2009年高考数学试题分类汇编——三角函数

2009年高考数学试题分类汇编——三角函数
一、选择题
1.(2009年广东卷文)已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==
+且
75A ∠=，则b =
B ．4＋23
C ．4—23
D ．62- 【答案】A
【解析】0
26
sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304
A +==+=+= 由62a c ==
+可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2
B =
由正弦定理得261
sin 2sin 2264
a
b B A
+=
⋅=⨯=+,故选A
2.(2009年广东卷文)函数1)4
(cos 22
--
=π
x y 是
A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2
π的奇函数 D. 最小正周期为2π
的偶函数
【答案】A
【解析】因为2
2cos ()1cos 2sin 242y x x x π
π⎛
⎫=-
-=-= ⎪⎝
⎭为奇函数,22T ππ==,所以选A. 3.（2009全国卷Ⅰ理）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（C ）（A ）
6π （B ）4π （C ）3π (D) 2
π
解: 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称 423k πφπ∴⋅
+=42()3k k Z πφπ∴=-⋅∈由此易得min ||3
π
φ=.故选C 4.（2009全国卷Ⅰ理）若4
2
x π
π
<<
，则函数3
tan 2tan y x x =的最大值为 。

解:令tan ,
x t =14
2
x t π
π
<<
∴>,
5.（2009浙江理）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( ) 答案：D
【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T a
π
π=>∴<，而D 不符合要
求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．
6.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ） D 【命题意图】此题是一个考查三角函数图象的问题，但考查的知识点因含有参数而丰富，结合图形考查使得所考查的问题形象而富有深度． 【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T a
ππ=>∴<，而D 不符合要
求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 7.（2009北京文）“6
π
α=
”是“1
cos 22
α=
”的 A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当6
π
α=
时，1cos 2cos
3
2
π
α==
， 反之，当1cos 22α=
时，有()2236
k k k Z ππ
απαπ=+⇒=+∈， 或()223
6
k k k Z π
π
απαπ=-⇒=-
∈，故应选A.
8.（2009
北京理）“2()6
k k Z π
απ=
+∈”是“1
cos 22
α=
”的 （ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当2()6k k Z π
απ=
+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛
⎫=+== ⎪⎝
⎭，
反之，当1cos 22α=
时，有()2236
k k k Z ππ
απαπ=+⇒=+∈， 或()223
6
k k k Z π
π
απαπ=-
⇒=-
∈，故应选A.
9.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.2
2cos y x = C.)4
2sin(1π
++=x y D.22sin y x =
【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即
sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
21cos 22cos y x x =+=,故选B.
答案:B
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
10.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A. 2
2cos y x = B. 2
2sin y x = C.)4
2sin(1π
++=x y D. cos 2y x =
【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即
sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
21cos 22cos y x x =+=,故选A.
答案:A
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
11.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A = (A) 1213 (B) 513 (C) 513- (D) 1213
-
答案：D
解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=12
5
-知A 为钝角，cosA<0排除A 和B ，再由13
12
cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==
A A A A A A 求得和选D 12.（2009全国卷Ⅱ文）若将函数)0)(4
tan(>+=ωπ
ωx y 的图像向右平移
6
π
个单位长度后，与函数)6
tan(π
ω+
=x y 的图像重合，则ω的最小值为 (A)61 (B)41 (C)3
1
(D)21
答案：D
解析：本题考查正切函数图像及图像平移，由平移及周期性得出ωmin =
2
1 13.（2009安徽卷理）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的
两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是
（A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Z
ππππ++∈（C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈ （D ）2[,],63k k k Z
ππππ++∈[解析]：()2sin()6
f x x π
ω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
得，,3
6
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈，故选C
14.（2009安徽卷文）设函数，其中，则导
数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解析】21
(1)sin 3x f x x
θθ='=⋅⋅sin 32sin()3
π
θθθ=+=+
520,sin()(1)2,21232f πθπθ⎤⎡⎤
⎡⎤'∈∴+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，选D 。

