03-2网孔电流法
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3. 4 网孔电流法
基本思想：在平面电路中为减少未知量(方程)的个数，可 以假想每个网孔中有一个网孔电流。若网孔电流已求得， 则各支路电流可用网孔电流线性组合表示。这样即可求 得电路的解。 a b=3 ， n=2 。 独 立 回 路 数 为 l=bi1 i2 R2 i3 (n-1)=2。选图示的两个网孔为独 R1 R3 立 回 路 ， 网 孔 电 流 分 别 用 im1 、 im1 + im2 + im2。支路电流i1= im1，i2= im2- im1， uS1 uS2 – – i3= im2。 b 网孔电流是在独立回路中闭合的，对每个相关结点均流进一 次，流出一次，所以KCL自动满足。若以网孔电流为未知量列方 程来求解电路，只需对平面电路中的几个网孔列写KVL方程。
压源的电势升。
例：给定直流电路如图（a）所示，其中R1＝R2＝R3＝1，
R4＝R5＝R6＝2，uS1＝4V，uS2＝2V。试选择一组独立回 路，并列出回路电流方程。 us1 +
Il1
R1
R2
解：电路的图如图（b）所示，
R6
选择支路4、5、6为树，3个独 立回路（基本回路）绘于图中。
Il1
R5
R4
3. 5 回路电流法
网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法则无
此限制，它适用于平面或非平面电路。因此回路电流
法是一种适用性较强并获得广泛应用的分析方法。
如同网孔电流是在网孔中连续流动的假想电流，
回路电流是在一个回路中连续流动的假想电流。
回路电流法是以一组独立回路电流为电路变量的
求解方程。
通常选择基本回路（单连支回路）作为独立回路，
R12= R21=－R2 —网孔1、网孔2之间的互电阻。 互电阻Rjk－当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互 电阻前取正号；否则取负号 (平面电路中，各个网孔的绕 行方向都取为相同的方向时，互电阻Rjk均为负值) 。
uS11= uS1－uS2 —网孔1中所有电压源电压的代数和。
uS22= uS2 — 网孔2中所有电压源电压的代数和。 Uskk－在求所有电压源电压的代数和时，当网孔中各个电压 源电势方向与该回路方向一致时，取正号；反之取负号。
R33 = R3 + R5 + R6 = 5 R12 = R21 = R4 + R5 = 4 R13=R31=－（R5+R6）=－4 R23＝R32＝－R5＝－2
以下各式计算支路电流：
I1＝IL1 I2＝IL2 I3＝IL3 I4＝IL1－IL2
uS11＝－uS1＋uS2＝－2
uS22＝uS5＝2 V us33＝－uS5＝－2 V
例2. 用网孔电流法求含有受控电压源电路的各支路电流。 1 2 ①将看VCVS作独立源建立方程； I1 2V
+
_
I3 3 U2 Ia Ib +
I2
I4 1 + Ic 3U2 –
将②代入①，得 4Ia-3Ib=2 解得 ③ -12Ia+15Ib-Ic=0 9Ia-10Ib+3Ic=0 各支路电流为：
说明：
(1) 对含有并联电阻的受控电流源，可做电源等效变换： I I + º º RIk Ik 转换 _ R R º º (2)对含有无伴受控电流源支路的电路，可先按上述对于处理 无伴电流源方法列方程，再将控制量用回路电流表示。Βιβλιοθήκη “+”；否则取“-”。
整理得 (R1+ R2) im1-R2im2=uS1-uS2 - R2im1+ (R2 +R3) im2 =uS2
上式即是以网孔电流为求解对象的网孔电流方程。
令
R11=R1+R2 —网孔1的自电阻。等于网孔1中所有电阻之和。 R22=R2+R3 —网孔2的自电阻。等于网孔2中所有电阻之和。 自电阻总为正。
网孔电流法：以网孔电流为未知量列写电路方程分析电 路的方法。
可见，网孔电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电 流法相比，方程数可减少n-1个。
a i1 R1 uS1 + – i2 R2 im1 + uS2 – b i3 im2 R3 网孔1：R1 im1+R2(im1- im2)-uS1+uS2=0 网孔2：R2(im2- im1)+ R3 im2 -uS2=0 电压与回路绕行方向一致时取
