相关与回归PPT课件PPT课件

（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
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2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
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Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
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第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。
( X ’ X ’)2 (Y ’ Y ’)2
l X ’Y ’ l X ’X ‘lY ’Y ‘
将成对的两组变量的观察值分别由小到大 编秩次，当观察值相同时，取平均秩次，然后对 秩次进行积差相关分析。式中X’、Y’分别为每对 观察值X、Y的秩次。
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例12-3 某医师测得一组患者血小板数及出血程度的 资料如下表12-2，试分析二者之间的关系。
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即观察值不是全落在回归线上，而是散 布在回归线周围。但离回归线越近，观察值 越多，偏离较远的观察值极少，这种不完全 呈函数关系，但又有一定数量的关系的现象 称回归。
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二、直线回归的统计描述：
（一）散点图：见图12-2。
血糖（mmol/L）
15
14
13
12
11
10
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例12-1 某医生随机抽查了12名糖尿病患者 的空腹血糖及胰岛素值，数据见下表，试做 相关分析。
12 名糖尿病患者的空腹血糖(mmol/L)及胰岛素(mU/L)测定值
编号 1
2
3
4 5 6 7 8 9 10 11 12
胰 岛 素 10.3 11.2 14.0 15.2 16.2 18.4 18.7 19.2 19.8 22.0 23.1 25.0
患者编号 血小板数（109/L）
出血程度
计数（X） 秩次（X’） 程度（Y） 秩次（Y’）
1
120
1
++
9
2
130
2
+++
10
3
160
3
±
5
4
310
4
+
7
5
420
5
+
7
6
540
6
–
2.5
7
1060
7
–
2.5
8
1140
8
+
7
9
1230
9
–
2.5
10
2000
10
–
2.5
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计算等级相关系数的步骤如下： （1）将每个变量的观察值分别由小到大排列编秩，当观察值相同时，取平均秩 次。
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三、回归系数的假设检验： 样本回归系数的假设检验（t检验）：
1. 建立检验假设： H0：β=0，H1：β≠0，α=0.05
2. 计算统计量t： b0
tb 为回归系数的标准S误b 。
sb
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υ=n-2
Sb
SY .X lxx
SY .X
(Y Yˆ )2 n2
主要内容
• 直线相关 • 等级相关 • 直线回归 • 直线相关与回归的区别与联系
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前面我们讨论了对单个变量的统计分析方法，着重于比较该单个变量的 组间差别。
医学研究中常需分析变量间的关系，如血压与年龄。
相关(correlation) 与回归(regression)是研究 两个或多个随机变量之间相互关系的重要的 统计分析方法，应用广泛。
2. 联系：
(1)同一组资料，r与b正负号一致。
(2)同一样本，tr =tb 。 (3)用回归解释相关。
r2
l2 XY
l2 XY
/ l XX
SS回
l XX .lYY
lYY
SS总
(r2为确定系数。）
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二、应用相关与回归分析时应注意的问题：
1．要求应变量Y服从正态分布，通常自变量X 为可以精确测量或严格控制的因素。 2. 进行相关与回归分析时要有实际意义。 3. 相关关系不一定是因果关系，也可能仅是表 面上的伴随关系。 4. 不能只根据相关系数绝对值的大小来推断两 事物现象之间有无相关以及相关的密切程度， 而必须进行相关系数的假设检验。
(分子决定正负号)
lXX
XX
2 X 2 X 2
n
lYY
Y
Y
2
Y 2 Y 2
n
lxy
X
X
Y
Y
XY
X Y
n
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根据例12-1的资料，散点图已观察两变量之 间有直线趋势，现计算相关系数。
本例，
X 2 4012.55
代入公式，得
X 213.1 Y2 1311.87
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相关是研究随机变量之间相互联系 的密切程度和方向。 回归是研究随机变量之间的数量依 存关系。
本章介绍两个变量间的直线回归与相关，及等级相关。
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第一节 直线相关
一、直线相关的概念： 当两指标间不独立则为相关，即某一指标的
取值与另一指标的取值多少有关。探讨两个正 态分布的随机变量有无直线关系时，统计学中 用一个统计量描述直线相关的密切程度和方向， 这个统计量称相关系数，记为r。 相关系数的绝对值必然在0到1之间，即：
9
8
7
6
5
5
10
15
20
25
30
胰岛素（mU/L）
图12-2 12名糖尿病患者血糖与胰岛素散点图
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（二）直线回归的方程：
Yˆ a bX
式中a，b是决定回归直线的两个系数。 a为截距(intercept)，b为回归系数，即直 线的斜率(slope) 。 b的统计学意义：X每增加(减)一个单位，Y 平均改变b个单位。
本资料绘制成散点图（Scatter plot）如下：
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血糖（mmol/L）
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
5
10
15
20
25
30
胰岛素（mU/L）
图12-2 12名糖尿病患者血糖与胰岛素散点图
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2. 相关系数的计算：
