安徽省皖北协作区高三3月联考数学文试题 含解析

第I 卷(50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设复数z 满足(1)1i z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A.-i B.i C.-1 D. 1 【答案】A
考点：复数的四则运算.
2.若x R ∈，则“1x ＜”是“1x <”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B
考点：1.充要条件；2.不等式及不等关系.
3.若)()(,,1,1,2
Λ++x x x x x 成等比数列，则x 的取值范围( )
A. 1x ≠-
B. 0x ≠
C. 10x x ≠-≠或
D. 10x x ≠-≠且 【答案】D 【解析】
试题分析：因为)()(,,1,1,2
Λ++x x x x x 成等比数列,所以)(0,10x x x ≠⎧⎪⎨+≠⎪⎩
解得0x ≠且
1x ≠-，所以选D .
考点：等比数列的概念.
4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
A.3
B.2
C.7
D.23 【答案】C 【解析】
考点：1.三视图；2.几何体的特征及其表面积.
5.经过圆022
2
=+-y x x 的圆心且与直线02=+y x 平行的直线方程是（ ） A ．012=-+y x B ．220x y --= C ．210x y -+= D ．022=++y x 【答案】A
1 2
1 3
左视图
俯视图
（第4题图）
考点：1.圆的方程；2.直线与直线的位置关系.
6.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出P的值为（）
A.2
B.3
C. 4
D. 5
【答案】C
考点：算法与程序框图.
7.设a=
3
2
log
3
,b=
5
2
log
5
,c=
7
2
log
7
,则( ) A. c b a
>> B. b c a
>>
C. a c b
>> D. a b c
>>
【答案】D
开始
P=1,S=0
输出P
结束
是
否
输入A
P=P+1
1
2
S S
P
=+
S≤A
考点：1.对数运算；2.对数函数的图象和性质.
8.函数3
21
x x y =-的图像大致是（ ）
【答案】C
考点：函数的图象和性质.
9.定义在R 上的函数的图象关于直线23=
x 对称，且对任意的实数x 都有3()()2
f x f x =-+，(1)1,f -=(0)2f =-，则(2013)(2014)(2015)f f f ++= ( )
A ．0
B ．－2
C ．1
D ．2 【答案】A 【解析】
试题分析：因为3
()()2f x f x =-+，所以333
(3)()()()222
f x f x f x f x +=+
+=-+=，即)f x (是周期为3的周期函数.所以(2013)(2014)(2015)f f f ++=(0)(1)(2)f f f ++.
又函数的图象关于直线23=
x 对称，所以33
()()22
f x f x +=-，3131
()(),(2)(1)2222f f f f +=-=，而(2)(23)(1)f f f =-=-，故(2013)(2014)(2015)f f f ++
(0)(1)(2)(0)2(1)220f f f f f =++=+-=-+=，选A .
考点：简单线性规划的应用.
10.已知,r r a b 是单位向量，,0a b =
.若向量r c 满足2,c a b -+
=r
r r 则r c 的最大值为（ ）
A. 21-
B. 2－ 2
C.21+
D.22+ 【答案】D 【解析】
考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模；3.数形结合思想.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中的横线上. 11.从12345，，，，中随机取出二个不同的数，其和为偶数的概率为 ． 【答案】
2
5
【解析】
试题分析：从12345，，，，中随机取出二个不同的数，总的方法数为2510C =，其中和为偶数的有
13153524++++，，，共4种，所以和为偶数的概率为
2
5442
105
C ==. 考点：1.简单组合问题；2.古典概型.
12.已知第一象限内的点()A a b ，在直线410x y ＋－＝上，则11
a b
+的最小值为________． 【答案】9
【解析】
考点：1.直线方程；2.基本不等式.
13.已知抛物线C ：2
2y px =的焦点坐标为F 2,0（），点A 63（，）
，若点M 在抛物线C 上，则MA +MF 的最小值为________．
【答案】8 【解析】
考点：1.抛物线的定义；2.抛物线的几何性质.