R11il1+R12il1+ R13il3 …+R1l ill=uS11
R21il1+R22il2+R23il3 …+R2l ill=uS22 … Rl1il1+Rl2il2+Rl3il3 …+Rll ill=uSll 其中 Rkk：自电阻(总为正) ，k=1,2,…,m ( 任选绕行方向)。 流过互电阻两个回路电流方向相同 Rjk前面取正号 Rjk: 互电阻 流过互电阻两个回路电流方向相反 Rjk前面取负号 两个回路之间没有公共支路或有公共支路但 其电阻为零时Rjk＝0
Il2
+ 图(a)
us5
Il3
R3
Il2
Il3
图(b)
R11 = R1 + R6 + R5 + R4 = 7
故回路电流方程为： 7IL1＋4IL2－4IL3＝－2 4IL1＋5IL2－2IL3＝2 －4IL1－2IL2＋5IL3＝－2 解出IL1、IL2、IL3后，可根据
R22 = R2 + R4 + R5 = 5
(3) 求解上述方程，得到m个网孔电流；
(4) 求各支路电流(用网孔电流表示)；
(5) 其它分析。
例1. 用网孔电流法求各支路电流。 I1 I2 I3 R2 R1 Ib Ia + + R3 Ic US2 US1 _ _
I4 R4 + US4 _
解： (1) 设独立网孔电流方向为顺时针方向 (2) 列 KVL 方程 (R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2 对称阵，且 －R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2 互电阻为负 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4 (3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic (4) 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib－Ia , I3=Ic－Ib , I4=－Ic (5) 校核： 选一新回路。
由此得标准形式的方程： R11im1+R12im2=uS11 R21im1+R22im2=uS22 对于具有m 个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式有： R11im1+R12im1+ R13im3…+R1m imm=uS11 R21im1+R22im2+R23im3 …+R2m imm=uS22 … Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3 …+Rmm imm=uSmm 其中 Rkk：自电阻(总为正) ，k=1,2,…,m(任选绕行方向)。
R3 _ Ui + US1_ R1 I1=IS -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1 + I3 R4 I2 R5
IS R2 I1 _ US2 +
三、电路中具有受控源情况的分析 上面所分析的电路是不含有受控源的。如果电路中含有受 控电压源，可先把受控电压源的控制量用回路电流来表示，暂 时将受控电压源视为独立电压源，按列回路电流方程的一般方 法列于KVL方程的右边，然后将用回路电流所表示的受控源电 压移至方程的左边即可。 如果电路中含有受控电流源，同理，先用回路电流来表示 受控电流源的控制量，并暂时将受控电流源视为独立电流源， 按第二部分所述的具有电流源电路处理方法进行处理。这样， 无论那种受控源都可以变换为电流控制电压源，最后得到只有 回路电流为待求量的方程组。
I5＝IL1＋IL2－IL3
I6＝－IL1＋IL3
二、电路中具有电流源情况的分析
如果电路中有电流源和电阻的并联组合，可经等效变
换成为电压源和电阻的串联组合再列回路电流方程。但当 电路中存在无伴电流源（没有电阻与电流源并联）时，就
无法进行等效变换，直接列写回路方程就发出了困难。为
了避免这一困难，可采用下述两种方法来处理： 1、把无伴电流源两端电压作为一个求解变量列入方程。每 引入一个这样的变量，同时也增加一个回路电流与无伴电 流源之间的约束方程。这个方程是独立的，把约束方程与 回路方程联立成一组方程组，则方程数与变量数将相等， 从联立方程组中可以解出回路电流和电流源两端电压。
R3 IS1
＋
IL1＝IS1 －R5IL1＋（R2＋R5＋R6）IL2
