浙教版九年级上册数学课件%3A第1章 二次函数 复习课 (共31张PPT)

类型之五 二次函数的实际应用 例5 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件 40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的 售价每涨1元(售价每件不能高于45元)，那么每星期少卖 10件．设每件涨价x元(x为非负整数)，每星期销售量为y 件．(1)求y与x的函数表达式及自变量x的取值范围；(2)如 何定价才能使每星期的利润最大且每星期销量较大？每星 期的最大利润是多少？ 【解析】 利用总利润＝件数×每件利润，建立二次 函数关系式，再利用二次函数性质解决问题．
已知二次函数y＝x2－bx＋1(－1≤b≤1)，当b从－1逐 渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变 动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是
A．先往左上方移动，再往左下方移动 B．先往左下方移动，再往左上方移动 C．先往右上方移动，再往右下方移动 D．先往右下方移动，再往右上方移动
(1)求抛物线的函数表达式； (2)若过点C的直线y＝kx＋b与抛物线相交于点E(4， m)，求△CBE的面积．
图1－1
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2－4，
将C(0，5)代入y＝a(x－3)2－4得a＝1，
抛物线的函数表达式为y＝(x－3)2－4； (2)∵抛物线 y＝(x－3)2－4 过点 E(4，m)，∴m＝1－4＝－3， ∴E(4，－3)， ∵E(4，－3)，C(0，5)， ∴4bk＝＋5b＝－3，
＝－10x－522＋1 562.5(0≤x≤5) ∵a＝－10＜0， ∴当 x＝2.5 时，W 有最大值 1 562.5. ∵0≤x≤5 且 x 为整数， ∴当 x＝2 时，40＋x＝42，y＝150－10x＝130， W＝1 560 元．
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为
常数，a≠0)的图象如图1－4所示，有下列结c＞0，④4a－2b＋c＜0，其中正
确结论的个数是
(
)A
A．1 C．3
图1－4 B．2 D．4
类型之三 二次函数与一元二次方程关系的应用
例 3 如图 1－6 所示，已知抛物线 y＝－12x2＋x＋4 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B.
则4bk＝＋4b＝0，解得bk＝＝4－，1， 所以直线 AB 的表达式为 y＝－x＋4. (2)当点 P(x，x)在直线 AB 上时，x＝－x＋4，解得 x＝2，
当点 Qx2，x2在直线 AB 上时，x2＝－x2＋4，解得 x＝4， 所以若正方形 PEQF 与直线 AB 有公共点，则 2≤x≤4.
∴S 梯形 ABCD＝12(4＋2)×3＝9； (3)x<－1 或 x>3.
类型之四 抛物线的平移、对称 例4 (1)抛物线y＝x2－2x＋5向左平移3个单位，再向下 平移6个单位，所得抛物线的表达式是_y_＝__(x_＋__2_)_2_－__2_(或__y_＝__ __x_2＋___4_x_＋__2_) _． (2)抛物线y＝2x2－4x＋6绕其顶点旋转180°后，所得抛 物线的表达式是__y_＝__－__2_(_x_－__1_)_2＋__4_(_或__y_＝__－__2_x_2_＋__4_x_＋__2_) __．
(3)由题意，x1，x2是方程x2－4x＋1＝0的两根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝1. ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝42－2＝14.
2．二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两 点(点A在点B右侧)，与y轴交于C点，作CD∥x轴交二次函 数图象于D点．
(1)在平面直角坐标系中画出函数大致图象，并求A， B，C的坐标；
求解．
解：∵C2与C1关于y轴对称，∴它们的顶点也关于y轴 对称．又∵抛物线C1的顶点为(2，3)．∴抛物线C2的顶点 为(－2，3)．∴抛物线C2的表达式为y＝(x＋2)2＋3.同理可 求得抛物线C3的顶点为(2，－3)．∴抛物线C3的表达式为 y＝－(x－2)2－3.
【点悟】 此类题很灵活，但若能看出顶点的变化情 况，而形状大小不变，就容易解决了．
解：(1)设二次函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c，将 A，B 及 C 坐标代入得
9a＋3b＋c＝0， c＝－3， 4a－2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝－2，
c＝－3. 则函数表达式为 y＝x2－2x－3； (2)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 可得对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－4)， 则 OB＝3，DP＝4，OD＝1，OA＝3，AD＝OA－OD＝2， 画出草图，如图所示：
解：(1)由题意得 y＝150－10x，∵x40≥＋0，x≤45，且 x 为非负
整数，∴0≤x≤5 且 x 为整数．∴所求的函数表达式为 y＝150 －10x(0≤x≤5 且 x 为整数)
(2)设每星期利润为 W，则 W＝(－10x＋150)(10＋x) ∴W＝－10x2＋50x＋1 500
(2)求梯形ABCD的面积； (3)观察图象，x取何值时，y＞0？ (直接写答案)
解：(1)当 y＝0 时，x2－2x－3＝0， 解得 x1＝3，x2＝－1， ∴A(3，0)，B(－1，0)； 当 x＝0 时，y＝－3，∴C(0，－3)． 故该二次函数的大致图象如图所示． (2)当 y＝－3 时，x2－2x－3＝－3， 解得，x1＝0，x2＝2，∴D(2，－3)． ∵AB＝4，CD＝2，OC＝3，
(1)求A，B两点的坐标，并求直线AB的表达式； (2)设P(x，y)(x＞0)是直线y＝x上的一点，Q是OP的 中点(O是原点)，以PQ为对角线作正方形PEQF.若正方形 PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围．
解：(1)令 y＝0，得－12x2＋x＋4＝0， 即 x2－2x－8＝0， 解得 x1＝－2，x2＝4， 所以 A(4，0)．令 x＝0，得 y＝4，所以 B(0，4)． 设直线 AB 的表达式为 y＝kx＋b，
第1章 二次函数
章末复习课
画一画
研一研
类型之一 用待定系数法求二次函数表达式 用待定系数法求二次函数的表达式，一般有三种形 式：(1)已知二次函数的图象过三点，可设一般式y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)；(2)已知二次函数的顶点坐标(或对称轴，最 大、最小值)，可设抛物线的顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)； (3)已知抛物线与x轴两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)，可设 两根式y＝a(x－x1)·(x－x2)(a≠0)．
(C )
【解析】 ∵y＝x2－bx＋1＝x－b22＋4－4 b2， ∴顶点坐标是b2，4－4 b2.