14.若()f x 是奇函数，且在(0)∞，＋内是减函数，又有(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是________．
【答案】(,2)(2,)-∞-⋃+∞ 【解析】
试题分析：由()f x 是奇函数及(2)0f -=得,(2)(2)0f f =--=；又()f x 在(0,)+∞上是减函数, 所以()f x 在(,0)-∞上是减函数,(,2),(0,2)x x ∈-∞-∈时，()0f x >；
(2,0),(0,)x x ∈-∈+∞时，()0f x <，故不等式()0x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-⋃+∞.
考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性.
15.已知函数()sin 3f x x x =+，则下列命题正确的是__________ (写出所有正确命题的编号)
①()f x 的最大值为2； ②()f x 的图像关于点(,0)6
π
-对称；
③()f x 在区间5(,)66
ππ
-
上单调递增； ④若实数m 使得方程()f x m =在[0,2]π上恰好有三个实数解123,,x x x ， 则12373
x x x π++=
； ⑤()f x 的图像与2()sin()3
g x x π
=-的图像关于x 轴对称； 【答案】①③④⑤ 【解析】
因为22()2sin()2sin()2sin()()3
33
f x x x x
g x π
ππ
π=+
=+-
=--=-，⑤正确. 综上知，答案为①③④⑤.
考点：1.两角和与差的三角函数；2.三角函数的图象和性质.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)
在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，.已知3cos b C ＝()13cos c B -. (1)求
sin sin A
C
的值； (2) 若16
cosB ＝，ABC ∆的周长为14，求b 的长． 【答案】 (1) 1
3
；(2) 6b ＝. 【解析】
得到3b a ＝.又14a b c ＋＋＝.即得所求.
考点：1.正弦定理、余弦定理的应用;2.两角和差的三角函数.
17.（本小题满分12分）
安徽省第13届运动会在安庆举行，为了更好地做好服务工作，需对所有的志愿者进行赛前培训，培训结束后，所有志愿者参加了“综合素质”和“服务技能”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“综合素质”科目的成绩为B的考生有10人.
（1）求该考场考生中“综合素质”科目中成绩为A的人数；
（2）若等级A,B,C,D,E分别对应90分，80分，70分，60分，50分,若该场考生的平均成绩不低于60分则认为培训合格，问该场考试综合素质培训是否合格，并说明理由。

（3）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.
【答案】(1)该考场考生中“综合素质”科目中成绩等级为A的人数为3;（2）该考场“综
合素质”的考核合格；（3）
1 (B)
6
P ..
【解析】
试题解析：(1)因为“综合素质”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人
所以该考场考生中“综合素质”科目中成绩等级为A 的人数为
40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= -----------------4分
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1
(B)6
P =
. -----------------13分 考点：1.频率分布直方图；2.古典概型. 18.（本小题满分12分）
如图，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,AD BC AD AB ⊥
1
1,2
BC AD =
=ABE ∆是等腰直角三角形，2EA EB ==，,F H 分别是,DE AB 的中点. （1）求证：CF ABE P 平面
（2）求三棱锥F DCH
-的体积
【答案】（1）证明：见解析；（2
）
1
2
.
【解析】
由ABC
∆是等腰直角三角形，AC BC
=，M
是AB的中点，得到EH AB
⊥.
