精品解析：江苏省南通市启东中学2018-2019学年高一上学期期初数学试题(解析版)

启东中学2018级高一年级期初考试
数学试题
一､填空题
1.因式分解:33a b -=_____________. 【答案】()(
)2
2
a b a ab b
-++
【解析】 【分析】
先利用配方法，再提公因式，即可得出.
【详解】解：33322322a b a a b ab b a b ab -=-+-+-Q
()()()22a a b b a b ab a b =-+-+-
()()22a b a b ab =-++
故答案为：()(
)2
2
a b a ab b
-++.
【点睛】本题考查因式分解的过程.
2.若1x y +-与3x y -+互为相反数，则()2018
x y +=______________.
【答案】1 【解析】 【分析】
根据绝对值的性质转化为方程组进行求解即可． 【详解】解：若|1|x y +-与|3|x y -+互为相反数， 则|1||3|x y x y +-=--+， 即10x y +-=且30x y -+=， 得1x =-，2y =，
则201820182018()(12)11x y +=-+==. 故答案为：1.
【点睛】本题主要考查指数幂的求解，利用绝对值的性质转化为方程组是解决本题的关键．
3.
=_____________
.
【答案】
3【解析】【分析】
根据根式的化简和分母有理化即可得出答案
.
【详解】解：
化简得：
)
22
-+
整理得：2
33
=
+
.
【点睛】本题考查二次根式的乘除法和利用分母有理化化简根式.
4.因式分解:2
253
x x
--=________________.
【答案】()()
213
x x
+-
【解析】
【分析】
直接运用十字相乘法进行因式分解即可.
【详解】解：利用十字相乘法得：2
253
x x
--=()()
213
x x
+-.
故答案为：()()
213
x x
+-.
【点睛】本题考查运用十字相乘法进行因式分解.
5.若
1
x和
2
x分别是一元二次方程2
2530
x x
+-=的两根，则
12
11
+
x x的是
_____________. 【答案】
5
3
【解析】
【分析】
由韦达定理得1252
x x +=-
，1x 232x =-，12121211x x x x x x ++=进而求解．
【详解】解：由韦达定理：1252
x x +=-，1x 23
2x =-，
121212
51152332
x x x x x x -
++===-.
故答案为：5
3
.
【点睛】本题考查韦达定理，两根只差与两根之和、两根之积的关系． 6.若01a <<，则不等式()10x a x a ⎛⎫
--
< ⎪⎝⎭
的解是_____________. 【答案】1,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出． 【详解】解：01a <<Q ，
∴1a a
<
， ∴不等式1
(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a <<．
故答案为：1,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】本题考查熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系是解题的关键．
7.解方程组3,
38xy x xy y +=⎧⎨
+=⎩
的解为_____________. 【答案】12x y =⎧⎨=⎩
或1
4x y =-⎧⎨=-⎩
【解析】 【分析】
根据题意，①⨯3-②求得31y x =-，代入3xy x +=，求出1x =或1x =-， 即可求出y .
【详解】解：由题可知方程组338xy x xy y +=⎧⎨+=⎩
①
②，
则①⨯3-②得：31x y -=， 即：31y x =-③，
由③代入①得：()313x x x -+=，整理得：233x =， 解得：1x =或1x =-， 则当1x =时，2y =，
所以方程组的解为：1
2x y =⎧⎨=⎩
则当1x =-时，4y =-， 所以方程组的解为：1
2
x y =⎧⎨
=⎩.
故答案为：12x y =⎧⎨=⎩
或1
4x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查利用代入法解方程组.
8.已知集合{}0,1,2A =，则集合A 的真子集共有 个． 【答案】7 【解析】
试题分析：集合含有3个元素，则子集个数为328=，真子集有7个 考点：集合的子集
9.已知集合{}{}|21,,|05A x x k k Z B x x ==+∈=<<，则A B =I ________.
【答案】{}1,3 【解析】 【分析】
根据集合A 中元素的特征求出A B ⋂即可．
【详解】因为集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}为奇数集，B ＝{x |0<x <5}， 所以A ∩B ＝{1,3}． 故答案为{1,3}．
【点睛】本题考查集合中元素的特征和集合交集运算，考查分析问题的能力，属于基础题． 10.根据函数的图象，若1211x x -<<<，则()1f x 与()2f x 的大小关系是_____________.