当 b＝－1 时，顶点坐标是(－12，34)． 当 b＝0 时，顶点坐标是(0，1)．
当 b＝1 时，顶点坐标是(12，34)． ∴由顶点的位置可知先向右上方移，再向右下方移(如 图所示)．
解得：bk＝＝5－2，， ∴直线表达式为 y＝－2x＋5， 过点 B 作 y 轴的垂线，并反向延长交直线 y＝kx＋b 于点 F，
∵B 点坐标为(3，－4)，则 y＝－4，－4＝－2x＋5， 解得 x＝4.5，故 BF＝4.5－3＝1.5， S△BEF＝12×1.5×1＝34， S△CBF＝12×9×1.5＝247， ∴△CBE 的面积为247－34＝6.
【点悟】 解这一类型题目，注意数形结合思想的运用．
1.已知函数y＝x2－4x＋1. (1)求函数的最小值； (2)在如图1－7所示的坐标系中，画出函数的图象； (3)设函数图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)， 求x12＋x22的值．
图1－7
解：(1)∵y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3， ∴当x＝2时，y最小值＝－3. (2)如图，图象是一条开口向上的抛物线．对称轴为x ＝2，顶点为(2，－3)．
例1 已知一个二次函数的图象经过A(3，0)，B(0， －3)，C(－2，5)三点．
(1)求这个函数的表达式； (2)画出这个二次函数的图象(草图)，设它的顶点为P， 求△ABP的面积． 【解析】(1)设出二次函数的一般式，将A，B及C的 坐标代入即可确定出表达式；(2)利用对称轴公式求出二 次函数的对称轴及顶点坐标，作出草图，求出△ABP面积 即可．
【点悟】 平移规律口诀为：图象要平移，先化顶点式； 上加下减，左加右减．
①涉及抛物线的平移时，首先将表达式化为顶点式y ＝a(x＋m)2＋k的形式．
②对于抛物线y＝a(x＋m)2＋k；向上平移|n|个单位时， 得y＝a(x＋m)2＋k＋|n|；向下平移|n|个单位时，得y＝a(x ＋m)2＋k－|n|；向左平移|n|个单位时，得y＝a(x＋m＋|n|)2 ＋k；向右平移|n|个单位时，得y＝a(x＋m－|n|)2＋k.
确的结论是
(
)B
A．②④
B．①④
C．②③
D．①③
【解析】 抛物线的对称轴为直线 x＝－1，即－2ba＝－1， 所以 b＝2a，②不正确． 抛物线的顶点在第二象限，
所以4ac4－a b2>0， 又因为抛物线的开口向下，所以 a<0，所以 4ac－b2<0， 即 b2>4ac，①正确．因为对称轴为直线 x＝－1， 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c>0，③不正确． 因为 a<0，所以 3a<0， 又因为 b＝2a，所以 2a＋3a<b， 即 5a<b，④正确．
【点悟】 此题用顶点式求解较为容易．用一般式也 可以求出，但仍要利用顶点坐标公式．
类型之二 根据抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的不同位
置，确定a，b，c的值
例2 图1－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，
图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出四个结论：
①b2>4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正
【解析】(1)先将抛物线y＝x2－2x＋5化成顶点式y＝ (x－1)2＋4.再根据平移规律进行解答．得抛物线y＝(x＋ 2)2－2.
(2)先将y＝2x2－4x＋6化为顶点式y＝2(x－1)2＋4.旋 转后的抛物线形状大小不变，顶点位置不变，只是开口方 向改变，故所求抛物线为y＝－2(x－1)2＋4.
【点悟】 此题很新颖，撇开了传统的平移模式，但 思维点仍不变，即抓住顶点的位置变化看平移情况，是一 个较好的题目．
3．已知抛物线C1：y＝(x－2)2＋3. (1)若抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，则抛物线C2 的表达式为____y_＝__(x_＋__2_)_2_＋__3__． (2)若抛物线C3与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C3 的表达式为__y_＝__－__(_x_－__2_)2_－__3_____． 【解析】 画出草图，比较抛物线的顶点变化，从而
则 S△ABP＝S 梯形 BPDO＋S△ADP－S△AOB＝12×1×(3＋4)＋12× 2×4－12×3×3＝3.
【点悟】 此题是典型的根据三点坐标求其函数表达 式．关键是：(1)熟悉待定系数法；(2)点在函数图象上时， 点的坐标满足此函数的表达式；(3)会解简单的三元一次 方程组．
如图1－1，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(3，－ 4)，且经过点C(0，5)．