2019届高考物理一轮复习 第五章 机械能学案

第五章机械能[全国卷5年考情分析]
基础考点
常考考点命题概率
常考角度
重力做功与重力势能(Ⅱ)
实验五：探究动能定理
以上2个考点未曾独立命题功和功率
(Ⅱ)
'17Ⅱ卷T14(6分)，'16Ⅱ卷T19(6分)
'16Ⅱ卷T21(6分)，'15Ⅱ卷T17(6分)
'14Ⅱ卷T16(6分)，'13Ⅰ卷T21(6分)
独立命题
概率80%
(1)(变力)做
功和功率问题
(2)动能定理
的应用
(3)机械能守
恒的条件
(4)机械能守
恒定律与平抛
运动、圆周运
动的综合
(5)功能关系
与能量守恒动能和动
能定理
(Ⅱ)
'16Ⅲ卷T20(6分)，'15Ⅰ卷T17(6分)
'14Ⅱ卷T16(6分)
综合命题
概率
100%
功能关系、
机械能守
恒定律及
其应用
(Ⅱ)
'17Ⅰ卷T24(12分)，'17Ⅱ卷T17(6
分)
'17Ⅲ卷T16(6分)，'16Ⅱ卷T16(6分)
'16Ⅱ卷T21(6分)，'16Ⅱ卷T25(20
分)
'16Ⅲ卷T24(12分)，'15Ⅰ卷T17(6
分)
'15Ⅱ卷T21(6分)，'13Ⅱ卷T20(6分)
独立命题
概率75%
综合命题
概率
100%
实验六：验
证机械能
守恒定律
'16Ⅰ卷T22(5分)
综合命题
概率40%
第1节功和功率
(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。

(×)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。

(√)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。

(×)
(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。

(√)
(5)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。

(√)
(6)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。

(√)
1．力对物体做不做功，关键是看力与物体的位移方向间的夹角，只要夹角不等于90° 就做功。

2．斜面对物体的支持力垂直于斜面，但不一定垂直于物体的位移，故斜面对物体的支持力可以做功。

3．瞬时功率P＝Fv cos α，而发动机牵引力的功率P＝Fv，因为机车的牵引力方向与汽车运动方向相同，cos α＝1。

4．汽车匀加速启动过程的末速度一定小于汽车所能达到的最大速度。

5．作用力与反作用力等大反向，而作用力与反作用力做的功并不一定一正一负、大小相等，实际上二者没有必然联系。

突破点(一) 功的正负判断与计算
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。

(2)曲线运动中做功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功。

(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。

此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。

2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。

方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。

[题点全练]
1.(2017·全国卷Ⅱ)如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。

小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑
的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
解析：选A 由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此作用力不做功，A项正确，B项错误；小环刚下滑时，大圆环对小环的作用力背离大圆环的圆心，滑到大圆环圆心以下的位置时，大圆环对小环的作用力指向大圆环的圆心，C、D项错误。

2.如图所示，木板可绕固定水平轴O转动。

木板从水平位置OA
缓慢转到OB位置，木板上的物块始终相对于木板静止。

在这一过程
中，物块的重力势能增加了2 J。

用F N表示物块受到的支持力，用F f
表示物块受到的摩擦力。

在此过程中，以下判断正确的是( )
A．F N和F f对物块都不做功
B．F N对物块做功为2 J，F f对物块不做功
C．F N对物块不做功，F f对物块做功为2 J
D．F N和F f对物块所做功的代数和为0
解析：选B 物块所受的摩擦力F f沿木板斜向上，与物块的运动方向垂直，故摩擦力F f对物块不做功，物块在慢慢移动过程中，重力势能增加了 2 J，重力做功－2 J，支持力F N对物块做功2 J，故B正确。