【答案】D
15.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2
π
答案：A
【解析】由()(13)cos cos 32sin()6
f x x x x x x π
=+==+
可得最小正周期为
2π,故选A.
16.（2009江西卷理）若函数()(13)cos f x x x =+，02
x π
≤<
，则()f x 的最大值为
A ．1
B ．2
C 31
D 32 答案：B
【解析】因为()(13)cos f x x x ==cos 3x x +=2cos()3
x π
-
当3
x π=
是，函数取得最大值为2. 故选B
17.（2009天津卷文）已知函数)0,)(4
sin()(>∈+
=w R x wx x f π
的最小正周期为π，将
)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）
A
2π B 83π C 4π D 8
π
【答案】D
【解析】由已知，周期为2,2==
w w
π
π ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，x x 2cos ]4
)(2sin[±=+
+π
ϕ，故选D
【考点定位】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用。

18.(2009湖北卷理)函数cos(2)26
y x π
=+
-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式
为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于 【答案】B
【解析】直接用代入法检验比较简单.或者设(,)a x y ''=，根据定义
cos[2()]26
y y x x π
''-=-+-，根据y 是奇函数，对应求出x '，y '。

19.（2009四川卷文）已知函数))(2
sin()(R x x x f ∈-
=π
，下面结论错误．．
的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2
π
］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数 【答案】D
【解析】∵x x x f cos )2
sin()(-=-
=π
，∴A 、B 、C 均正确，故错误的是D
【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。

20.（2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ∆中，12
cot 5A =-， 则cos A =
A.
12
13
B.
513 C.513
-
D. 1213
-
解：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2
A π
π∴∈
.
12
cos 13
A ===-
故选D.
21. （2009全国卷Ⅱ理）若将函数()tan 04y x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6
π
个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像重合，则ω的最小值为
A ．
16 B.
1
4
C.
13
D.
12
解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω⎛⎫⎛
⎫=+−−−−−−
→=-=+ ⎝+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位 1
64
()6
62k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
， 又
min
1
02
ωω>∴=.故选D 22.（2009福建卷理）函数()sin cos f x x x =最小值是 A ．-1 B. 12- C. 12
【答案】：B [解析]∵1()sin 22f x x =
∴min 1
()2
f x =-.故选B 23.（2009辽宁卷文）已知tan 2θ=，则2
2
sin sin cos 2cos θθθθ+-=
（A ）43
-
（B ）
5
4
（C ）3
4
-
（D ）
45
【解析】222
2
22
sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθ
θθθθθθ+-+-=+ ＝22tan tan 2tan 1
θθθ+-+＝4224
415+-=+
【答案】D
24.（2009辽宁卷理）已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2
()2
3
f π
=-
，则(0)f = （A ）23-
(B) 23 (C)－ 12 (D) 12
【解析】由图象可得最小正周期为2π
3
于是f(0)＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π
12
对称
所以f(2π3)＝－f(π
2)＝23
【答案】B
25.（2009辽宁卷理）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3
f 的x 取值范围是 （A ）（
13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23
） 【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|)
∴得f(|2x －1|)＜f(
1
3),再根据f(x)的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜2
3
【答案】A
26.（2009宁夏海南卷理）有四个关于三角函数的命题：
1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12
2p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π1cos 22x - 4p : sinx=cosy ⇒x+y=2
π
其中假命题的是
（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，4p 解析：1p ：∃x ∈R, 2
sin
2x +2cos 2x =12
是假命题；2p 是真命题，如x=y=0时成立；3p 是真命题，∀x ∈[]0,π,21cos 2sin 0sin sin sin 2
x
x x x x -≥===，
=sinx ；4p 是假命题，2
2
π
π
π≠
如x=
,y=2时，sinx=cosy,但x+y 。

选A.
27.（2009全国卷Ⅰ文）o
585sin 的值为 (A) 22-
(B)22 (C)3- (D) 3
【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

解：2
2
45sin )45180sin()225360sin(585sin -=-=+=+=o
o
o
o
o
o
，故选择A 。

28.（2009全国卷Ⅰ文）已知tan a =4,cot β=1
3
,则tan(a+β)= (A)
711 (B)711- (C) 713 (D) 713
- 【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。