F D
A
C
E
H
B
FN ABCD ∴⊥平面
考点：1.平行关系、垂直关系；2.几何体的体积；3. “等积法”. 19.（本小题满分13分）
D
A
F
C
E
H
B
M
N
已知函数()31
x
f x x =
+，数列{}n a 满足()111,().n n a a f a n N *+==∈ （1）求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）记12231,.n n n n S a a a a a a S +=++⋅⋅⋅+求 【答案】(1)见解析；（2）31
n
n +. 【解析】
（2）由（1）得
1113(1)32,,32
n n n n a a n =+-=-∴=- -----------------7分 由于111111,323133231n n a a n n n n +⎛⎫
⋅=
⋅=⋅- ⎪-+-+⎝⎭
111111111=(1)3447323133131
n n S n n n n ⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+--= ⎪
-+++⎝⎭ -----------------12分
考点：1.等差数列；2.数列的求和“裂项相消法”. 20.（本小题满分13分） 已知函数1()ln a
f x a x x
-=-
(a 为常数)． (1)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线30x y +-=垂直，求a 的值； (2)讨论函数()()g x f x x =- 的单调性. 【答案】（1）3a =；
（2）2,()1101,a g x a a >--∞+若时的增区间为（，）,减区间为（，1）,（）
2()02()0,1(1,);1,11()0,1,(1,)
a g x a g x a a a g x =+∞<<-+∞-≤+∞若时，的减区间为（，）
若1时，可得的减区间为（）,增区间为（）
若时，的增区间为（）减区间为 【解析】
'112()011()0011
2()1,1,0,1(1,)11,2()0011,12()0,1(1,);1,110,1,()0,1,a a g x x a g x x x a a g x a a a a g x a a g x a a a a g x -><><<-<<<>-<--+∞-==+∞<-<<<-+∞--≤≤若即时，由得由得或所以时，的增区间为（）减区间为（）,若即时，的减区间为（，）
若即时，可得的减区间为（）,增区间为（）若即时的增区间为（）减1+∞区间为（，）综上所述：
2,()1101,2()02()0,1(1,);1,11()0,1,(1,)
a g x a a a g x a g x a a a g x >--∞=+∞<<-+∞-≤+∞+若时的增区间为（，）,减区间为（，1）,（）若时，的减区间为（，）
若1时，可得的减区间为（）,增区间为（）若时，的增区间为（）减区间为
----- ---------13分
.
'()011
g x x x a ===-由得，或-----------------6分
'112()011()0011
2()1,1,0,1(1,)11,2()0011,12()0,1(1,);1,110,1,()0,1,a a g x x a g x x x a a g x a a a a g x a a g x a a a a g x -><><<-<<<>-<--+∞-==+∞<-<<<-+∞--≤≤若即时，由得由得或所以时，的增区间为（）减区间为（）,若即时，的减区间为（，）
若即时，可得的减区间为（）,增区间为（）若即时的增区间为（）减1+∞区间为（，）
综上所述：
2,()1101,2()02()0,1(1,);1,11()0,1,(1,)
a g x a a a g x a g x a a a g x >--∞=+∞<<-+∞-≤+∞+若时的增区间为（，）,减区间为（，1）,（）若时，的减区间为（，）
若1时，可得的减区间为（）,增区间为（）若时，的增区间为（）减区间为
- ----- ---------13分 考点：1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性. 21.（本小题满分13分）
设方程12
2=+
n
y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆. （1）若椭圆的焦距为1，离心率为
2
1
，求椭圆的方程； （2）设1m n +=, 12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上的第一象限内的点，直线2F P 交y 轴与点Q ，并且
Q F P F 11⊥, 证明：当,m n 变化时，点P 在某定直线上.
【答案】（1）2
2
413
y x +=;（2）见解析. 【解析】
（2）设)(0,0y x p 为第一象限内椭圆上的点，则10
22
0=+n y m x ， )0,(22n m F F -∴为椭圆的右焦点，Θ
20010
100010
)
(,0)
(,),)
PF y x m n x m n
m n
Q F m n m n x F P x m n y m n F Q m n m n x ∴=-----∴---∴=+--=---u u u r
u u u r 的方程为
12
2
22
00
22
00
,
1
1
PF PF O
x m n
x
m n x y
m n
x y
m n
⋅=
-=
∴=
--+=
+=
+=
u u u r u u u u r
因为
所以
即
00
1
1
x n
y n
x y
=-
⎧
⎨
=
⎩
∴+=
联立可解得
1
P x y
∴+=
点在定直线上 -------------------------------13分
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.平面向量的数量积；3.直线与椭圆的位置关系.。