江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题(提升题)知识点分类

江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编
-03解答题（提升题）知识点分类
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？
二．三角形综合题（共1小题）
2．（2022秋•常州期末）如果三角形一个内角的2倍与另一个内角的和等于90°，那么我们称这样的三角形为“类互余”三角形．
（1）若△ABC是“类互余”三角形，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠B＝ ；
（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，△ABD是“类互余”三角形吗？请说明理由；
（3）如图2，在△ABC中，，tan∠ABC＝2，D是CB延长线上的一点．若△ABD 是“类互余”三角形，求BD的长．
三．正方形的性质（共1小题）
3．（2021秋•常州期末）【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．
第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；
第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．
【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF ＝30°．
第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；
第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．
请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．
四．直线与圆的位置关系（共1小题）
4．（2021秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝4，ED＝2，求⊙O的半径．
五．圆的综合题（共2小题）
5．（2020秋•常州期末）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是 ；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是 cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．
6．（2021秋•常州期末）如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s 的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为ts．（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；
（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM 与⊙P相切时，求t的值；
（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．
六．相似三角形的性质（共2小题）
7．（2020秋•常州期末）如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）．
（1）求sin∠AOB的值；
（2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标．
8．（2021秋•常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
（1）在△ABC中，∠A＝30°．
①如图1，若∠B＝100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B＝90°，BC＝1，则△ABC的“形似线段”的长是 ；
（2）如图3，在△DEF中，DE＝4，EF＝6，DF＝8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
七．相似三角形的判定（共1小题）
9．（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．
（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？
八．作图-相似变换（共1小题）
10．（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；
（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标 ；
（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是 ．
九．方差（共2小题）
11．（2020秋•常州期末）某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：
第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210
乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：
平均数中位数众数
甲 10
乙10　7
（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；
（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：
S乙2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．
请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？
为什么？
12．（2021秋•常州期末）“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：