解：由题3tan =β，11
7
12134tan tan 1tan tan )tan(-=-+=⋅-+=
+βαβαβα，故选择B 。

29.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3
π
中心对称，
那么φ的最小值为 (A)
6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π 【解析】本小题考查三角函数的图象性质，基础题。

解:
函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称 4232k ππφπ∴⋅
+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6
π
φ=.故选A 29.（2009陕西卷文）若tan 2α=,则260OA OB AB AOB ο
===∠=的值为（A ）0 (B) 34 (C)1 (D) 5
4
答案：B.
解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cos (cos 0)αα≠得,
2sin cos 2sin cos 2tan 13cos ===sin 2cos sin 2cos tan +24
cos αααααααααααα
---=++原式故选B.
30.（2009四川卷文）已知函数))(2
sin()(R x x x f ∈-
=π
，下面结论错误．．
的是 A. 函数)(x f 的最小正周期为2π B. 函数)(x f 在区间［0，2
π
］上是增函数 C.函数)(x f 的图象关于直线x ＝0对称 D. 函数)(x f 是奇函数 【答案】D
【解析】∵x x x f cos )2
sin()(-=-
=π
，∴A 、B 、C 均正确，故错误的是D
【易错提醒】利用诱导公式时，出现符号错误。

31.（2009湖北卷文）“sin α=
21”是“2
1
2cos =α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由1cos 22a =可得21sin 2a =±，故2
11sin sin 24
a a ==是成立的充分不必要条件，故选A .
32.（2009湖北卷文）函数2)6
2cos(-+
=π
x y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),
当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于
A.)2,6
(-π B.)2,6
(π C.)2,6
(--π D.)2,6
(π-
【答案】D
【解析】由平面向量平行规律可知，仅当(,2)6
a π
=-
时，
F '：()cos[2()]26
6
f x x π
π
=+
+
-=sin2x -为奇函数，故选D .
33.（2009宁夏海南卷文）有四个关于三角函数的命题：
1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12
2p : ,x y R ∃∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ∀x ∈[]0,π,
1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2
x y x y π
=⇒+= 其中假命题的是
（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p 【答案】A 【解析】因为2
sin
2x +2cos 2
x ＝1，故1p 是假命题；当x ＝y 时，2p 成立，故2p 是真命题；21cos 21(12sin )
22
x x ---=
＝｜sinx ｜，因为x ∈[]0,π，所以，｜sinx ｜＝sinx ，3p 正确；当x ＝
4
π
，y ＝94π时，有sin cos x y =，但2x y π+>，故4p 假命题，选.A 。

34.(2009湖南卷理)将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π-的图象，则ϕ等于 （D ）
A ．
6
π
B ．56π C. 76π D.116π
【答案】：D
【解析】解析由函数sin y x =向左平移ϕ的单位得到sin()y x ϕ=+的图象，由条件知函数
sin()y x ϕ=+可化为函数sin()6
y x π
=-，易知比较各答案，只有
11sin()6y x π=+sin()6
x π
=-，所以选D 项。

35.（2009四川卷理）已知函数()sin()()2
f x x x R π
=-
∈，下面结论错误．．
的是A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数 C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D.函数()f x 是奇函数
【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。

（同文4） 解析：由函数的()sin()cos ()2
f x x x x R π
=-=-∈可以得到函数()f x 是偶函数，所以选择
D ．
36.（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（ ）
A ．000sin11cos10sin168<<
B ．000
sin168sin11cos10<< C ．000sin11sin168cos10<< D ．000
sin168cos10sin11<< 【答案】C
解析因为sin160sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80︒
︒
︒
︒
︒
︒
︒
︒
=-==-=，由于正弦函
数sin y x =在区间[0,90]︒
︒
上为递增函数，因此sin11sin12sin80︒︒︒
<<，即
sin11sin160cos10︒︒︒<<。

37.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得
到函数
()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π
个单位长度
【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。

解析：由题知2=ω，所以
)8
(2cos )42cos()]42(2cos[)42sin()(π
ππππ
-=-=+-=+
=x x x x x f ，故选择A 。