Il3
－ R2
－（R2＋R5）IL3＝－US2
R6
US2
R4 Il1 R5 Il 2
（R4＋R5）IL1－（R2＋R5） IL2 （R2＋R3＋R4＋R5）IL3＝US2
例： 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。 R3 _ Ui + I3 R4 R5
四个方程式正好解出四个未知的待求量IL1、IL2、IL3和Ui
2、在选取回路电流时，正好让一个回路电流通过电流源。 并取该回路电流的参考方向与该回路中所含有的电流源的 电流方向一致，这样，该回路电流便等于这个电流源电流。 因此，未知的回路电流就减少一个，从而便可删去该回路 的回路电流方程。至于其余回路的回路电流方程仍按常规 的方法列写。 按方法2列写回路电流方程：
例：列写图示电路的回路电流方程。
R3
－
解：对电路中的电流源IS1，设
－ R2
Ui
＋
＋
Il3 US2
它的两端电压为Ui，其参考极性 如图所示，并选每个回路的绕向
R6 为顺时针方向，则对应于图的回
IS1
R4
Il1
R5
Il 2
路电流方程为：
（R4＋R5）IL1－R5IL2＋0＝Ui －R5IL1＋（R2＋R5＋R6）IL2－R2IL3＝－US2 0－R2IL2＋（R2＋R3）IL3＝US2－Ui IL1－IL3＝IS1 （约束方程）
这样，回路电流就将是相应的连支电流。
1 4 3 6 4 il3 il2 2 il
1
以左图所示电路的图为例，如果选
1
2 5
支路（4，5，6）为树（在图中用红
线画出），可以得到以支路（1，2，
3）为单连支的3个基本回路，它们 是独立回路。
每个连支的电流是各自单连支
回路中流动的假想回路电流。 i1=il1
流过互电阻两个网孔电流方向相同 Rjk前面取正号
Rjk:互电阻 流过互电阻两个网孔电流方向相反 Rjk前面取负号 两个网孔之间没有公共支路或有公共支路但其电阻 为零时Rjk＝0
特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 网孔电流法的一般步骤： (1) 选定电路中各个网孔的绕行方向； (2) 对m个网孔，以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；
+
US1_ R1
IS R2 _ I1 U S2 +
I2
方法1：引入电流源电压为变量，增加回路电流和电流源电流的 关系方程。 (R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui -R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2 -R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个 回路, 该回路电流即 IS 。
I5 ②找出控制量和回路电流关系。 4Ia-3Ib=2 2 解： ① -3Ia+6Ib-Ic=-3U2 -Ib+3Ic=3U2 ② U2=3(Ib-Ia) Ia=1.19A Ib=0.92A Ic=-0.51A
I1= Ia=1.19A, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A, I4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic=–0.52A. 校核: 1I1+2I3+2I5=2.01 ( UR 降=E升 ) * 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。
3
i4=－il1+il2
i5=－il1－il3
各支路电流与回路 电流之间的关系：
i2=il2
i3=il3 i6=－il1+il2－il3 从上式中可以看到连支电流就是回路电流,树支电流可以通 过连支电流或回路电流表示，即全部支路电流可以通过回路电流 表示。
一、怎样列写回路方程 对于具有b条支路、n个结点的电路，回路电流方程的一般形 式为：（独立回路数l＝b－n＋1）
uS11 —回路1中所有电压源电压的代数和。 uSkk — 回路k中所有电压源电压的代数和。 uskk－在求所有电压源电压的代数和时，当回路中各个电压源 电势方向与该回路方向一致时，取正号；反之取负号。 回路电流法方程可归纳为：
R
k 1 j 1
