.6 D.68、在ABC △中，3,45,60c B C ==︒=︒，则b =( )A. 2B. 3C. 32D. 29、在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为、b 、,若222a c b +-,则角B 的值为( ) A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π310、在ABC △中，2cos a b C =(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC △的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形11、若1sin cos ,,52αααπ⎛⎫+=∈π ⎪⎝⎭,则sin cos αα-=___________.12、振动量函数()()0y x ωϕω=+>的初相和频率分别为π-和32,则它的相位是__________.13、在ABC △中,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,D 是AB 上的三等分点(靠近点A),且1CD =,()()()sin sin sin a b A c b C B +=+-,则2a b +的最大值是___________.14、已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2A B =,则2()b a c b+最小值是________________15、在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos sin cos b a c A ac A A--= （1）求角A ；（2）若a =，求bc 的取值范围．答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：∵sin θ<0，∴θ为第三或第四象限角或终边落在y 轴的非正半轴上，又tan θ<0，∴θ为第二或第四象限角，取交集得：θ为第四象限角。
2020届高考数学(理)：第4章 三角函数、解三角形 18 Word版含解析
【课时训练】第18节 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2018云南检测)下列函数中，存在最小正周期的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x 2＋1)0【答案】B【解析】A ：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x ＜0，不是周期函数；B ：y＝cos|x |＝cos x ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0，－tan x ，x ＜0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期．故选B.2．(2018安徽联考)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－3【答案】B【解析】因为函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以函数y ＝2cosx 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝1－(－2)＝3.故选B.3．(2018石家庄模拟)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )【答案】B【解析】由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 4．(2018山东泰安模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B ．π4 C ．π3 D ．π6【答案】A【解析】由题意得T 2＝π2，∴T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.5．(2018武汉调研)已知函数f (x )＝sin(2x －π2)(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )的最小正周期为πC ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 【答案】D【解析】f (x )＝sin(2x －π2)＝－cos 2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确；函数图象的对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，显然，无论k 取任何整数，x ≠π4，所以D 错误．故选D.6．(2019深圳调研)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( ) A ．0 B ．π6 C ．π4 D ．π3【答案】B【解析】据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．故选B.7．(2018河北衡水中学模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度后所得函数图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3 D ．x ＝－π12【答案】A【解析】由题意知平移后的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．结合选项知，选A.8．(2018豫南九校质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a .若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π【答案】D【解析】若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6，∵当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a＋π6≤7π6，π3≤a ≤π，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.二、填空题9．(2018江苏南京模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．【答案】2或－2【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.10．(2018太原模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期是π，则函数f (x )的图象的对称轴方程为________．【答案】x ＝k π2＋π8(k ∈Z )【解析】由T ＝π＝2πω⇒ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则对称轴为2x ＋π4＝k π＋π2⇒x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，所以对称轴方程为x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．11．(2018安徽淮南一模)函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 【解析】f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．12．(2018山西忻州模拟)函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.