(压轴题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(包含答案解析)(3)

一、选择题
1．以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，由类比推理，在三棱锥P ABC
-中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，PC c =，1BPC S s =△，
2CPA S s =△，3APB S s =△，则ABC
S
=（ ）
A B
C D 2．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．14种
3．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）
①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除； ②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方； ③在数列{}n a 中，()111,312n n a a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式； ④由“三角形内角和为180︒”得到结论:直角三角形内角和为180︒. A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．②④
4．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（ ） A ．C 作品
B ．D 作品
C ．B 作品
D ．A 作品
5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获
奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（ ） A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
6．观察下列各式：5678953125,515625,578125,5390625,51953125,=====，
则20205的末四位数字为（ ） A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
7．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B ．猜想数列
111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=
∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2
2
2
2
()()()x a y b z c r -+-+-= 8．将正整数排列如下：
则图中数2020出现在（ ） A ．第64行第3列
B ．第64行4列
C ．第65行3列
D ．第65行4列
9．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩
D ．乙､丁可以知道自己的成绩
10．设F 为椭圆的左焦点，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴上的一个顶点，当
7
2
AB =时，该椭圆的离心率为12，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）
A ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，
B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
7
2
AB =
时，该双曲线的离心率为2 B ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
AB =
时，该双曲线的离心率为4 C ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
FB AB =
时，该双曲线的离心率为2 D ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当
FB AB =
时，该双曲线的离心率为4 11．下面使用类比推理正确的是（ ）
A ．直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，类推出：向量a b b c ，，则a c
B ．同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b
C ．实数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4b ．类推出：复数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4b
D ．以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程为x 2+y 2＝r 2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程为x 2+y 2+z 2＝r 2
12．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为（ ） A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
二、填空题
13．已知2336122⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2
333121232⎛⎫++= ⎪⎝⎭，2
33332012342⎛⎫+++= ⎪
⎝⎭
，…，
3333312344356n +++++=，则n =____________.
14．本学期我们学习了一种求抛物线2y
x 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方
法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求
222
2222
22(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n n
n n πππππππ
ππ→∞⎡⎤
--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
________.
15．已知以区间()0,2上的整数为分子，以2为分母的数组成集合1A ，其所有元素的和为
1a ；以区间()
20,2上的整数为分子，以22为分母组成不属于集合1A 的数组成集合2A ，其
所有元素的和为2a ；……依此类推以区间(
)0,2
n
上的整数为分子，以2
n
为分母组成不属于
1A ，2A …1n A -的数组成集合n A ，其所有元素的和为n a ，若数列{}n a 前n 项和为n S ，则20202019S S -=__________．
16．已知11
1()123f n n
=+
+++.经计算(4)2f >，5
(8)2f >，(16)3f >，
7
(32)2
f >
，则根据以上式子得到第n 个式子为______. 17．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖
”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________. 18．给出下列等式：
222
233
311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 由以上等式可推出一个一般结论：
对于*
n N ∈，()23141
21
++=122232
12
n n n n +⨯⨯+
⨯⨯⨯+__________________．
19．语文中有回文句，如：“上海自来水来自海上”，倒过来读完全一样。

数学中也有类似现象，如：88，454，7337，43534等，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”！
二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个； 三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：11位的回文数总共有_________个．
20．将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．
三、解答题
21．证明：（1610214>
（2）如果,0a b >，则lg lg lg
22
a b a b
++≥． 22．已知0a b >>，求证： （1）322a b ab a b ++>
；
（21212a a b b ++>++ 23．()1已知()f x x =
，[)x 0,∞∈+，如1x ，[)2x 0,∞∈+，且12x x ≠，求证：
()()1212x x 1f x f x f 22+⎛⎫
⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
； ()2用数学归纳法证明：当*n N ∈时，2n 1n 232+++能被7整除．
24．观察下列三角形数表
记第n 行的第m 个数为(),(,)n m a n N m N +∈∈.
（Ⅰ）分别写出()()4,23,2a a -，()()5,24,2a a -，()()6,25,2a a -值的大小；
（Ⅱ）归纳出()(),21,2(2)n n a a n --≥的关系式，并求出(),2(1)n a n ≥关于n 的函数表达式. 25．求证：一个三角形中，最大的角不小于60o..
26．已知函数2
()ln (2)f x x ax a x =-+-.