L
kj Lj
i uskk
k 1
L
回路电流方程的KVL形式表示了在一个回路中各个回 路电流在各个电阻上所产生的电压降等于此回路中所有电
基本思想：在平面电路中为减少未知量(方程)的个数，可 以假想每个网孔中有一个网孔电流。若网孔电流已求得， 则各支路电流可用网孔电流线性组合表示。这样即可求 得电路的解。 a b=3 ， n=2 。 独 立 回 路 数 为 l=bi1 i2 R2 i3 (n-1)=2。选图示的两个网孔为独 R1 R3 立 回 路 ， 网 孔 电 流 分 别 用 im1 、 im1 + im2 + im2。支路电流i1= im1，i2= im2- im1， uS1 uS2 – – i3= im2。 b 网孔电流是在独立回路中闭合的，对每个相关结点均流进一 次，流出一次，所以KCL自动满足。若以网孔电流为未知量列方 程来求解电路，只需对平面电路中的几个网孔列写KVL方程。
压源的电势升。
例：给定直流电路如图（a）所示，其中R1＝R2＝R3＝1，
R4＝R5＝R6＝2，uS1＝4V，uS2＝2V。试选择一组独立回 路，并列出回路电流方程。 us1 +
Il1
R1
R2
解：电路的图如图（b）所示，
R6
选择支路4、5、6为树，3个独 立回路（基本回路）绘于图中。
Il1
R5
R4
3. 5 回路电流法
网孔电流法仅适用于平面电路，回路电流法则无
此限制，它适用于平面或非平面电路。因此回路电流
法是一种适用性较强并获得广泛应用的分析方法。
如同网孔电流是在网孔中连续流动的假想电流，
回路电流是在一个回路中连续流动的假想电流。
回路电流法是以一组独立回路电流为电路变量的
求解方程。
通常选择基本回路（单连支回路）作为独立回路，
R12= R21=－R2 —网孔1、网孔2之间的互电阻。 互电阻Rjk－当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互 电阻前取正号；否则取负号 (平面电路中，各个网孔的绕 行方向都取为相同的方向时，互电阻Rjk均为负值) 。
uS11= uS1－uS2 —网孔1中所有电压源电压的代数和。
uS22= uS2 — 网孔2中所有电压源电压的代数和。 Uskk－在求所有电压源电压的代数和时，当网孔中各个电压 源电势方向与该回路方向一致时，取正号；反之取负号。
R33 = R3 + R5 + R6 = 5 R12 = R21 = R4 + R5 = 4 R13=R31=－（R5+R6）=－4 R23＝R32＝－R5＝－2
以下各式计算支路电流：
I1＝IL1 I2＝IL2 I3＝IL3 I4＝IL1－IL2
uS11＝－uS1＋uS2＝－2
uS22＝uS5＝2 V us33＝－uS5＝－2 V
例2. 用网孔电流法求含有受控电压源电路的各支路电流。 1 2 ①将看VCVS作独立源建立方程； I1 2V
+
_
I3 3 U2 Ia Ib +
I2
I4 1 + Ic 3U2 –
将②代入①，得 4Ia-3Ib=2 解得 ③ -12Ia+15Ib-Ic=0 9Ia-10Ib+3Ic=0 各支路电流为：
说明：
(1) 对含有并联电阻的受控电流源，可做电源等效变换： I I + º º RIk Ik 转换 _ R R º º (2)对含有无伴受控电流源支路的电路，可先按上述对于处理 无伴电流源方法列方程，再将控制量用回路电流表示。Βιβλιοθήκη “+”；否则取“-”。
整理得 (R1+ R2) im1-R2im2=uS1-uS2 - R2im1+ (R2 +R3) im2 =uS2
上式即是以网孔电流为求解对象的网孔电流方程。
令
R11=R1+R2 —网孔1的自电阻。等于网孔1中所有电阻之和。 R22=R2+R3 —网孔2的自电阻。等于网孔2中所有电阻之和。 自电阻总为正。
网孔电流法：以网孔电流为未知量列写电路方程分析电 路的方法。
可见，网孔电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电 流法相比，方程数可减少n-1个。
a i1 R1 uS1 + – i2 R2 im1 + uS2 – b i3 im2 R3 网孔1：R1 im1+R2(im1- im2)-uS1+uS2=0 网孔2：R2(im2- im1)+ R3 im2 -uS2=0 电压与回路绕行方向一致时取
R11il1+R12il1+ R13il3 …+R1l ill=uS11