3．(2018·南平质检)一物块放在水平地面上，受到水平推力F的作用，力F与时间t 的关系如图甲所示，物块的运动速度v与时间t的关系如图乙所示，10 s后的v­t图像没
有画出，重力加速度g 取10 m/s 2
，下列说法正确的是( )
A ．物块滑动时受到的摩擦力大小是6 N
B ．物块的质量为1 kg
C ．物块在0～10 s 内克服摩擦力做功为50 J
D ．物块在10～15 s 内的位移为6.25 m
解析：选D 由题图乙可知，在5～10 s 内物块做匀速运动，故受到的摩擦力与水平推力相同，故摩擦力f ＝F ′＝4 N ，故A 错误；在0～5 s 内物块的加速度为a ＝Δv Δt ＝55 m/s
2
＝1 m/s 2
，根据牛顿第二定律可得F －f ＝ma ，解得m ＝2 kg ，故B 错误；在0～10 s 内物块通过的位移为x ＝1
2(5＋10)×5 m＝37.5 m ，故克服摩擦力做功为W f ＝fx ＝4×37.5 J＝150 J ，
故C 错误；撤去外力后物块产生的加速度为a ′＝－f m
＝－2 m/s 2
，减速到零所需时间为t ′
＝0－5－2 s ＝2.5 s<5 s ，减速到零通过的位移为x ′＝0－v 22a ′＝0－52
2×－2 m ＝6.25 m ，故D 正确。

突破点(二) 变力做功的五种计算方法
(一)利用动能定理求变力做功
利用公式W ＝Fl cos α不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。

[例1] (2018·威海月考)如图所示，一质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中(容器固定)由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点
B 时，它对容器的正压力为F N 。

重力加速度为g ，则质点自A 滑到B 的过
程中，摩擦力对其所做的功为( )
A.1
2R (F N －3mg ) B.1
2
R (2mg －F N ) C.1
2
R (F N －mg ) D.1
2
R (F N －2mg ) [解析] 质点在B 点，由牛顿第二定律，有：F N －mg ＝m v 2R ，质点在B 点的动能为E k B ＝
1
2
mv 2＝12
(F N －mg )R 。

质点自A 滑到B 的过程中，由动能定理得：mgR ＋W f ＝E k B －0，解得：W f ＝
1
2
R (F N －3mg )，故A 正确，B 、C 、D 错误。

[答案] A
(二)利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。

此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。

[例2] [多选](2018·安庆模拟)如图所示，摆球质量为m ，悬线长度为L ，把悬线拉到水平位置后放手。

设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力的大小F 阻不变，则下列说法正确的是( )
A ．重力做功为mgL
B ．悬线的拉力做功为0
C ．空气阻力做功为－mgL
D ．空气阻力做功为－1
2
F 阻πL
[解析] 摆球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B 正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F 阻·1
2πL ，
C 错误，
D 正确。

[答案] ABD
(三)化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解。

此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。

[例3] 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升。

若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1和W 2，滑块经B 、C 两点的动能分别为E k B 和E k C ，图中AB ＝BC ，则( )
A ．W 1＞W 2
B ．W 1＜W 2
C ．W 1＝W 2
D ．无法确定W 1和W 2的大小关系
[解析] 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F 对轻绳做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为轻绳拉滑块过程中力F 的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 正确。

[答案] A
(四)利用平均力求变力做功
若物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F —
＝
F 1＋F 2
2
的恒力作用，F 1、F 2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W ＝F —
l cos α
求此变力所做的功。

[例4] [多选]如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不
粘连的小方块依次排列，总长度为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。

小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
A ．12Mv 2
B ．Mv 2
C ．1
2
μMgl D ．μMgl
[解析] 总质量为M 的小方块在进入粗糙水平面的过程中滑动摩擦力由0均匀增大，当全部进入时摩擦力达最大值μMg ，总位移为l ，平均摩擦力为F f ＝1
2
μMg ，由功的公式可得
W f ＝－F f ·l ＝－12μMgl ，功的大小为12
μMgl ，C 正确，D 错误；用动能定理计算，则为：W f ＝0－12
Mv 2＝－12
Mv 2，其大小为12
Mv 2，A 正确，B 错误。

[答案] AC
(五)利用F ­x 图像求变力做功
在F ­x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。