（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，求a 的取值范围；
（2）当1a =时，2
()2g x x x b =-+，当1[,2]2
x ∈时，()f x 与()g x 有两个交点，求实
数b 的取值范围； （3）证明：
*2222
223451
ln(1)()1234n n n N n
++++++
>+∀∈.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，可得出结论. 【详解】
根据几何体和平面图形的类比关系，
三角形的边应与四面体的各个面进行类比，将三角形各边边长与四面体各面面积进行类比，
在以BC 为斜边的Rt ABC 中，222BC AB AC =+，
对应地，在三棱锥P ABC -中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，PA a =，PB b =，
PC c =，1BPC S s =△，2CPA S s =△，3APB S s =△，
所以，2222
123ABC S s s s =++△，即ABC S =
△ 故选：D. 【点睛】
易错点点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：
①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．
2．B
解析：B 【分析】
根据表格进行逻辑推理即可得到结果. 【详解】
张毅不同的选课方法如下：
（1）生物B 层1班，政治1班，物理A 层2班； （2）生物B 层1班，政治1班，物理A 层4班； （3）生物B 层1班，政治2班，物理A 层1班； （4）生物B 层1班，政治2班，物理A 层4班； （5）生物B 层1班，政治3班，物理A 层1班； （6）生物B 层1班，政治3班，物理A 层2班； （7）生物B 层2班，政治1班，物理A 层3班； （8）生物B 层2班，政治1班，物理A 层4班； （9）生物B 层2班，政治3班，物理A 层1班； （10）生物B 层2班，政治3班，物理A 层3班； 共10种，故选B. 【点睛】
本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.
3．C
解析：C 【解析】
分析：①，④具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理，②选项属于类比推理；③选项属于归纳推理；只有①④符合题意.
详解：①，④，具有明显的大前提、小前提、结论，属于典型的演绎推理；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方形的体积为棱长的立方，属于类比推理；③在数列
{}n a 中，()1
11,312n n a
a a n -==-≥，由此归纳出{}n a 的通项公式，属于归纳推理，
即不是演绎推理的是②③，故选C.
点睛：本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不等当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.
4．C
解析：C 【解析】
分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断． 详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意， 若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意， 若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意， 若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为C.
点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.
5．C
解析：C 【分析】
根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】
由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】
本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.
6．C
解析：C 【分析】
根据5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====，分析次数与末四
位数字的关系，归纳其变化规律求解. 【详解】
因为5
6
7
8
9
53125,515625,578125,5390625,51953125,=====，
观察可知415k +的末四位数字3125，
425k +的末四位数字5625，
435k +的末四位数字8125，
445k +的末四位数字0625，
又202045044=⨯+，则20205的末四位数字为0625. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列中的归纳推理，还考查了理解辨析推理的能力，属于中档题.
7．C
解析：C 【分析】
根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】
根据合情推理与演绎推理的概念，可得:
对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列
111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=
∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；
对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2
2
2
2
()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
8．B
解析：B 【分析】
根据题意，构造数列，利用数列求和推出2020的位置. 【详解】
根据已知，第n 行有n 个数，设数列{}n a 为n 行数的数列，则n a n =， 即第1行有1个数，第2行有2个数，……，第n 行有n 个数， 所以，第1行到第n 行数的总个数()1122
n n n S n +=+++=
， 当63n =时，数的总个数()
636363120162
S ⨯+=
=，
所以，2020为64
n=时的数，即64行的数为：2017，2018，2019，2020，……，所以，2020为64行第4列.
故选：B.
【点睛】
本题考查数列的应用，构造数列，利用数列知识求解很关键，属于中档题.
9．B
解析：B
【分析】
根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案.
【详解】
由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好；
当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩；
当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩；
综上，只有B选项符合.
故选：B.
【点睛】
本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.
10．C
解析：C
【分析】
先排除A,B,再根据FB=求出双曲线的离心率得解.
【详解】
对于双曲线而言，FB AB
>，排除A，B.
由FB=
2
2222
2
3
42 24
c
c c a c e e
a
=⇒-=⇒==⇒=，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线离心率的计算，考查类比推理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．D
解析：D
【分析】
类比推理中，对于不成立的选项通过举反例的形式说明即可. 【详解】
A ：当b 为零向量时，不一定有a c ，故错误；
B ：正方体的某一顶点处的三条棱互相垂直，其中没有两条棱是平行的，故错误；
C ：取,1a i b i ==--，则方程有实根1x =，此时24a b ≥不成立，故错误；
D ：设球上任意一点(,,)P x y z ，则有||OP =2222x y z r ++=，故正确.