八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；
九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．
（1）填表：
代表队平均数中位数方差
八年级代表队90 60
九年级代表队 90 （2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？
一十．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2020秋•常州期末）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团．
（1）甲选择“机器人”社团的概率是 ；
（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率．
14．（2021秋•常州期末）小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．
（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是 ；
（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．
15．（2022秋•常州期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣．该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种．学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．
（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是 ；
（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
江苏省常州市三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编
-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一元二次方程的应用（共1小题）
1．（2022秋•常州期末）常州大剧院举办文艺演出．经调研，如果票价定为每张50元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票将会减少20张．要使门票收入达到60500元，票价应定为多少元？
【答案】55元．
【解答】解：设票价应定为x元，
由题意得：x[1200﹣20（x﹣50）]＝60500，
解得：x1＝x2＝55．
答：票价应定为55元．
二．三角形综合题（共1小题）
2．（2022秋•常州期末）如果三角形一个内角的2倍与另一个内角的和等于90°，那么我们称这样的三角形为“类互余”三角形．
（1）若△ABC是“类互余”三角形，∠C＞90°，∠A＝40°，则∠B＝　25°或10°　；
（2）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，△ABD是“类互余”三角形吗？请说明理由；
（3）如图2，在△ABC中，，tan∠ABC＝2，D是CB延长线上的一点．若△ABD 是“类互余”三角形，求BD的长．
【答案】（1）25°或10°；
（2）是，理由见解析；
（3）或6．
【解答】解：（1）∵∠C＞90°，
∴∠A+∠B＜90°
∵△ABC是“类互余”三角形，∠A＝40°，
∴∠A+2∠B＝90°或2∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝25°或∠B＝10°，
故答案为：25°或10°．
（2）△ABD是“类互余”三角形，理由如下，
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，D是AC上的一点，CD＝1，AD＝3，∴AC＝AD+DC＝4，
∴，
∴＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△ACB∽△BCD，
∴∠CBD＝∠A，
设∠CBD＝∠A＝α，
则∠ADB＝∠ABC﹣∠CBD＝（90°﹣α）﹣α＝90°﹣2α，
∴2∠A+∠ABD＝2α+90°﹣2α＝90°，
∴△ABD是“类互余”三角形；
（3）设∠ADB＝α，依题意，△ABD是“类互余”三角形，∠ABD＞90°，当2∠ADB+∠BAD＝90°时，如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，
则∠BAD＝90°﹣α，
∴∠EAB＝α，
∴∠EAB＝∠ADB，
∵tan∠ABC＝2，，
设AE＝2a，则BE＝a，
∴，解得：a＝2，
∴AE＝4，BE＝2，
∵∠EAB＝∠ADB，
∴，
∴ED＝8，
∴BD＝DE﹣BE＝8﹣2＝6；
当∠ADB+2∠BAD＝90°，如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AD于点F，
则∠BAD＝α，∠ADB＝90°﹣2α，
∴∠EAB＝∠BAD＝α，
∴BF＝BE＝2，
设BD＝x，则ED＝2+x，
∵，
∴，
即，
解得：．
即或6．
三．正方形的性质（共1小题）
3．（2021秋•常州期末）【问题】老师上完《7.3特殊角的三角函数》一课后，提出了一个问题，让同学们尝试去探究75°的正弦值．小明和小华经过思考与讨论，作了如下探索：【方案一】小明构造了图1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．
第一步：延长BA，过点C作CD⊥BA，垂足为D，求出DC的长；
第二步：在Rt△ADC中，计算sin75°．
【方案二】小华构造了图2，边长为a的正方形ABCD的顶点A在直线EF上，且∠DAF ＝30°．
第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代数式表示AC和CG的长；
第二步：在Rt△AGC中，计算sin75°．
请分别按照小明和小华的思路，完成解答过程．
【答案】【方案一】．