[例5] (2018·漳州检测)质量为2 kg 的物体做直线运动，沿此直线作用于物体的外力与位移的关系如图所示，若物体的初速度为3 m/s ，则其末速度为( )
A ．5 m/s
B ．23 m/s
C ． 5 m/s
D ．35 m/s
[解析] F ­x 图像与x 轴围成的面积表示外力所做的功，由题图可知：W ＝(2×2＋4×4－3×2) J＝14 J ，根据动能定理得：W ＝12mv 2－12
mv 02
，解得：v ＝23 m/s ，故B 正确。

[答案] B
突破点(三) 功率的分析与计算
1．平均功率的计算 (1)利用P ＝W t。

(2)利用P ＝F v cos α，其中v 为物体运动的平均速度。

2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P ＝Fv cos α，其中v 为t 时刻的瞬时速度。

(2)利用公式P ＝Fv F ，其中v F 为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。

(3)利用公式P ＝F v v ，其中F v 为物体受的外力F 在速度v 方向上的分力。

[题点全练]
1.(2018·东北三省四市一模)如图是滑雪场的一条雪道。

质量为70 kg 的某滑雪运动员由A 点沿圆弧轨道滑下，在B 点以5 3 m/s 的速度
水平飞出，落到了倾斜轨道上的C 点(图中未画出)。

不计空气阻力，θ＝30°，g ＝10 m/s 2
，则下列判断正确的是( )
A ．该滑雪运动员腾空的时间为1 s
B ．B
C 两点间的落差为5 3 m
C ．落到C 点时重力的瞬时功率为3 5007 W
D ．若该滑雪运动员从更高处滑下，落到C 点时速度与竖直方向的夹角变小 解析：选A 运动员平抛的过程中，水平位移为x ＝v 0t 竖直位移为y ＝12gt 2
落地时：tan θ＝y x
联立解得t ＝1 s ，y ＝5 m ，故A 正确，B 错误；
落到C 点时，竖直方向的速度：v y ＝gt ＝10×1 m/s＝10 m/s 所以落到C 点时重力的瞬时功率为：
P＝mg·v y＝70×10×10 W＝7 000 W，故C错误；
根据落到C点时速度方向与水平方向之间的夹角的表达式：tan α＝gt
v0
＝2×
1
2
gt2
v0t
＝2·
y
x
，可知落到C点时速度与竖直方向的夹角与平抛运动的初速度无关，故D错误。

2．(2018·白银模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的
1
4
光滑圆
弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。

小物块
乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。

下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，乙的重力做功的瞬时功率大于甲的重力做功的瞬时功率
解析：选D 两物块下落的高度相同，根据动能定理，有mgR＝
1
2
mv2，解得v＝2gR，可知两物块到达底端时的速度大小相等，但方向不同，A错误；两物块的质量大小关系不确定，故无法判断两物块运动到底端时重力做的功及动能是否相同，B、C错误；在底端时，甲物块重力做功的瞬时功率为零，乙物块重力做功的瞬时功率大于零，故D正确。

3．(2018·潍坊调研)如图所示，滑板静止在水平轨道上，质量m＝2 kg，板长L＝0.6 m，左端A点到轨道上B点距离x＝6 m，滑板与轨道间的动摩擦因数μ＝0.2。

现对滑板施加水平向右的推力F＝10 N，作用一段时间后撤去，滑板右端恰能到达B点，求：
(1)推力F作用的时间；
(2)推力F的最大功率。

解析：(1)在外力F作用下，根据牛顿第二定律可知：
F－μmg＝ma1，
解得：a1＝
F－μmg
m
＝
10－0.2×2×10
2
m/s2＝3 m/s2
经历的时间为t，则v＝a1t＝3t，
通过的位移为：x1＝
1
2
a1t2＝
3
2
t2
撤去外力后的加速度大小为：a′＝
μmg
m
＝μg＝2 m/s2，
减速通过的位移为：x′＝
v2
2a′
＝
9t2
4
x1＋x′＝x－L
联立解得：t＝1.2 s，v＝3.6 m/s。