R21il1+R22il2+R23il3 …+R2l ill=uS22 … Rl1il1+Rl2il2+Rl3il3 …+Rll ill=uSll 其中 Rkk：自电阻(总为正) ，k=1,2,…,m ( 任选绕行方向)。 流过互电阻两个回路电流方向相同 Rjk前面取正号 Rjk: 互电阻 流过互电阻两个回路电流方向相反 Rjk前面取负号 两个回路之间没有公共支路或有公共支路但 其电阻为零时Rjk＝0
Il2
+ 图(a)
us5
Il3
R3
Il2
Il3
图(b)
R11 = R1 + R6 + R5 + R4 = 7
故回路电流方程为： 7IL1＋4IL2－4IL3＝－2 4IL1＋5IL2－2IL3＝2 －4IL1－2IL2＋5IL3＝－2 解出IL1、IL2、IL3后，可根据
R22 = R2 + R4 + R5 = 5
(3) 求解上述方程，得到m个网孔电流；
(4) 求各支路电流(用网孔电流表示)；
(5) 其它分析。
例1. 用网孔电流法求各支路电流。 I1 I2 I3 R2 R1 Ib Ia + + R3 Ic US2 US1 _ _
I4 R4 + US4 _
解： (1) 设独立网孔电流方向为顺时针方向 (2) 列 KVL 方程 (R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2 对称阵，且 －R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2 互电阻为负 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4 (3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic (4) 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib－Ia , I3=Ic－Ib , I4=－Ic (5) 校核： 选一新回路。
由此得标准形式的方程： R11im1+R12im2=uS11 R21im1+R22im2=uS22 对于具有m 个网孔的平面电路，网孔电流方程的一般形式有： R11im1+R12im1+ R13im3…+R1m imm=uS11 R21im1+R22im2+R23im3 …+R2m imm=uS22 … Rm1im1+Rm2im2+Rm3im3 …+Rmm imm=uSmm 其中 Rkk：自电阻(总为正) ，k=1,2,…,m(任选绕行方向)。
R3 _ Ui + US1_ R1 I1=IS -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1 + I3 R4 I2 R5
IS R2 I1 _ US2 +
三、电路中具有受控源情况的分析 上面所分析的电路是不含有受控源的。如果电路中含有受 控电压源，可先把受控电压源的控制量用回路电流来表示，暂 时将受控电压源视为独立电压源，按列回路电流方程的一般方 法列于KVL方程的右边，然后将用回路电流所表示的受控源电 压移至方程的左边即可。 如果电路中含有受控电流源，同理，先用回路电流来表示 受控电流源的控制量，并暂时将受控电流源视为独立电流源， 按第二部分所述的具有电流源电路处理方法进行处理。这样， 无论那种受控源都可以变换为电流控制电压源，最后得到只有 回路电流为待求量的方程组。
I5＝IL1＋IL2－IL3
I6＝－IL1＋IL3
二、电路中具有电流源情况的分析
如果电路中有电流源和电阻的并联组合，可经等效变
换成为电压源和电阻的串联组合再列回路电流方程。但当 电路中存在无伴电流源（没有电阻与电流源并联）时，就
无法进行等效变换，直接列写回路方程就发出了困难。为
了避免这一困难，可采用下述两种方法来处理： 1、把无伴电流源两端电压作为一个求解变量列入方程。每 引入一个这样的变量，同时也增加一个回路电流与无伴电 流源之间的约束方程。这个方程是独立的，把约束方程与 回路方程联立成一组方程组，则方程数与变量数将相等， 从联立方程组中可以解出回路电流和电流源两端电压。
R3 IS1
＋
IL1＝IS1 －R5IL1＋（R2＋R5＋R6）IL2
Il3
－ R2
－（R2＋R5）IL3＝－US2
R6
US2
R4 Il1 R5 Il 2
（R4＋R5）IL1－（R2＋R5） IL2 （R2＋R3＋R4＋R5）IL3＝US2