故选：D. 【点睛】
本题考查推理与证明中的类比推理，难度一般.对于一些无法直接证明出真假的命题，可以考虑通过举例的方法尝试推翻结论.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求8
9
5,5，寻找周期性规律，结合周期可求. 【详解】
895390625,51953125,==可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，
201950443=⨯+，所以20195的末四位数字为8125，故选D.
【点睛】
本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.
二、填空题
13．11【分析】首先观察题中所给的式子得到当等号左边最后一个数是时则等号右边的数为建立等量关系式求得结果【详解】观察所提供的式子可知等号左边最后一个数是时则等号右边的数为因此令则n=11故答案为：11【
解析：11 【分析】
首先观察题中所给的式子，得到当等号左边最后一个数是3n 时，则等号右边的数为
()21(
)2
n n +，建立等量关系式，求得结果.
【详解】
观察所提供的式子可知，
等号左边最后一个数是3n 时，则等号右边的数为()21(
)2
n n +，
因此，令()
21(
)43562
n n +=，则
()1662
n n +=，n=11.
故答案为：11. 【点睛】
该题考查的是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，注意观察式子的特征，属于简单题
目.
14．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面
解析：4
π
【分析】
先画出2
sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】
2
11sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：
将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n
n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦，11k =，2，...，n ，
将区间,42
ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
分为2n 段，每段矩形面积为
2222211
1cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n
n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅
--+=-= ⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 其中21k =，...，2n ，
原式即求11cos222y x =-
+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上与x 轴和2x π
=所围图形面积，
利用割补法易知面积为1224
π
π⨯=. 故答案为：
4
π. 15．【分析】根据题意可得从而得到然后求出-即可【详解】解:据题意得…∴∴∴故答案为:【点睛】本题考查了数列前n 项和的求法和归纳推理考查了计算和推理能力属中档题 解析：20182
【分析】
根据题意可得1231221
222
n n n n n
a a a a -+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+,从而得到n S ,然后求出2020S -2019S 即可.
【详解】 解:据题意,得11
2
a =
,21222221312322222a a ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭,
()3321333122122
2a a a ⎛⎫
-=++⋅⋅⋅+-+ ⎪⎝⎭,
…,
()()12112212222n n n n n n a a a a n -⎛⎫
-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++≥ ⎪⎝⎭,
∴1231221222
n n n n n
a a a a -+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+21
2n -=, ∴12321
2
n n n S a a a a -=+++⋅⋅⋅+=,
∴20202019201820202019
2121222
S S ---=-=.
故答案为:20182. 【点睛】
本题考查了数列前n 项和的求法和归纳推理,考查了计算和推理能力,属中档题.
16．【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案【详解】观察已知中等式：…则故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相
解析：()()1
*3
22
n n f n N ++>
∈
我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案. 【详解】
观察已知中等式：()()2
1342
22
f f +=>=， ()()35238222
f f +=>
=， ()()433
16232
f f +=>=， ()()574332222
f f +=>
=，…， 则(
)()1
*
3
2
2
n n f n N ++>∈，
故答案为(
)()1
*
322
n n f n N ++>∈.
【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.