二、填空题
1.（2009北京文）若4
sin ,tan 05
θθ=->，则cos θ= . 【答案】35
-
【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.
由已知，θ在第三象限，∴2
2
43cos 1sin 155θθ⎛⎫
=--=---=- ⎪⎝⎭
，∴应填35-.
2.（2009江苏卷）函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= . 【解析】 考查三角函数的周期知识。

3
2
T π=，23
T
π=，所以3ω=，
3.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，
1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于
2 ，
AC 的取值范围为 (2,3) .
解: 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ
=∴=⇒=
由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，
又01803903060θθ<-<⇒<<，故23
3045cos 22
θθ<<⇒
<<， 4.（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，
则 ϕ=________________
解析：由图可知，
()544,,2,125589,510T x πωπϕππϕϕ⎛⎫
=
∴=+ ⎪⎝⎭
⎛⎫
+∴=
⎪⎝⎭
把代入y=sin 有：1=sin
答案：
910
π
5.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则
712
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

【答案】0
【解析】由图象知最小正周期T ＝32（
445ππ-）＝32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4
π时，f （x ）＝0，即2φπ
+⨯
4
3sin(）＝0，可得4
π
φ=
，所以，712f π
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
2)41273sin(ππ+⨯＝0。

6.(2009湖南卷理)若x ∈(0, 2π)则2tanx+tan(2
π
-x )的最小值为22. 【答案】：22 【解析】由
(0,)2x π∈，知1
tan 0,tan()cot 0,2tan παααα
>-==>所以
1
2tan tan()2tan 22,2tan παααα
+-=+≥当且仅当tan 2α时取等号，即最小值是
22。

7.（2009年上海卷理）函数2
2cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 【答案】12-
【解析】()cos 2sin 212sin(2)14
f x x x x π
=++=
++，所以最小值为：12-
8.（2009年上海卷理）在极坐标系中，由三条直线0=θ，3
π
θ=，1sin cos =+θρθρ围
成图形的面积是________. 【答案】
33
4
- 【解析】化为普通方程，分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，画出三
条直线的图象如右图，可求得A （
213-，2
3
3-），B （1,0），三角形AOB 的面积为：2
33121-⨯⨯33
-
9..（2009年上海卷理）当时10≤≤x ，不等式kx x
≥2
sin π成立，则实数k 的取值范围是
_______________. 【答案】k ≤1
【解析】作出2
sin
1x
y π=与kx y =2的图象，要使不等式
kx x
≥2
sin
π成立，由图可知须k ≤1。

10．（2009年上海卷理）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足
⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________
是，0)(=k a f . 【答案】14
【解析】函数x x x f tan sin )(+=在 ()22
ππ
-
，是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为142622712a a a a a =•••=+=+，
所以12722614()()()()()0f a f a f a f a f a +=+=•••==，所以当14k =时，0)(=k a f . 11.（2009上海卷文）函数2
()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。

【答案】12-
【解析】()cos 2sin 212sin(2)14
f x x x x π
=++=
++，所以最小值为：12-
12.（2009上海卷文）已知函数()sin tan f x x x =+。

项数为27的等差数列{}n a 满足
,,22n a ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
且公差0d ≠,若1227()()...()0f a f a f a +++=，则当k= 时，
()0.k f a = 。