【方案二】．
【解答】解：【方案一】如图1，过点A作AQ⊥BC于点Q，
在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，
∵∠C＝45°．AC＝2，
∴AQ＝CQ＝AC＝，
∵∠B＝30°，
∴BQ＝AQ＝，
∴BC＝BQ+QC＝+，
∴CD＝BC＝，
∵∠DAC＝∠B+∠ACB＝75°，
∴sin75°＝＝．
【方案二】如图2，延长CB交FE于点H，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴AC＝a，
∵∠DAF＝30°．
∴∠BAH＝60°，
∴∠H＝30°，
∴AH＝2AB＝2a，
∴BH＝AB＝a，
∴CH＝BH+BC＝a+a＝（+1）a，
∴CG＝CH＝，
∵∠GAC＝∠CAD+∠DAF＝75°，
∴sin75°＝＝＝．
四．直线与圆的位置关系（共1小题）
4．（2021秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断DE所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝4，ED＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；
（2）．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切；
理由：连接OD，
∵∠CAB的平分线是AD，
∴∠CAD＝∠DAB．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥OD，
∵∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°．
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接BD，
∵ED＝2，AE＝4，
∴AD＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EAD＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴＝，
∴AB＝5，
∴⊙O的半径为．
五．圆的综合题（共2小题）
5．（2020秋•常州期末）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以3cm/s的速度从点A向点B运动，点Q以4cm/s的速度从点C向点B运动．点P、Q同时出发，运动时间为t秒（0＜t＜2），⊙M是△PQB的外接圆．
（1）当t＝1时，⊙M的半径是 cm，⊙M与直线CD的位置关系是　相离　；
（2）在点P从点A向点B运动过程中．
①圆心M的运动路径长是　5　cm；
②当⊙M与直线AD相切时，求t的值．
（3）连接PD，交⊙M于点N，如图2，当∠APD＝∠NBQ时，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过M作KN⊥AB于N，交CD于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，
∴⊙M的直径是PQ，KN⊥CD，
当t＝1时，AP＝3，CQ＝4，
∵AB＝6，BC＝8，
∴PB＝6﹣3＝3，BQ＝8﹣4＝4，
∴PQ＝＝5，
∴⊙M的半径为cm，
∵MN∥BQ，M是PQ的中点，
∴PN＝BN，
∴MN是△PQB的中位线，
∴MN＝BQ＝×4＝2，
∴MK＝8﹣2＝6＞，
∴⊙M与直线CD的位置关系是相离；
故答案为：，相离；
（2）①如图2，由P、Q运动速度与AB，BC的比相等，
∴圆心M在对角线BD上，
由图可知：P和Q两点在t＝2时在点B重合，
当t＝0时，直径为对角线AC，M是AC的中点，
故M运动路径为OB＝BD，
由勾股定理得：BD＝＝10，
则圆心M的运动路径长是5cm；
故答案为：5；
②如图3，当⊙M与AD相切时，设切点为F，连接FM并延长交BC于E，则EF⊥AD，EF⊥BC，
则BQ＝8﹣4t，PB＝6﹣3t，
∴PQ＝10﹣5t，
∴PM＝＝FM＝5﹣t，
△BPQ中，ME＝PB＝3﹣t，
∵EF＝FM+ME，
∴5﹣t+3﹣t＝6，
解得：t＝；
（3）如图4，过D作DG⊥PQ，交PQ的延长线于点G，连接DQ，
∵∠APD＝∠NBQ，∠NBQ＝∠NPQ，
∴∠APD＝∠NPQ，
∵∠A＝90°，DG⊥PG，
∴AD＝DG＝8，
∵PD＝PD，
∴Rt△APD≌Rt△GPD（HL），
∴PG＝AP＝3t，
∵PQ＝10﹣5t，
∴QG＝3t﹣（10﹣5t）＝8t﹣10，
∵DC2+CQ2＝DQ2＝DG2+QG2，
∴62+（4t）2＝82+（8t﹣10）2，
∴3t2﹣10t+8＝0，
（t﹣2）（3t﹣4）＝0，
解得：t1＝2（舍），t2＝．
6．（2021秋•常州期末）如图1，边长为6cm的等边△ABC中，AD是高，点P以cm/s 的速度从点D向A运动，以点P为圆心，1cm为半径作⊙P，设点P的运动时间为ts．
（1）当⊙P与边AC相切时，求t的值；
（2）如图2，若在点P出发的同一时刻，点Q以1cm/s的速度从点B向点C运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点Q作BA的平行线，交AC于点M．当QM 与⊙P相切时，求t的值；
（3）在运动过程中，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）t＝3﹣；（2）（﹣）或（+）；（3）t的取值范围为0≤t＜
或t＝3﹣或3﹣＜t≤3．
【解答】解：（1）设⊙P与边AC相切点E，连接PE，如图，
则PE⊥AC．
∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，
∴BD＝＝3cm，∠DAC＝∠BAC＝30°．
∴AD＝＝3，
由题意得：PD＝tcm，
∴AP＝AD﹣PD＝（3﹣t）cm．
在Rt△APE中，
∵sin∠PAE＝，
∴AP＝．
∴3﹣t＝．
解得：t＝3﹣．
∴当⊙P与边AC相切时，t的值为3﹣．
（2）设QM与⊙P相切于点E，
①当点E在AD的左侧时，设QM与AD交于点F，如图，
连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，