例： 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。 R3 _ Ui + I3 R4 R5
四个方程式正好解出四个未知的待求量IL1、IL2、IL3和Ui
2、在选取回路电流时，正好让一个回路电流通过电流源。 并取该回路电流的参考方向与该回路中所含有的电流源的 电流方向一致，这样，该回路电流便等于这个电流源电流。 因此，未知的回路电流就减少一个，从而便可删去该回路 的回路电流方程。至于其余回路的回路电流方程仍按常规 的方法列写。 按方法2列写回路电流方程：
例：列写图示电路的回路电流方程。
R3
－
解：对电路中的电流源IS1，设
－ R2
Ui
＋
＋
Il3 US2
它的两端电压为Ui，其参考极性 如图所示，并选每个回路的绕向
R6 为顺时针方向，则对应于图的回
IS1
R4
Il1
R5
Il 2
路电流方程为：
（R4＋R5）IL1－R5IL2＋0＝Ui －R5IL1＋（R2＋R5＋R6）IL2－R2IL3＝－US2 0－R2IL2＋（R2＋R3）IL3＝US2－Ui IL1－IL3＝IS1 （约束方程）
这样，回路电流就将是相应的连支电流。
1 4 3 6 4 il3 il2 2 il
1
以左图所示电路的图为例，如果选
1
2 5
支路（4，5，6）为树（在图中用红
线画出），可以得到以支路（1，2，
3）为单连支的3个基本回路，它们 是独立回路。
每个连支的电流是各自单连支
回路中流动的假想回路电流。 i1=il1
流过互电阻两个网孔电流方向相同 Rjk前面取正号
Rjk:互电阻 流过互电阻两个网孔电流方向相反 Rjk前面取负号 两个网孔之间没有公共支路或有公共支路但其电阻 为零时Rjk＝0
特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 网孔电流法的一般步骤： (1) 选定电路中各个网孔的绕行方向； (2) 对m个网孔，以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；
+
US1_ R1
IS R2 _ I1 U S2 +
I2
方法1：引入电流源电压为变量，增加回路电流和电流源电流的 关系方程。 (R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui -R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2 -R4I2+(R3+R4)I3=-Ui
IS=I1-I3
方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个 回路, 该回路电流即 IS 。
I5 ②找出控制量和回路电流关系。 4Ia-3Ib=2 2 解： ① -3Ia+6Ib-Ic=-3U2 -Ib+3Ic=3U2 ② U2=3(Ib-Ia) Ia=1.19A Ib=0.92A Ic=-0.51A
I1= Ia=1.19A, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A, I4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic=–0.52A. 校核: 1I1+2I3+2I5=2.01 ( UR 降=E升 ) * 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。
3
i4=－il1+il2
i5=－il1－il3
各支路电流与回路 电流之间的关系：
i2=il2
i3=il3 i6=－il1+il2－il3 从上式中可以看到连支电流就是回路电流,树支电流可以通 过连支电流或回路电流表示，即全部支路电流可以通过回路电流 表示。
一、怎样列写回路方程 对于具有b条支路、n个结点的电路，回路电流方程的一般形 式为：（独立回路数l＝b－n＋1）
uS11 —回路1中所有电压源电压的代数和。 uSkk — 回路k中所有电压源电压的代数和。 uskk－在求所有电压源电压的代数和时，当回路中各个电压源 电势方向与该回路方向一致时，取正号；反之取负号。 回路电流法方程可归纳为：
R
k 1 j 1
L
kj Lj
i uskk
k 1
L
回路电流方程的KVL形式表示了在一个回路中各个回 路电流在各个电阻上所产生的电压降等于此回路中所有电