【答案】()()12f x f x < 【解析】 【分析】
由图象可知函数在(),1-∞上的单调性，利用函数的单调性的定义，即可比较()1f x 与()2f x 大小. 【详解】解：由图象可知，()f x 在(),1-∞上单调递增，且1211x x -<<<， 结合单调性的定义得：()()12f x f x <. 故答案为：()()12f x f x <
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小.
11.函数()y f x =与直线x a =的交点个数可能是_____________个. 【答案】0或1 【解析】 【分析】
求图象的交点，即求联立函数方程的解的个数．根据函数的定义来判断解的个数．
【详解】解：联立()
x a
y f x =⎧⎨=⎩，当x a =有定义时，
把x a =代入函数()y f x =，
根据函数的定义：定义域内每一个x 对应惟一的y ， 当x a =在定义域范围内时，有唯一解，
当x a =无定义时，没有解．所以至多有一个交点． 故答案为：0或1.
【点睛】本题考查对函数的定义的理解，得出结论：函数()y f x =的图象与直线x a =至多有一个交点．
12.函数y =
的定义域______. 【答案】112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭
且
【解析】 【分析】
利用偶次根式的被开方非负且分母不为0列式可解得答案.
【详解】由y =
有意义, 可得2
102320
x x x -≥⎧⎨
--≠⎩ ,解得1
2x ≠-且1x ≤.
所以函数2
232y x x =
--的定义域是112x x x ⎧⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭
且. 故答案为: 112x x x ⎧⎫
≤≠-⎨⎬⎩
⎭
且.
【点睛】本题考查了求具体函数的定义域,分母不为0容易漏掉,属于基础题. 13.已知()()3
2f x f x x
+-=，则()f x =_____________. 【答案】
3x
【解析】 【分析】
由题意，3
2()()f x f x x
+-=
为①式，以x -代替x ，得②式；由①②组成方程组，求出()f x 即可． 【详解】解：()()3
2f x f x x
+-=
Q ，①； 令x x =-，得3
2()()f x f x x
-+=-，②；
再由①2⨯-②，得： 93()f x x =
， 3()f x x
∴=
．
故答案为：
3x
. 【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求解方法--方程组法，熟练掌握方程组法求解析式的适用范围和步骤是解答的关键．
14.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，若()()2f a f ≤，则实数a 的取值范围是_______________
【答案】][()
,22,-∞-⋃+∞ 【解析】
由()f x 是偶函数，得22f f =-（
）（），若2f a f ≤（）（） ，有2f a f ≤-（）（）.()f x 在(],0-∞ 上是增函数，则()f x 在(]0,+∞上是减函数， 综上可得当(],0a ∈-∞时，由22f a f a （）（）≤-⇒<-；当(]
0,a ∈+∞时，由22f a f a ≤⇒>（
）（），所以a 的取值范围是][()
,22,-∞-⋃+∞ 二､解答题
15.若11a a --=，求下列各式的值:
（1）22a a -+；（2）33a a --；（3）1a a -+；（4）3a -
【答案】（1）3（2）4（3）4【解析】 【分析】
利用有理数性质及运算法则直接求解． 【详解】解：（1）11a a --=Q ，
1222()21a a a a --∴-=+-=， 223a a -∴+=．
（2）33122()(1)1(31)4a a a a a a ----=-++=⨯+=． （3）1222()2325a a a a --+=++=+=，
1a a -∴+=．
（4）33122()(1)(32)a a a a a a ---+=++-=-=，
即33a a -+=2）得：334a a --=，
34
2
a -∴=
【点睛】本题考查指数式化简求值，考查根式与指数式互化公式、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 16.解下列不等式:
（1）2210x x -++<；（2）2353x x +≤；（3）
1
032
x x +>+
【答案】（1）{
1x x 或12x ⎫
<-⎬⎭（2）∅（3）2
3
x x ⎧-⎨⎩
或}1x <- 【解析】 【
分析】
根据题意，（1）利用一元二次不等式解法即可求出解集；（2）根据一元二次方程根的判别式和二次函数图象即可判断求解不等式；（3）将分式不等式转化为解一元二次不等式，且分母不为0，即可求解集. 【详解】解：（1）由2210x x -++<得：()()2110x x +->， 解得：2
1
x <-
或1x >， 所以不等式的解集为：{
1x x >或12x ⎫<-⎬⎭
. （2）由2353x x +≤，得23503x x -+≤，
令23503x x -+=，可知9435510∆=-⨯⨯=-<， 则2
533y x x =+-对应抛物线开口向上， 所以23503x x -+≤的解集为：∅.