【答案】5 3π4＋2k π(k ∈Z )【解析】函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．三、解答题13．(2018辽宁抚顺一模)已知函数f (x )＝2sin 2x ＋b sin x ·cos x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2. (1)求实数b 的值以及函数f (x )的最小正周期；(2)记g (x )＝f (x ＋t )，若函数g (x )是偶函数，求实数t 的值．【解】(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，得2×14＋b ×12×32＝2，解得b ＝2 3.则f (x )＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)得f (x ＋t )＝2sin [2(x ＋t )－π6]＋1， 所以g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π6＋1.又函数g (x )是偶函数，则对于任意的实数x ，均有g (－x )＝g (x )成立．所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2t －π6＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π6－2x ， 整理得cos(2t －π6)sin 2x ＝0.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －π6＝0，得2t －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以t ＝k π2＋π3，k ∈Z .。
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考点专训卷（4）三角函数1、下列各对角中,终边相同的是( )A.203π和879πB.3π-和223πC.32π和32π-D.79π-和259π-2、若角θ满足sin 0θ<,tan 0θ<则角θ是（ ） A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 第二象限角或第四象限角3、把114-π表示成2(Z)k k θ+π∈的形式,且使θ最小的θ的值是( ) A.34-π B.4π- C.4π D.34π4、设角2α=-弧度，则α所在的象限是( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin2θ=（ ） A. 513- B. 513C. 1213-D. 12136、如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O 距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系sin()2(0,0)y A x A ωϕω=++>>,则有( )A. 15,32A ωπ== B. 2,315A πω==C. 2,515A πω==D. 15,52A ωπ==7、已知下列三角函数:①sin201︒;②23tan 4⎛⎫-π ⎪⎝⎭;③cos940︒;④sin1. 其中值为正的是( ) A.①② B.②③C.①④D.②④8、已知sin 3cos 22cos sin αααα+=-,则2cos sin cos ααα+=( )A.65B.35C.25D.35-9、若1tan 2θ=-，则sin cos θθ的值为( )A. 15B. 35C. 45-D. 25-10、设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论错误的是( )A. () f x 的一个周期为2π-B. ()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C. ()πf x +的一个零点为π6x =D. () f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减11、要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需要把函数sin 2y x =的图象( )A. 向左平移π3个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位12、以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是( )A.函数()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B.直线π8x =是函数()x f y =图象的一条对称轴 C.点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()x f y =图象的的一个对称中心D.将函数()x f y =图象向左平移π8个单位，可得到x y 2sin 2=的图象 13、函数π()sin()(0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象如图，则ϕ=（ ）A ．π3-B ．π6-C ．π6D ．π314、已知函数πsin()0,||2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，π3-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，π3-15、函数π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像的一条对称轴方程为（ ）A ．π3x =-B ．π3x =C ．π6x =D ．π6x =-16、将函数()cos()()2f x x ϕϕπ=+<图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则ϕ=( )A.512π-B.3π-C.3πD.512π17、函数()2cos sin f x x x =+在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是__________18、将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小值为__________19、已知()sin tan 1f x a x b x =++满足75f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则995f π⎛⎫=⎪⎝⎭__________. 20、已知向量23,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭u r r ,记()f x m n =⋅u r r．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()32f a =,求2cos 3a π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （3）将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位得到()y g x =的图象,若函数()y g x k =-在70,3k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点,求实数k 的取值范围.21、已知函数2π()sin sin()1(0)2f x x x x ωωωω=⋅+-> 相邻两条对称轴之间的距离为π2． (1).求ω的值； (2).当ππ[,]122x ∈-时求函数()f x 值域.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：对于A,202876,103393ππππ=π+=π-,终边不相同; 对于B,23833ππ-+π=,故3π-和223π终边不相同;对于C,32π和32π-终边不相同;对于D,725299ππ--π=-,故79π-和259π-终边相同.故选D.2答案及解析：答案：D解析：∵sin θ<0，∴θ为第三或第四象限角或终边落在y 轴的非正半轴上， 又tan θ<0，∴θ为第二或第四象限角， 取交集得：θ为第四象限角。