∵QM与⊙P相切于点E，
∴EP⊥QM．
∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．
∵QM∥AB，
∴∠QFD＝∠BAD＝30°．
∵∠AFM＝∠QFD，
∴∠AFM＝30°．
∴∠FAM＝∠AFM＝30°．
∴AM＝FM．
∵MH⊥AD，
∴AH＝FH＝．
由题意得：BQ＝t，DP＝t，
∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，
∴四边形ABQM为等腰梯形，
∴AM＝BQ＝t．
∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．
∴AF＝2AH＝2t．
∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，
∴FP＝2EP＝2．
∵AF+FP+PD＝AD，
∴t+2+t＝3．
解得：t＝﹣；
②当点P在AD的右侧时，设QM与AD交于点F，如图，
连接EP，过点M作MH⊥AD于点H，
∵QM与⊙P相切于点E，
∴EP⊥QM．
∵△ABC是边长为6的等边三角形，AD是高，
∴∠DAB＝∠DAC＝∠BAC＝30°．
∵QM∥AB，
∴∠QFD＝∠BAD＝30°．
∵∠AFM＝∠QFD，
∴∠AFM＝30°．
∴∠FAM＝∠AFM＝30°．
∴AM＝FM．
∵MH⊥AD，
∴AH＝FH＝．
由题意得：BQ＝t，DP＝t，
∵∠B＝∠BAC＝60°，AB∥QM，
∴四边形ABQM为等腰梯形，
∴AM＝BQ＝t．
∴AH＝AM•cos∠DAC＝t．
∴AF＝2AH＝2t．
∵EP⊥QM，∠EFP＝30°，
∴FP＝2EP＝2．
∵AF+DP﹣FP＝AD，
∴t+t﹣2＝3．
解得：t＝+．
综上，当QM与⊙P相切时，t的值为（﹣）或（+）．
（3）①当0≤PD＜1时，此时⊙P与BC相交，⊙P与BC边有两个公共点，符合题意，∴此时t的取值范围为0≤t＜；
②当1＜PD＜3﹣2时，此时⊙P与△ABC的三边均相离，没有公共点；
③当PD＝3﹣2时，此时⊙P与AB，AC边相切，此时⊙P与△ABC的边共有两个公共点；
∴由（1）知：t＝3﹣；
④当3﹣2＜PD＜3﹣1时，此时⊙P与AB，AC边均相交，此时⊙P与△ABC的边共有四个公共点；
⑤当3﹣1＜PD≤3时，此时⊙P与AB，AC边均相交，但各只有一个交点，符合题意，
∴此时t的取值范围为：3﹣＜t≤3．
综上，当⊙P与△ABC的边共有两个公共点时，t的取值范围为0≤t＜或t＝3﹣或3﹣＜t≤3．
六．相似三角形的性质（共2小题）
7．（2020秋•常州期末）如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）．
（1）求sin∠AOB的值；
（2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标．
【答案】（1）．
（2）（0，3）或（0，）．
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于H．
∵A（2，2），
∴AH＝OH＝2，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB＝．
（2）由（1）可知，∠AOP＝∠AOB＝45°，OA＝2，
当△AOP∽△AOB时，＝，
可得OP′＝OB＝3，
∴P′（0，3），
当△AOP∽△BOA时，＝，
∴＝，
∴OP＝，
∴P（0，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，）．
8．（2021秋•常州期末）如果经过一个三角形某个顶点的直线将这个三角形分成两部分，其中一部分与原三角形相似，那么称这条直线被原三角形截得的线段为这个三角形的“形似线段”．
（1）在△ABC中，∠A＝30°．
①如图1，若∠B＝100°，请过顶点C画出△ABC的“形似线段”CM，并标注必要度数；
②如图2，若∠B＝90°，BC＝1，则△ABC的“形似线段”的长是　或　；
（2）如图3，在△DEF中，DE＝4，EF＝6，DF＝8，若EG是DEF的“形似线段”，求EG的长．
【答案】（1）①作图见解析部分；
②或；
（2）3．
【解答】解：（1）①如图1中，线段CM即为所求；
②如图2中，当BH⊥AC时，线段BH是“形似线段”，
∵∠ABC＝90°，BC＝1，∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝2，AB＝BC＝，
∵•AB•BC＝•AC•BH，
∴BH＝＝．
当CM平分∠BCA时，线段CT是“形似线段”，
在Rt△CBT中，CT＝＝．
综上所述，△ABC的“形似线段”的长是或；（2）如图3中，
当△DEG∽△DFE时，＝，
∴＝，
∴EG＝3，
当△FEG∽△FDE时，＝，
∴＝，
∴EG＝3，
∴EG＝3．
七．相似三角形的判定（共1小题）
9．（2022秋•常州期末）如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC．
（1）过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BD，△ADE与△ABD相似吗？为什么？
【答案】（1）见解析；
（2）△ADE∽△ABD，理由见解析．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求，
理由如下，连接OD，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）△ADE∽△ABD，理由如下，连接BD，如图，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AED＝∠ADB，
∴△ADE∽△ABD．
八．作图-相似变换（共1小题）
10．（2021秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（2，1）、（4，1）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△ABC，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1；