17．乙【分析】根据乙丙；的说法是相互矛盾的得出乙与丙说法一对一错唉根据甲丁的说法都准确推出获奖的歌手是乙即可【详解】由题意乙与丙的说法是相互矛盾的所以乙与丙的说法中一对一错又甲说：是乙或丙获奖是正确；丁
解析：乙 【分析】
根据乙丙；的说法是相互矛盾的，得出乙与丙说法一对一错，唉根据甲、丁的说法都准确，推出获奖的歌手是乙即可. 【详解】
由题意，乙与丙的说法是相互矛盾的，所以乙与丙的说法中一对一错， 又甲说：“是乙或丙获奖”，是正确； 丁说“是乙获奖”是正确，
由此可知获奖的歌手是一，且乙说的也对. 【点睛】
本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中解答中正确理解题意，合理利用合情推理进行，逐一判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
18．【分析】由已知中的三个式子我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势可以归纳出其通项为分析等式右边的式子发现每一个式了均为两项差的形式且被减数均为1减数为由此即可得到结论【详解】由已知中的等式：…由以上 解析：1
1(1)2n
n -
+
由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为
()21
12
n n n n +⨯+，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为
1，减数为
()1
12n n +，由此即可得到结论．
【详解】
由已知中的等式：222
233
311=1;122231411+=1;122232323141511++=1;12223234242
⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯
…
由以上等式我们可以推出一个一般结论：
对于
()()*
2314121111222321212n n n n N n n n +∈⨯+⨯+⋯+⨯=-⨯⨯++， ．
故答案为()1
112n n -+．
【点睛】
本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
19．900000【解析】【分析】由回文数特点可知奇数与后相邻偶数的个数一样多再由排列组合知5位的回文数共900个可归纳出11位的回文数总数【详解】由回文数特点可知由于数字要对称所以三位数变四位数只需插入
解析：900000 【解析】 【分析】
由回文数特点可知奇数与后相邻偶数的个数一样多，再由排列组合知5位的回文数共900个，可归纳出11位的回文数总数。

【详解】
由回文数特点可知，由于数字要对称，所以三位数变四位数只需插入中间那个相同数字，所以回文数的个数一样多。

由排列组合，5位回数只需要管3位，由于对称只需排好前3位即可。

第3位共有9种可能，1至2位分2数相同，2个数不同，总共可能情况为
12
10109()900N C A =⨯+=。

由归纳猜想，一位二位是9个，三位四位是90，以此类推五位六位是900，七位八位是9000，九位十位是90000，十一位是900000.所以填900000.
本题主要考查学生的归纳推理能力，归纳推理思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．
20．163【分析】设各行的首项为用叠加法得到通项公式再由各行为公差为3的等差数列即得解【详解】设各行的首项为故叠加法得到：故：136又每一行是以3为公差的等差数列数阵中第10行最后一个数是：故答案为：1
解析：163 【分析】
设各行的首项为{}n a ，用叠加法得到通项公式，再由各行为公差为3的等差数列，即得解. 【详解】
设各行的首项为{}n a ，
故1213211,3,6,...3(1)n n a a a a a a a n -=-=-=-=- 叠加法得到：13(1)
36...3(1)2
n n n a a n --=+++-=
3(1)
12
n n n a -∴=
+ 故：10a =136
又每一行是以3为公差的等差数列
数阵中第10行最后一个数是：13639163+⨯= 故答案为：163 【点睛】
本题考查了数阵以及等差数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）利用分析法证明，两边平方化简可得；
（2）利用基本不等式，结合lg y x =在（0，+∞）上增函数即可证明； 【详解】
证明：（1>
22>，
即>
（2）当,0a b >时，有
02a b +≥>，∴lg 2
a b
+≥
∴1lg lg lg
lg 222a b a b ab ++≥=，∴lg lg lg 22a b a b
++≥（当且仅当=a b 时等号成立）. 【点睛】
本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题目． 22．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】
(1) 因为0a b >>，所以()()()()2342a b a b a b ++=+++++
>2）利用分析法证明不等式
>
【详解】
（1）因为0a b >>，
所以()()()()2342a b a b a b ++=+++++ >
所以3a b ++>
.
（2>
>
又即证明
2
2
>成立，
即证明()()12a b ++++()()12b a >++++
即证明()()()()1212a b b a ++>++成立， 即证明2222ab a b ab a b +++>+++成立， 即证明a b >成立. 故不等式成立得证. 【点睛】
本题主要考查综合法和分析法证明不等式，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 23．（1）见解析； （2）见解析. 【分析】
（1）通过分析法，将所证不等式变为证明：2
0>成立，通过已知条件得到此式成立，从而证得结论；（2）按照数学归纳法的步骤，先验证1n =时成立，再假设
n k =时成立，利用假设证得1n k =+时成立，从而证得结果． 【详解】
（1）要证
()()1212x x 1f x f x f 22+⎛⎫
⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
，
12x x f 2+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，()1f x =()2f x =，
<
12
x x 2
+<
，
即证12x x +>12x x 0+->，
即为2
0>，
由于1x ，[
)2x 0,∞∈+，且12x x ≠，上式显然成立， 以上均可逆，故
()()1212x x 1f x f x f 22+⎛⎫⎡⎤+< ⎪⎣⎦⎝⎭
； （2）①当n 1=时，2n 1n 233323235+++=+=，能被7整除； ②假设n k =时，2k 1k 232+++能被7整除，
那么当n k 1=+时，2k 3k 32k 1k 22k 12k 1k 2329322732322++++++++=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅
()
2k 12k 1k 273232+++=⋅+⋅+，
由于2k 1k 232+++能被7整除，2k 173+⋅能被7整除， 可得2k 3k 332+++能被7整除，
即当n k 1=+时，2k 3k 332+++能被7整除； 综上可得当*n N ∈时，2n 1n 232+++能被7整除 【点睛】
本题考查不等式的证明方法．分析法和归纳法是证明不等式的常用方法．要注意的是在利用数学归纳法证明问题时，n k =时的假设在证明1n k =+成立时，必须得到应用．
24．（1）见解析；（2）2
(,2)21n a n n n N =+≥∈（且）.