(2)推力的最大功率P＝Fv＝10×3.6 W＝36 W。

答案：(1)1.2 s (2)36 W
突破点(四) 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P­t图像和v­t图
像
OA 段过程分析
v↑⇒F＝
P
v
↓
⇒a＝
F－F阻
m
↓
a＝
F－F阻
m
不变⇒F不变
⇒
v↑
P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质加速度减小的加速运动匀加速直线运动，维持时间t0＝
v1
a
AB 段
过程分析
F＝F阻⇒a＝0
⇒v m＝
P
F阻
v↑⇒F＝
P额
v
↓
⇒a＝
F－F阻
m
↓运动性质以v m匀速直线运动加速度减小的加速运动
BC段无
F＝F阻⇒a＝0⇒
以v m＝
P额
F阻
匀速运动
2.三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m＝
P
F阻。

(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v＝
P
F
<v m
＝P
F阻。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔE k，此
式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。

[典例] (2018·衡水月考)如图甲所示，在水平路段AB上有一质量为2×103 kg的汽车(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车
通过整个ABC 路段的v ­t 图像如图乙所示(在t ＝15 s 处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW 不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。

求：
(1)汽车在AB 路段上运动时所受阻力f 1的大小。

(2)汽车刚好开过B 点时加速度a 的大小。

(3)BC 路段的长度。

[审题指导]
(1)根据v ­t 图像可知，汽车在AB 路段和t ＝15 s 以后均做匀速运动，阻力与牵引力大小分别相等。

(2)汽车在BC 路段做非匀变速直线运动，对应的位移应根据动能定理求解。

[解析] (1)汽车在AB 路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有：
F 1＝f 1 P ＝F 1v 1
解得：f 1＝P v 1＝20×103
10
N ＝2 000 N 。

(2)t ＝15 s 时汽车处于平衡状态，有：
F 2＝f 2 P ＝F 2v 2
解得：f 2＝P v 2＝20×103
5
N ＝4 000 N
刚好开过B 点时汽车的牵引力仍为F 1，根据牛顿第二定律，有：
f 2－F 1＝ma
解得：a ＝1 m/s 2。

(3)对于汽车在BC 路段运动，由动能定理得：
Pt －f 2s ＝12mv 22－12
mv 12
解得：s ＝68.75 m 。

[答案] (1)2 000 N (2)1 m/s 2
(3)68.75 m [易错提醒]
(1)在机车功率P ＝Fv 中，F 是机车的牵引力而不是机车所受合力或阻力，所以P ＝F f v m
只体现了一种数量关系用于计算，即牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度。

(2)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速运动，匀变速直线运动的公式不再适用，启
动过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)。

(3)以恒定加速度启动只能维持一段时间，之后又要经历非匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的公式只适用于前一段时间，不可生搬硬套。

[集训冲关]
1．(2018·潍坊期末)水平路面上的汽车以恒定功率P做加速运动，所受阻力恒定，经过时间t，汽车的速度刚好达到最大，在t时间内( )
A．汽车做匀加速直线运动
B．汽车加速度越来越大
C．汽车克服阻力做的功等于Pt
D．汽车克服阻力做的功小于Pt
解析：选D 根据P＝Fv知，随着速度增大牵引力减小，根据牛顿第二定律得a＝F－f m
，
加速度减小，故A、B错误；牵引力做功W＝Pt，根据动能定理知，克服阻力做的功小于牵引力做的功，即小于Pt，D正确，C错误。

2.[多选](2018·马鞍山一模)如图所示为某汽车在平直公路上启
动时发动机功率P随时间t变化的图像，P0为发动机的额定功率。

已知
在t2时刻汽车的速度已经达到最大值v m，汽车所受阻力大小与速度大
小成正比。

由此可得( )
A．在t3时刻，汽车速度一定等于v m
B．在t1～t2时间内，汽车一定做匀速运动
C．在t2～t3时间内，汽车一定做匀速运动
D．在发动机功率达到额定功率前，汽车一定做匀加速运动
解析：选AC 已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大值v m，此后汽车做匀速直线运动，速度不变，所以在t3时刻，汽车速度一定等于v m，故A正确。