（2）借助网格，在图中画出△ABC的外接圆⊙P，并写出圆心P的坐标　（3，4）　；
（3）将△ABC绕（2）中的点P（3）将△ABC绕点P顺时针旋转90°，则点A运动的路线长是　π　．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，P（3，4）．
（3）π．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点P即为所求，P（3，4），
故答案为：（3，4）；
（3）∵PA＝＝，
∴的长＝＝π．
故答案为：π．
九．方差（共2小题）
11．（2020秋•常州期末）某商店1～6周销售甲、乙两种品牌冰箱的数量如表（表Ⅰ）所示（单位：台）：
第1周第2周第3周第4周第5周第6周甲9101091210
乙1312711107现根据表Ⅰ数据进行统计得到表Ⅱ：
平均数中位数众数
甲　10　10　10　
乙10　10.5　7
（1）填空：根据表Ⅰ的数据补全表Ⅱ；
（2）老师计算了乙品牌冰箱销量的方差：
S乙2＝[（13﹣10）2+（12﹣10）2+（7﹣10）2+（11﹣10）2+（10﹣10）2+（7﹣10）2]＝（台2）．
请你计算甲品牌冰箱销量的方差，根据计算结果，建议商家可多采购哪一种品牌冰箱？
为什么？
【答案】（1）10、10、10.5；
（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，理由见解答．
【解答】解：（1）甲品牌销售数量从小到大排列为：9、9、10、10、10、12，
所以甲品牌销售数量的平均数为＝10（台），众数为10台，
乙品牌销售数量从小到大排列为7、7、10、11、12、13，
所以乙品牌销售数量的中位数为＝10.5（台），
补全表格如下：
平均数中位数众数
甲101010
乙1010.57
故答案为：10、10、10.5；
（2）建议商家可多采购甲品牌冰箱，
∵甲品牌冰箱销量的方差＝×[（9﹣10）2×2+（10﹣10）2×3+（12﹣10）2]＝1，S
2＝，
乙
∴＜S乙2，
∴甲品牌冰箱的销售量比较稳定，建议商家可多采购甲品牌冰箱．
12．（2021秋•常州期末）“119”全国消防日，某校为强化学生的消防安全意识，组织了“关注消防，珍爱家园”知识竞赛，满分为100分．现从八、九两个年级各随机抽取10名学生组成八年级代表队和九年级代表队，成绩如下（单位：分）：
八年级代表队：80，90，90，100，80，90，100，90，100，80；
九年级代表队：90，80，90，90，100，70，100，90，90，100．
（1）填表：
代表队平均数中位数方差
八年级代表队90　90　60
九年级代表队　90　90　80　（2）结合（1）中数据，分析哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由；
（3）学校想给满分的学生颁发奖状，如果该校九年级一共有600名学生且全部参加了知识竞赛，那么九年级大约有多少名学生可以获得奖状？
【答案】（1）90、90、80；
（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好，理由见解答；
（3）九年级大约有180名学生可以获得奖状．
【解答】解：（1）将八年级代表队成绩重新排列为80，80，80，90，90，90，90，100，100，100，
所以其中位数为＝90，
九年级代表队成绩的平均数为＝90，
所以其方差为×[（70﹣90）2+（80﹣90）2+5×（90﹣90）2+3×（100﹣90）2]＝80，故答案为：90、90、80；
（2）八年级代表队的学生竞赛成绩更好，理由如下：
∵八、九年级代表队的学生的竞赛成绩的平均数相等，而八年级代表队的学生的竞赛成绩的方差小于九年级，成绩更加稳定，
∴八年级代表队的学生竞赛成绩更好；
（3）600×＝180（名），
答：九年级大约有180名学生可以获得奖状．
一十．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2020秋•常州期末）学校为了丰富学生课余生活，开设了社团课．现有以下社团：A．篮球、B．机器人、C．绘画，学校要求每人只能参加一个社团，甲和乙准备随机报名一个社团．
（1）甲选择“机器人”社团的概率是 ；
（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个社团的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）甲选择“机器人”社团的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，甲、乙两人选择同一个社团的结果有3个，
∴甲、乙两人选择同一个社团的概率为＝．
14．（2021秋•常州期末）小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．
（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是 ；
（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的结果有3种，
∴刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率为＝．
15．（2022秋•常州期末）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣．该劳动课程有以下小组：A．搭豇豆架、B．斩草除根、C．趣挖番薯、D．开垦播种．学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组．
（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是 ；
（2）请用树状图或列表法求甲、乙两人选择同一个小组的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）甲选择“搭虹豆架”小组的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有4种，
∴甲、乙两人选择同一个小组的概率为＝．。