（3）1
032x x +>+等价于()()1320320x x x ⎧++>⎨+≠⎩
，
解得：1x <-或23
x >-
， 所以不等式解集为：{
2
3
x x >-
或}1x <- 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和分式不等式的解法，考查计算能力和转化思想. 17.已知集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+
（1）若A B B ⋃=,求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅I ,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)[-5，0]; (2)(][),83,-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】
（1）由A B B ⋃=，结合集合的运算与集合的关系可得A B ⊆， 列不等式组0
83
a a ≤⎧⎨
+≥⎩运算可得解.
（2）由A B =∅I ,结合集合交集的运算可得：80a +≤或3a ≥，运算即可得解. 【详解】解：（1）由集合{}|03A x x =<<，{}|8B x a x a =<<+， 因为A B B ⋃=,所以A B ⊆, 则0
83a a ≤⎧⎨
+≥⎩
，解得50a -≤≤，
即实数a 的取值范围为[]5,0-； （2）因为 A B =∅I , 又B ≠∅,
可得80a +≤或3a ≥，即 8a ≤-或3a ≥， 故实数a 的取值范围(][),83,-∞-⋃+∞.
【点睛】本题考查了集合的运算与集合的关系、重点考查了集合交集的运算，主要考查了运算能力，属基础题. 18.解下列各题:
（1）已知函数()f x 的定义域是[]1,2，求函数()1f x +的定义域.
（2）已知函数
()1f x +的定义域是[]1,2，求函数()f x 的定义域.
【答案】（1）[]0,1（2）[]2,3 【解析】 分析】
（1）结合抽象函数的性质，利用原函数的定义域求解函数(1)f x +的定义域即可；
（2）根据复合函数定义域之间的关系进行转化求解即可． 【
详解】解：（1）由题意可得，对于函数(1)f x +， 应有：1[1x +∈，2]， 据此可得：[0x ∈，1]，
即函数(1)y f x =+的定义域是[0，1]，
（2）)1(f x +Q 的定义域是[1，2]，
12x ∴剟，得213x +剟，
即()f x 的定义域为[2，3]，
【点睛】本题考查了函数定义域的求解，抽象函数的定义域等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键． 19.已知函数()3
2f x x
=-
试判断()f x 在()0,∞+内的单调性，并用定义证明. 【答案】单调增函数；证明见解析 【解析】 【分析】
容易看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据增函数的定义，设任意的120x x >>，然后作差，通分，从而得出1212123()()()x x f x f x x x --=
，根据120x x >>说明
1212
3()
0x x x x ->即可得出()f x 在(0,)+∞上单调递增． 【详解】解：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 证明：设120x x >>， 则：12122112
3()33()()x x f x f x x x x x --=
-=， 120x x >>Q ，
120x x ∴>，120x x ->， ∴
1212
3()
0x x x x ->， 12()()f x f x ∴>，
()f x ∴在(0,)+∞上单调递增．
【点睛】本题考查反比例函数的单调性，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法
和过程．
20.已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意的,x y R ∈，都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=⋅，且()00f ≠.
（1）求证:()01f =（2）判断函数()f x 的奇偶性
【答案】（1）证明见解析（2）()f x 为偶函数
【解析】
【分析】
（1）令0x y ==，代入已知式，即可得证；
（2）函数()f x 为偶函数，令0x =，结合(0)1f =即可得证．
【详解】（1）令()()()200020x y f f f
==⇒+=， ∴()()22020f f =，
又()00f ≠，∴()01f =.
（2）令0x =，
则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，
∴()()-=f y f y ，即()()f x f x -=，
又()f x 的定义域为R ，
∴()f x 为偶函数.
【点睛】本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用．。