r ( X X )(Y Y ) lXY ( X X )2 (Y Y )2 lXX lYY
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第二节 Spearman等级相关
线性相关适用于双变量正态分布，在实际应用中，当资料不符合上述条件时， 可采用等级相关推断其相关性。 ①不服从双变量正态分布。 ②总体分布类型未知。 ③等级资料。
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1. 等级相关系数rs的计算：
rs
( X ’ X ’)(Y ’ Y ’)
一、直线回归与相关的区别和联系：
1.区别：
资料上: 相关要求X与Y为随机变量，且X和Y 服从正态分布(双变量正态分布)。 回归要求Y为随机变量，服从正态分布；X可 人为取值，称Ⅰ型回归。 X与Y为随机变量，均服从正态分布；称Ⅱ型 回归。
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应用上: 说明变量间的依存变化关系用回归； 说明变量间的相互变化关系用相关。
血 糖 13.32 10.82 12.04 12.21 11.1 9.49 11.54 9.05 7.88 10.16 8.38 7.71
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三、直线相关的统计描述： 1．散点图：
考察相关性最简单而直观的办法是散点图。以两条互相垂直的座标轴分别表示 两个变量，n对观察值对应于座标平面的n个点，便构成一幅散点图。
y
直线回归方程的求解：最小二乘原理
yˆ a bx
yi yˆi
保证各实测点距回归直线 的纵向距离平方和最小。 x
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例12-2 仍以例12-1的资料为例，已计算得 糖尿病患者血糖和胰岛素之间存在负的相 关关系，试继续进行直线回归分析。 1. 绘制散点图：见图1。
2. 计算基本数据：
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四、 回归方程的应用：
1. 描述两个变量之间的数量依存关系。 2. 利用回归方程进行预测：由X预测Y的值。 3. 利用回归方程进行控制：由Y值控制X的 取值范围。
已知空气氮氧化物(Y )的污染与汽车流量 (X )的回归关系，当确定Y的标准后，控制X 的值。
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第四节 直线相关与回归分析的关系
直线相关关系。
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（二）查表法：
根据自由度，查相关系数r界值表，查出 r0.05()，若r r0.05() ，则认为P0.05，不拒绝H0。
若r r0.05() , 则认为P0.05，拒绝H0，接受H1。 本例=12-2=10，查r界值表，r0.05(10)=0.576，
r0.01(10)=0.708， │r│ =0.8115> r0.01(13) ， P<0.01， 按=0.05的水准，按=0.05的水准，拒绝H0 ,接 受H1 ，与t检验结论相同。
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怎样的最好地代表了所有的Y，需要有
个标准。 经典的标准是最小二乘(least squares)
原则： 即每个观察点距离回归直线的纵向距离
的平方和最小，即( Yˆ )2 最小。
b
(
X X )( Y Y ( X X )2
)
l xy l xx
a Y bX
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我们称X为自变量，Y则称为依赖于X 的因变 量。 如果Y与X的关系呈线性时，我们可以用直线回归 （linear regression）描述两者的关系。
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一、回归的概念：
100多年前，有位英国遗传学家(Galton)注意到当父亲身高很高时，他的儿子的 身高一般不会比父亲身高更高。同样如果父亲很矮，他的儿子也一般不会比父亲矮， 而会向一般人的均值靠拢。当时这位英国遗传学家将这现象称为回归，现在将这概 念引伸到随机变量有向回归线集中的趋势。
α=0.05
2.计算检验统计量：
tr
r0 Sr
r
1 r 2 / n 2
Sr为相关系数r的标准误 自由度为 n 2
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tr
0.8115
12 2 1 (0.8115)2
4.392
3．确定P值和判断结果：
=12-2=10， 查t值表t0.01(10)=3.169, 本例的│tr│=4.392 t0.01(10) , P0.01, 按=0.05的水准，拒绝H0，接受H1， 认为糖尿病患者血糖和胰岛素之间存在负的
1r 1
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相关系数的大小表示相关的密切程度， 例：体重与肺活量，胸围与肺活量 相关系数的符号表示相关的方向， 例：身高与体重，年龄与钙的吸收量
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二. 相关分析的资料来源：
从研究总体随机抽取n个对象，每个对象观察X和 Y两项指标，或者从已经配成对子的研究总体中随 机抽取n对对象，每对对象观察同一指标。 要求：独立随机的成对样本，并且X 和Y来自正态 总体，这样的研究所获得的资料就可以做直线相关 分析。
l=X2X28.25
X=17.76
l XY=-74.308
Y =10.308
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b lxy 74.308/ 228.25 0.3256 lxx
a Y bX 10.308 (0.3256)*17.76 16.0907
3. 建立回归方程：
Y 16.0907 0.3256X
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4. 直线回归方程的图示：
为了进行直观分析，可按求出的回归方程在方格 坐标纸上作图。
在自变量X的实测范围内任取相距较远且易读数 的两个X值，代入上式。
如上例取X1=10.3，得Y1=12.74；取X2=25.0， 得Y2=7.95。
在图上确定(10.3,12.74)和(25.0,7.95)两个点， 以直线连接，即得到直线回归方程的图形，见图 12-2。
Y 123.70 XY 2122.40
lXX 228.25 lYY 36.73 lXY 74.31
r lXY
74.31
0.8115
lXX lYY 228.2536.73
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四．相关系数的假设检验：
常用方法有t 检验和查表法。
（一） t 检验： 1. 检验假设： H0：ρ=0 H1：ρ≠0