【答案】14
【解析】函数x x x f tan sin )(+=在 ()22
ππ
-
，是增函数，显然又为奇函数，函数图象关于原点对称，因为142622712a a a a a =•••=+=+，
所以12722614()()()()()0f a f a f a f a f a +=+=•••==，所以当14k =时，0)(=k a f . 13.(2009湖北卷理)已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4
f π
的值为 .
【答案】1
【解析】因为'()'()sin cos 4f x f x x π=-⋅+所以'()'()sin
cos
44
4
4
f f πππ
π
=-⋅+
'()214f π⇒=-故()'()cos sin ()144444
f f f πππππ
=+⇒=
14.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如图所示， 则ω ＝
【解析】由图象可得最小正周期为4π
3
∴T ＝2πω＝4π
3 ⇒ ω＝2
3
【答案】
2
3 三、解答题
1.(2009年广东卷文)（本小题满分12分）
已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2
,0(π
θ∈
（1）求θsin 和θcos 的值
（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02
π
,求ϕcos 的值 【解析】（１）
a b ⊥,sin 2cos 0a b θθ∴=-=,即sin 2cos θθ=
又∵2
sin cos 1θθ+=, ∴2
24cos cos 1θθ+=,即21cos 5=,∴24sin 5
θ=
又 25(0,
)sin 2
5π
θθ∈∴=
,5
cos 5
θ= (2) ∵5cos()5(cos cos sin sin )θϕθϕθϕ-=+5cos 25sin ϕϕ=+35cos θ=
cos sin ϕϕ∴= ,2
2
2
cos sin 1cos ϕϕϕ∴==- ,即2
1cos 2
ϕ=
又 <
<ϕ02
π
, ∴2cos 2ϕ=
2.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．
） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2
2
2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)
sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已
经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ∆中
sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理
有:222222
3,22a b c b c a a
c ab bc
+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.
解法二:由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又22
2a c b -=,0b ≠。

所以2cos 2b c A =+…………………………………①
又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=
，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高
自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

3.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos
25
A =， 3A
B A
C ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 解析：（I ）因为25cos
25A =，234cos 2cos 1,sin 255
A A A ∴=-==，又由3A
B A
C ⋅=，
得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ∆∴=
= （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=
4.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos
25
A =， 3A
B A
C ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解析：（Ⅰ）5
3
1)552(212cos
2cos 22
=-⨯=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2
=-=A A ，而35
3
cos ...===bc A AC AB AC AB ，所以5=bc ，所以ABC ∆的面积为：
25
4
521sin 21=⨯⨯=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=⨯-+=
-+=A bc c b a
5.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值. 【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上
的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．
（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，
∴函数()f x 的最小正周期为π.
（Ⅱ）由26
2
3
x x π
π
π
π-
≤≤
⇒-
≤≤，∴sin 212
x -
≤≤，
∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，最小值为6.（2009北京理）（本小题共13分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=
，4
cos ,5
A b =
=。

（Ⅰ）求sin C 的值；
（Ⅱ）求ABC ∆的面积.
【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．
（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4
,cos 35
B A π
=
=， ∴23
,sin 35
C A A π=
-=，
∴21sin sin sin 32C A A A π⎛⎫
=-=+=
⎪⎝⎭.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知33sin ,sin 510
A C +==，
又∵,3
B b π
=
=ABC 中，由正弦定理，得
∴sin 6
sin 5
b A a B =
=.
∴△ABC 的面积116336sin 2251050
S ab C ++=
=⨯=. 7.（2009江苏卷）（本小题满分14分）
设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。

满分14分。

8.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
3
π
)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=
31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解: （1）f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 233222x x x x ππ--+
=- 所以函数f(x)的最大值为
13
2
+,最小正周期π. （2）()2c f =
13sin 22C -=－41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3
C π=, 又因为在∆ABC 中, cosB=
31, 所以 2
sin 33
B =, 所以 2113223
sin sin()sin cos cos sin 232326
A B C B C B C +=+=+=
⨯+⨯=. 【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性
质以及三角形中的三角关系. 9.(2009
山
东卷文)(本小题满分12分)设函数
f(x)=2)0(sin sin cos 2
cos
sin 2
πϕϕϕ
<<-+x x x 在π=x 处取最小值.
(3) 求ϕ.的值;
(4) 在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3
)(=
A f ,求角C.. 解: （1）1cos ()2sin cos sin sin 2
f x x x x ϕ
ϕ+=⋅
+- 因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,由诱导公式知sin 1ϕ=,因为
0ϕπ<<,所以2
π
ϕ=
.所以()sin()cos 2
f x x x π
=+
=
（2）因为23)(=
A f ,所以3cos 2A =,因为角A 为∆ABC 的内角,所以6
A π=.又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,得
sin sin a b
A B
=
,也就是sin 12sin 222b A B a ==⨯=, 因为b a >,所以4π
=
B 或4
3π
=
B .
当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412
C ππππ=--=.
【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的
性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=2
3
(负值舍掉)，从而求出B=3π。