0～t1时间内汽车的功率均匀增加，汽车所受阻力增大，汽车做变加速直线运动；汽车的功率在t1时刻达到额定功率，根据P＝Fv，速度继续增大，牵引力减小，则加速度减小，则在t1～t2时间内汽车做加速度减小的加速运动，故B、D错误。

在t2～t3时间内，汽车已达到最大速度，且功率保持不变，汽车一定做匀速直线运动，故C正确。

3．[多选](2016·天津高考)我国高铁技术处于世界领先水平。

和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，
不提供动力的车厢叫拖车。

假设动车组各车厢质量均相等，动车的
额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成
正比。

某列车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组( ) A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反
B ．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2
C ．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比
D ．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2
解析：选BD 启动时，乘客的加速度向前，车厢对人的作用力方向向前，与车运动的方向相同，选项A 错误；以后面的车厢为研究对象，F 56－3f ＝3ma ，F 67－2f ＝2ma ，则5、6节与6、7节车厢间的作用力之比为3∶2，选项B 正确；根据v 2
＝2ax ，车厢停下来滑行的距离x 与速度的二次方成正比，选项C 错误；若改为4节动车，则功率变为原来2倍，由P ＝Fv 知，最大速度变为原来2倍，选项D 正确。

易错问题——练缜密思维
功和功率计算中的两类易错题
(一)滑轮两侧细绳平行
1．如图所示，质量为M 、长度为L 的木板放在光滑的水平地面上，在木板的右端放置质量为m 的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与木块、木板连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F 作用在木板上，将木块拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )
A ．2μmgL
B ．12μmgL
C ．μ(M ＋m )gL
D ．μmgL 解析：选D 拉力做功最小时，木块应做匀速运动，对木块m 受力分析，由平衡条件可得F T ＝μmg 。

对木板M 受力分析，由平衡条件可得：F ＝F T ＋μmg ，又因当木块从木板右端拉向左端的过程中，木板向右移动的位移l ＝L 2
，故拉力F 所做的功W ＝Fl ＝μmgL ，或者根据功能关系求解，在木块运动到木板左端的过程，因摩擦产生热量为μmgL ，D 正确。

2．(2018·南安期中)如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在拉力F 作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知
( )
A ．物体加速度大小为2 m/s 2
B ．F 的大小为21 N
C ．4 s 末F 的功率为42 W
D ．4 s 内F 的平均功率为42 W
解析：选C 由题图乙可知，v ­t 图像的斜率表示物体加速度的大小，即a ＝0.5 m/s 2，由2F －mg ＝ma 可得：F ＝10.5 N ，A 、B 均错误；4 s 末F 的作用点的速度大小为v F ＝2v 物＝4 m/s ，故4 s 末F 的功率为P ＝Fv F ＝42 W ，C 正确；4 s 内物体上升的高度h ＝4 m ，力F 的作用点的位移l ＝2h ＝8 m ，拉力F 所做的功W ＝Fl ＝84 J ，故平均功率P ＝W t
＝21 W ，D 错误
[反思领悟] (1)不计摩擦和滑轮质量时，滑轮两侧细绳拉力大小相等。

(2)通过定滑轮连接的两物体，位移大小相等。

(3)通过动滑轮拉动物体时，注意物体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。

(二)滑轮两侧细绳不平行
3.一木块前端有一滑轮，轻绳的一端系在右方固定处，水平穿
过滑轮，另一端用恒力F 拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如
图所示，当用力F 拉绳使木块前进s 时，力F 做的功(不计滑轮摩擦)
是( )
A ．Fs cos θ
B ．Fs (1＋cos θ)
C ．2Fs cos θ
D ．2Fs 解析：选B 法一：如图所示，力F 作用点的位移l ＝2s cos θ2
， 故拉力F 所做的功W ＝Fl cos α＝2Fs cos 2θ
2＝Fs (1＋cos θ)。