故选：D.3答案及解析： 答案：A 解析：和114π-终边相同的角可表示为112,Z 4k k ππ-∈,要使θ最小,显然取1k =.所以34θπ=-.4答案及解析：答案：C解析：角2α=-弧度,∵22π⎛⎫-∈-π,- ⎪⎝⎭,故α在第三象限,故选C.5答案及解析： 答案：C解析：对于函数()log 42(0a y x a =++>且a 1)≠，令41x +=，求得x 3=-，y 2=， 可得函数的图象恒过点()A 3,2-，且点A 在角θ的终边上，2tan 3y x θ∴==-，则2222sin cos 2tan 12sin 2sin cos tan 113θθθθθθθ===-++，故选：C ．6答案及解析： 答案：B解析：水轮每分钟旋转4圈,即每秒钟要转2πrad 15,∴2π15ω=,水轮上最高点离水面的距离为325+= (米),即max 25, 3.y A A =+==7答案及解析： 答案：D解析：①由于201︒为第三象限角,故sin2010︒<;②2323tan tan 6tan 10444ππ⎛⎫⎛⎫-π=-+π==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ③cos940cos(720220)cos220cos(18040)cos400︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒<; ④由于1为第一象限角,故sin10>.综上②④的值为正,故选D.8答案及解析： 答案：A解析：∵sin 3cos tan 322cos sin 2tan αααααα++==--,∴1tan 3α=,则22222cos sin cos 1tan 6cos sin cos cos sin 1tan 5αααααααααα+++===++.9答案及解析：答案：D 解析：10答案及解析： 答案：D解析：函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到,如图可知, ()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增,D 选项错误,故选D.11答案及解析： 答案：C 解析：12答案及解析： 答案：D解析：π()sin 2cos2)4f x x x x =--A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D13答案及解析： 答案：B 解析：因为2362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2,2T T ππω===，因为sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以22(),2()326k k Z k k Z πππϕπϕπ+=+∈=-+∈， 因为|φ|＜2π，因此6πϕ=-，故选B14答案及解析： 答案：A解析：由图可知，11π5ππ,π212122T T =-=∴=， 则2ππ,2ωω=∴=，又据五点法可得5π2122πϕ⨯+=，解得：π3ϕ=-，故选：A.15答案及解析：答案：B解析：依题意有ππ2π,62x k k Z -=+∈解得ππ,32kx k Z =+∈ 故选B16答案及解析： 答案：B解析：函数()()cos 2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移6π后得到1cos 26y x πϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为1cos 26y x πϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于2x π=对称， ∵1226k ππϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得3k πϕπ=-，当0k =时，3πϕ=-.17答案及解析：答案：12解析：18答案及解析： 答案：38π解析：19答案及解析： 答案：-5解析：由题得()1sin tan f x a x b x -=+,∴1sin tan 555f a b πππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,即6sin tan 55a b ππ=+, ∴1sin tan sin tan 55555f a b a b πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6=-, ∴999999sin tan 1555f a b πππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 20tan 20155a b ππ⎛⎫⎛⎫=π-+π-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin tan 1555a b ππ⎛⎫⎛⎫=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20答案及解析：答案：（1）()21cos 12cos cos sin 44422262x x x x x x f x m n π+⎛⎫=⋅=+=+=++ ⎪⎝⎭u r r , 由3222262x k k πππππ+≤+≤+,求得284433k x k ππππ+≤≤+, 所以()f x 的单调递减区间是284,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈；（2）由已知()232f a =,得213sin 2622a π⎛⎫++= ⎪⎝⎭,即2262a k πππ+=+,则2243a k ππ=+,k Z ∈．∴2222cos cos 41333a k ππππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位得到()1sin 262x g x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象, ∵70,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴626x x ππ-≤-≤,所以1sin 1226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭, ∴130sin 2622x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭．若函数()y g x k =-在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点,则函数()y g x =的图象与直线y k =在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有交点,所以实数k 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：21答案及解析： 答案：(1).1cos 211()cos 12cos 2222x f x x x x x ωωωωω-=+--- π1sin(2)62x ω=--∵函数()f x 的最小正周期为,且0ω>2ππ2ω∴=,解得1ω=π1()sin(2)62f x x ∴=--(2).ππ[,]122x ∈-Q ,ππ5π2[,]636x ∴-∈-，根据正弦函数的图象可得：当ππ262x -=,即π3x =时,π()sin(2)6g x x =-取最大值1．当ππ263x -=-即π12x =-,π()sin(2)6g x x =-最小值1π11sin(2)2622x ∴--≤--≤,即()f x 的值域为1[]2解析：。