解：由 cos （A -C ）+cosB=
3
2
及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3
2
，
cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32
, sinAsinC=
34
. 又由2
b =a
c 及正弦定理得 故 2
3sin 4
B =
， 3sin B =
或 3sin B =（舍去）， 于是 B=
3π 或 B=23
π
. 又由 2
b a
c =知a b ≤或c b ≤
所以 B =
3
π。

11.（2009广东卷理）(本小题满分12分）
已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2
π
θ∈．
（1）求θsin 和θcos 的值； （2
）若sin()2
π
θϕϕ-=
<<，求cos ϕ的值． 解：（1）∵a 与b 互相垂直，则0cos 2sin =-=⋅θθb a ，即θθcos 2sin =，代入
1
cos sin 22=+θθ得
5
5
cos ,552sin ±=±
=θθ，又
(0,)
2
π
θ∈，∴
5
5
cos ,552sin ==
θθ. （
2
）
∵
2
0πϕ<
<，
2
0πθ<
<，∴
2
2
π
ϕθπ
<
-<-
，则
10
10
3)(sin 1)cos(2=
--=-ϕθϕθ，
∴
cos ϕ2
2)sin(sin )cos(cos )](cos[=
-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ. 12.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）
在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13
. （I ）求sinA 的值；
(II)设
，求∆ABC 的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。

本小题满分12分 解：（Ⅰ）由2C A π-=
，且C A B π+=-，∴42
B
A π=-，
∴sin sin()sin )42222B B B A π=-=-，
∴2
11
sin (1sin )23
A B =-=，又sin 0A >
，∴sin A =
（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC
B A
=
∴sin 31sin 3
AC A
BC B
=
=
=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
A B
C
∴116sin 63232223
ABC S AC BC C ∆=
••=⨯⨯⨯= 13.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）
在ABC 中，C-A=， sinB=。

（I ）求sinA 的值； (II)设AC=
，求
ABC 的面积。

【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sin A 的式子，这之中要运用到倍角公式；
（2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S .
【解析】（1）∵2c A c A B ππ-=+=-且∴42B
A π=-
∴2sin sin(
)(cos sin )4
2222
B B B A π
=-
=- ∴221
11sin (cos
sin )(1sin )2
2223
B B A B =-=-= 又sin 0A > ∴3
cos 3
A =
（2）如图，由正弦定理得sin sin AC BC
BC B A
=
=
∴3
6sin 3321
sin 3
AC A BC B ===⋅⋅
∴116sin 63232223
S ABC AC BC C =
=⨯⨯⨯=⋅⋅. 14.（2009江西卷文）（本小题满分12分）
在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6
A π
=
，(13)2c b +=．
（1）求C ；
（2）若13CB CA ⋅=a ,b ，c ．
解：（1）由(13)2c b += 得
13sin 2sin b B c C
== 则有
55sin()
sin
cos cos sin 666sin sin C C C
C
C
π
ππ
π-
--=
=1313cot 2222C +=+ 得cot 1C = 即4
C π
=
.
（2） 由13CB CA ⋅=+ 推出 cos 13ab C =+；而4
C π
=
,
2
13=+
则有 2
132(13)2sin sin ab c b a c A C
⎧=+⎪⎪⎪
+=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得
2
132a b c ⎧=⎪⎪
=+⎨⎪=⎪⎩
15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）
△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ；
（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .
解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=
+，即sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+=
+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).
即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π
+=
又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56
B A π
-=（舍去）
得5,412
A B ππ==
(2)162
sin 3328
ABC S ac B ac ∆+==
=+， 又sin sin a c
A C =
, 即 23
22
a c =， 得22, 3.a c ==
16.（2009天津卷文）（本小题满分12分） 在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。

（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。

【答案】
10
2 【解析】（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，
A
BC
C AB sin sin =，于是
522sin sin ===BC A
BC
C
AB （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得AC
AB BC AC AB A •-+=2cos 2
22
于是A A 2cos 1sin -==
5
5， 从而5
3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==
=A A A A A A 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦
和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。