【解析】
分析：（Ⅰ）直接根据三角形数表中的数值求解即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）观察共同规律，可得()(),21,221n n a a n --=-，利用累加法可得结果.
详解：（Ⅰ）观察以上三角形数表可得：()4,2a - ()3,2a =7，()5,2a - ()4,2a =9，()6,2a -
()5,2a =11.
（Ⅱ）依题意()()(),21,2212n n a a n n --=-≥，()1,23a =,
当2n ≥时，()()()()()()()(
)()()()
,21,22,21,23,22,2,21,2...n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ，
()()
()23213357 (213122)
n n n n +-=+++++-=+
-=+，
当1n =时，()1,23a =符合上式
所求()2
,221n a n n n N （
且）=+≥∈.
点睛：本题主要考查归纳推理以及“累加法”的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 25．见解析． 【解析】
试题分析：利用反证法证明命题. 试题
证明：假设ABC ∆的三个内角中最大的角小于60°，即60,60,60A B C <︒<︒<︒， 则606060180A B C ++<︒+︒+︒=︒，这与三角形内角和为180°矛盾， 所以假设错误，原命题成立．
26．（1）),1[+∞；（2）12ln 1<≤-b ；（3）证明见解析. 【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）借助题设条件运用导数的知识求解；（3）借助题设运用（1）的条件和结论求解. 试题 （1）
()
f x 在
[)1,+∞上单调递减
∴()0
f x '≤在
[)1,+∞上恒成立
∴()()()()2111
220x ax f x ax a x x +-'=
-+-=-
≤在
[)1,+∞上恒成立 ∴
1
a x ≥
在[)1,+∞上恒成立
max
11x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，∴1a ≥ （2）当1a =时，()2
ln f x x x x =-+，
()f x 与()g x 有两个交点
∴ 2ln x x x -+=22x x b -+在1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个根
∴ 2ln 23b x x x =-+ ∴令()2ln 23x x x x T =-+ ∴()()()4111
43x x x x x x
+-'T =
-+=- ∴()0x 'T >时，112x <<，∴()x T 在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
∴()0x 'T <时，12x <<，∴()x T 在()1,2上单调递减 ∴1x =处有极大值也是最大值，()11f =
11ln 202f ⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
，()2ln 220f =-< ∴1ln 21b -≤<
（3）由（1）知当1a =时，()f x 在[)1,+∞上单调递减
∴()()10f x f '≤=当且仅当x=1时，等号成立
即2ln x x x <-在()1,+∞上恒成立 令1
1n x n
+=
>，（n *∈N ） ∴211ln
n n n n ++<，∴()21
ln 1ln n n n n
++-< 1n =时，22
ln 2ln11
-<
2n =时，23ln 3ln 22-< 3n =时，2
4ln 4ln 33-<
…………
n n =时，()2
1
ln 1ln n n n n ++-<
累加可得()22222
23451ln 11234n n n
++<
++++⋅⋅⋅+（n *
∀∈N ） 考点：导数与函数单调性极值等方面的有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问是在函数单调的前提下求参数a 的取值范围,求解先求导再转化为不等式恒成立求解得到1≥a .第二问的求解时先将问题进行等价转化,再构造()2
ln 23x x x x T =-+,对构造函数()2
ln 23x x x x T =-+运用导数的知识求解得到
1ln 21b -≤<.第三问的证明问题是运用第一问的结论当1=a 函数()f x 在[)1,+∞上单调
递增减进行变形分析和推证,从而使得问题简捷巧妙获证.。