高中数学必修一-函数的定义域

函数的定义域
知识集结
知识元
函数与映射的概念
知识讲解
1、一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
注意：
（1）值域由定义域和对应关系唯一确定；
（2）f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x 的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同.
2.
设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f:A→B。

其中，b称为元素a在映射f下的象，记作:b=f(a);a称为b关于映射f的原象。

集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。

注意:(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象;(2)B中每个元素都有原象(即满射)，且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象(即单射)，则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。

例题精讲
函数与映射的概念
例1.
给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）
A．只有①②B．只有①④C．只有①③④D．只有③④
例2.
A＝{1，2，3}，b＝{a，b}，则从A到B的可以构成映射的个数（）
A．4个B．6个C．8个D．9个
例3.
已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列对应法则中可以是从A至B的函数的有．
①f：x→y＝
②f：x→y＝
③f：x→y＝x
④f：x→y＝2x．
例4.
下列图象中可作为函数y＝f（x）图象的是（）
A．B．C．D．
函数相等
知识讲解
判断两个函数是否为同一函数
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
注意：
判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
例题精讲
函数相等
例1.
下列四组中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0
B．f（x）＝x﹣1，g（x）＝﹣1
C．f（x）＝x2，g（x）＝（）4
D．f（x）＝x3，g（x）＝
例2.
下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．f（x）＝x和g（x）＝
B．f（x）＝|x|和g（x）＝
C．f（x）＝x|x|和g（x）＝
D．f（x）＝和g（x）＝x＋1，（x≠1）
例3.'
试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）＝，g（x）＝；
（2）f（x）＝，g（x）＝
（3）f（x）＝，g（x）＝（）2n﹣1（n∈N*）；
（4）f（x）＝，g（x）＝；
（5）f（x）＝x2﹣2x﹣1，g（t）＝t2﹣2t﹣1．
'
例4.
下列函数中与函数y＝x是相同函数的是（）
A．B．y＝C．D．
例5.
在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）
A．B．
C．
D．
具体函数的定义域
知识讲解
函数的定义域及其求法
1.定义
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.
2.求解函数定义域的常规方法
（1）如果f(x)是整式，其定义域是实数集R；
（2）如果f(x)是分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；
（3）如果f(x)是二次根式（或偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；（4）如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；
（5）如果f(x)=x^0的定义域是{x∈R|x≠0};
（6）实际问题要具体分析.
例题精讲
具体函数的定义域
例1.
函数f（x）＝＋的定义域是（）
A．[﹣1，＋∞）B．[2，＋∞）
C．[﹣1，2]D．（﹣1，2）
例2.'
求下列函数的定义域
（1）
（2）．
'
例3.'
求函数的定义域．
'
例4.
函数的定义域为．
复合函数的定义域
知识讲解
抽象函数的定义域
（1）对在同一对应法则f下的量“x”“x＋a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；（2）函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．
例题精讲
复合函数的定义域
例1.'
设函数f（x）＝．
（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
'
例2.
已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4]
C．D．[﹣5，5]
例3.
已知函数y＝f（x＋1）的定义域是[﹣2，3]，则y＝f（x2）的定义域是（）
A．[﹣1，4]B．[0，16]
C．[﹣2，2]D．[1，4]
例4.
函数f（x2）的定义域为（﹣3，1]，则函数f（x﹣1）的定义域为（）
A．[2，10）B．[1，10）
C．[1，2]D．[0，2]
备选题库
知识讲解
本题库作为知识点“函数的定义域”的题目补充.
例题精讲
备选题库
例1.
函数f（x）=的定义域为（）
A．[2，+∞）B．（2，+∞）
C．[0，2）∪（2，+∞）D．[2，+∞）
例2.
已知函数f（x+3）的定义域为（-1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（-1，1）B．
C．（-1，0）D．（）
例3.
下列函数中，与函数y=的定义域相同的函数为（）
C．y=xe x D．A．B．
例4.
已知函数f（2x+1）的定义域为（0，3），则f（x）的定义域为（）
A．（1，3）B．（1，7）C．（1，3）D．（-，1）
例5.
已知f（x）的定义域为[-1，5]，则f（2x+5）的定义域为（）
A．[-1，5]B．[3，15]
C．[-3，0]D．[0，3]
例6.
设函数的定义域A，函数y=ln（1-x）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，3]
C．[-3，1）D．（-3，1）
例7.
函数的定义域是（）
A．[-3，1]B．（-3，1）
C．（-∞，-3）∪（1，+∞）D．（-∞，-3[∪[1，+∞）
当堂练习
单选题
练习1.
已知函数f（x）的定义域为（-1，1），则函数的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）
C．（0，1）D．（-1，1）
练习2.
函数的定义域为（）
A．（2，3）B．（3，4]
C．（2，4]D．（2，3）∪（3，4]
练习3.
已知函数f（x）=lg的定义域为A，函数g（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定义域为B，则下述关于A、B的关系中，不正确的为（）
A．A⊇B B．A∪B=B C．A∩B=B D．B⊊A
练习4.
函数f（x-4）的定义域为[3，27]，则函数f（x）的定义域为（）
A．[-2，7]B．[-1，7]
C．[-2，-1]D．[3，27]
若函数f（x）的定义域为[2，8]，则函数的定义域为（）
A．（2，4]B．（2，3）∪（3，4]
C．[1，4]D．[1，3）∪（3，4]
练习6.
若函数f（x）=ln（x+1），则函数g（x）=f（x）+f（-x）的定义域为（）A．（-1，2]B．（-1，1）
C．（-2，2）D．[-2，2]
填空题
练习1.
若函数在区间（-∞，1]内有意义，则实数a的取值范围是______
练习2.
函数y=arccos（x-1）的定义域为_______．
练习3.
若函数在区间（-∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
练习4.
已知函数y=f（x-1）的定义域为[0，2]，则f（ax）+f（），（a≥1）的定义域是__．
练习5.
函数y=（a>0，且a≠1）的定义域是（-∞，0]，则实数a的取值范围为_______．
练习1.'
函数f（x）=，
（1）若f（x）的定义域为[-2，1]，求实数a的值．
（2）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
'
练习2.'
设函数（a>0且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并判断它的奇偶性；
（Ⅱ）若，求x的取值范围．
'
练习3.'
已知函数（x>0），
（1）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由
（2）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域是[a，b]时，值域为[ma，mb]，（m≠0），求m的取值范围．
'
练习4.'
设函数．
（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，试求实数a的取值范围．
'。