17.（2009四川卷文）（本小题满分12分） 在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
sin A B =
= （I ）求A B +的值；
（II ）若1a b -=
，求a b c 、、的值。

【解析】（I ）∵A B 、为锐角，sin 510
A B =
=
∴ cos 510
A B ==== ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π+=
…………………………………………6分
（II ）由（I ）知34
C π
=
，∴ sin 2C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==
得
==，即,a c ==
又∵ 1a b -=
∴1b -= ∴ 1b =
∴ a c =
=…………………………………………12分
18.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分10分）
设ABC ∆的内角A 、B 、
C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2
A C
B -+=，2
b a
c =，求B 。

分析：由3
cos()cos 2
A C
B -+=，易想到先将()B A
C π=-+代入3cos()cos 2A C B -+=得3
cos()cos()2A C A C --+=然后利用两角和与差的余弦公式展
开得3sin sin 4
A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2
sin sin sin B A C =，
进而得3sin 2B =
.故233B ππ=或。

大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23
B π=时，由1cos cos()2B A
C =-+=-
，进而得3
cos()cos()212
A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。

也可利用若2
b a
c =则b a b c ≤≤或从而舍去23
B π=。

不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

19.（2009湖南卷文）（每小题满分12分）
已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-= （Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值； （Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

解：（Ⅰ） 因为//a b ，所以2sin cos 2sin ,θθθ=-
于是4sin cos θθ=，故1tan .4
θ=
（Ⅱ）由||||a b =知，2
2
sin (cos 2sin )5,θθθ+-=
所以2
12sin 24sin 5.θθ-+=
从而2sin 22(1cos 2)4θθ-+-=，即sin 2cos21θθ+=-，
于是2sin(2)4
2π
θ+=-
.又由0θπ<<知，92444
πππθ<+<， 所以5244π
πθ+
=
，或7244ππθ+=.
因此2πθ=，或3.4
π
θ=
20.（2009福建卷理）（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛 运动员的安全，限定∠MNP=120o
（I ）求A , ω的值和M ，P 两点间的距离；
（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？
18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想， 解法一
（Ⅰ）依题意，有23A =，34T =，又2T πω=，6πω∴=。

23sin 6y x π
∴=
当 4x =是，223sin 33
y π∴== (4,3)M ∴ 又(8,3)p
（Ⅱ）在△MNP 中∠MNP=120°，MP=5， 设∠PMN=θ，则0°<θ<60°
由正弦定理得00sin sin120sin(60)MP NP MN
θθ==
- 103sin 3NP θ∴=
,0103
sin(60)3
MN θ∴=- 故010*********
sin sin(60)(sin cos )33323
NP MN θθθθ+=
+-=+ 0°<θ<60°，∴当θ=30°时，折线段赛道MNP 最长
亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段道MNP 最长 解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP 中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得222cos MN NP MN NP +-∠MNP=2MP 即2225MN NP MN NP ++= 故22
()25(
)2
MN NP MN NP MN NP ++-=≤ 从而23()254
MN NP +≤，即103
3
MN NP +≤
当且仅当MN NP =时，折线段道MNP 最长
注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943(26N ++，）；②123943
(26
N --，）
；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等
21.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0
75，0
30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60，AC ＝。

试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到，2≈6≈
（18）解：
在ACD ∆中，DAC ∠＝30°，ADC ∠＝60°－DAC ∠＝30°，
又BCD ∠＝180°－60°－60°＝60°，
故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA 5分 在ABC ∆中，
ABC
AC
BCA AB ∠=
∠sin sin ， 即AB ＝
20
6
2351sin 60sin +=︒︒AC
因此，km 33.020
6
23≈+=
BD
故B 、D 的距离约为。

12分 22.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）
如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，0
30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60，AC=。

试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到，2≈6≈
(17)解:
在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, ∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， ……5分
在△ABC 中，,ABC sin C
BCA sin ∠=∠A AB
即AB=,20
6
2315sin ACsin60+=
因此，BD=。

km 33.020
6
23≈+ 故B ，D 的距离约为。

……12分
23.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤。

(17) 解：
方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，
N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） . ……….3分 ②第一步：计算AM . 由正弦定理2
12sin sin()
d AM ααα=
+ ；
第二步：计算AN . 由正弦定理2
21sin sin()
d AN βββ=
- ；
第三步：计算MN.
由余弦定理MN =.
方案二：①需要测量的数据有：
A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；
B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理1
12sin sin()
d BM ααα=
+ ；
第二步：计算BN . 由正弦定理1
21sin sin()
d BN βββ=
- ；
第三步：计算MN .
由余弦定理MN =24.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）
已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的周期为π，且图
象上一个最低点为2(
,2)3
M π
-. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[0,]12
x π∈，求()f x 的最值.
解析:（1）由最低点为2(
,2)23M A π-=得 由222T T πππωπ
====得 11
,αβ
由点2(
,2)3M π-在图像上得42sin()23πϕ+=-即4sin()13π
ϕ+=- 所以4232k ππϕπ+=-故112()6
k k Z πϕπ=-∈
又(0,
)2
π
ϕ∈，所以6
π
ϕ=
所以()2sin(2)6
f x x π
=+
（Ⅱ）因为[0,],2[,]12
663
x x π
π
ππ
∈+
∈
所以当2x+
6
6
π
π
=
时，即x=0时，f(x )取得最小值1；
,()6
3
12
x f x π
π
π
=
=
当2x+
即时，取得最大值3；
25.(2009陕西卷理)（本小题满分12分）
已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02
A π
ωϕ>><<）的图象与x 轴的交
点中，相邻两个交点之间的距离为
2
π
，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.
(Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122
x ππ
∈，求()f x 的值域.
17、解（1）由最低点为2(,2)3
M π
-得A=2.
由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2
π
，即T π=，222T ππωπ===
由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππ
ϕϕ⨯+=-+=-即sin(
故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126
k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππ
ϕϕ∈∴==+故
（2）7[,],2[,]122636x x πππππ
∈∴+∈
当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=
即2
x π
=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]
26.（2009四川卷文）（本小题满分12分） 在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
510
sin ,sin 510
A B =
= （I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=
-，求a b c 、、的值。

【解析】（I ）∵A B 、为锐角，510sin ,sin 510
A B =
= ∴ 2
225310
cos 1sin ,cos 1sin 510
A A
B B =-==-= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π+=
…………………………………………6分
（II ）由（I ）知34
C π
=
，∴ 2sin 2C =
由
sin sin sin a b c
A B C
==
得 5102a b c ==，即2,5a b c b ==
又∵ 21a b -=-
∴ 221b b -=- ∴ 1b =
∴ 2,5a c =
= …………………………………………12分
27.（2009湖北卷文）（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23= (Ⅰ)确定角C 的大小：
（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为
2
33,求a ＋b 的值。

解（1）由32sin a c A =及正弦定理得，
2sin sin sin 3
a A A c C == ABC ∆是锐角三角形，3
C π∴=
（2）解法1：7,.3
c C π
==
由面积公式得
由余弦定理得
由②变形得
25,5a b =+=2
（a+b)故 解法2：前同解法1，联立①、②得
消去b 并整理得4
2
13360a a -+=解得2
2
49a a ==或
所以23
32
a a
b b ==⎧⎧⎨
⎨
==⎩⎩或故5a b += 28.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）
如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

(17) 解：
作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．
22223017010198DF MF DM =+=+=， 222250120130DE DN EN =+=+=，
2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=． ．．．．．．6
分
在DEF ∆中，由余弦定理，
2222221301501029816
cos 2213015065
DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯.
．．．．．．12分
29.(2009湖南卷理)（本小题满分12分）
在ABC ∆，已知2
233AB AC AB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小。

解：设,,BC a AC b AB c ===
由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3
cos 2
A = 又(0,),A π∈因此6
A π
=
由2
33AB AC BC ⋅=得23bc a =
，于是23sin sin 3sin 4
C B A ⋅=-
所以53sin sin(
)64C C π⋅-=，133sin (cos sin )224
C C C ⋅+=，因此。