法二：可看成两股绳都在对木块做功W ＝Fs ＋Fs cos θ＝Fs (1＋cos θ)，则选项B 正确。

[反思领悟] 对于通过动滑轮拉物体，当拉力F 的方向与物体的位移方向不同时，拉力F 做的功可用如下两种思路求解：
(1)用W ＝Fl cos α求，其中l 为力F 作用点的位移，α为F 与l 之间的夹角。

(2)用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解，如第3题的第二种方法。

(一)普通高中适用作业
[A级——基础小题练熟练快]
1.如图，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直
线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静
摩擦力做功的说法正确的是( )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
解析：选C 把物块A、B看成一个整体，一起沿水平地面做匀速直线运动，所以f A－地＝f地－A＝F，其中f地－A的方向与运动方向相反，故地面对A的滑动摩擦力做负功，因为地面没有位移，所以A对地面的滑动摩擦力不做功；选择A作为研究对象，A做匀速运动，所以f B－A＝f地－A＝F，其中B对A的静摩擦力的方向与运动方向相同，故B对A的静摩擦力做正功。

综上可知，C正确。

★2．(2015·海南高考)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率。

如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( ) A．4倍B．2倍
C． 3 倍D． 2 倍
解析：选D 设f＝kv，当阻力等于牵引力时，速度最大，输出功率变化前，有P＝Fv ＝fv＝kv·v＝kv2，变化后有2P＝F′v′＝kv′·v′＝kv′2，联立解得v′＝2v，D正确。

3．如图所示，质量为m的物体在恒力F的作用下从底端沿斜面
向上一直匀速运动到顶端，斜面高h，倾斜角为θ，现把物体放在顶
端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，重力加速度大小为g。

则在上升过程中恒力F做的功为( )
A．Fh B．mgh
C．2mgh D．无法确定
解析：选C 把物体放在顶端，发现物体在轻微扰动后可匀速下滑，则物体受力平衡，则有f＝mg sin θ，上滑过程中，物体也做匀速直线运动，受力平衡，则有F＝mg sin θ＋f
＝2mg sin θ，则在上升过程中恒力F做的功W＝Fx＝2mg sin θ·h
sin θ
＝2mgh，故C正确。

★4．一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳
水平，然后无初速度释放小球。

如图所示，小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
解析：选C 小球在初位置重力做功的功率为零，在最低点，由于重力的方向与速度方向垂直，则重力做功的功率为零，因为初、末位置重力做功的功率都为零，则小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中重力做功的功率先增大后减小，C正确。

5．[多选]如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。

开始时绳与水平方向的夹角为θ。

当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，BO 间距离也为L。

小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A点运动到O 点的过程中，F对小物块做的功为W F，小物块在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为W f，则以下结果正确的是( )
A．W F＝FL(cos θ＋1) B．W F＝2FL cos θ
C．W f＝μmgL cos 2θ D．W f＝FL－mgL sin 2θ
解析：选BC 小物块从A点运动到O点，拉力F的作用点移动的距离x＝2L cos θ，所以拉力F做的功W F＝Fx＝2FL cos θ，A错误，B正确；由几何关系知斜面的倾角为2θ，所以小物块在BO段受到的摩擦力f＝μmg cos 2θ，则W f＝fL＝μmgL cos 2θ，C正确，D错误。

[B级——中档题目练通抓牢]
★6．如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直
打在倾角为θ的斜面上，则小球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计
空气阻力)( )
A．mgv0tan θB．mgv0
tan θ
C．mgv0
sin θ
D．mgv0cos θ
解析：选B 小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P＝mgv y，而v y tan θ＝v0，所以P＝mgv0
tan θ
，B正确。

★7．[多选](2018·广州联考)汽车以恒定功率P、初速度v0冲上倾角一定的斜坡时，
汽车受到的阻力恒定不变，则汽车上坡过程的v ­t 图像可能是选项图中的( )
解析：选BCD 由瞬时功率P ＝Fv 可知，汽车功率恒定，汽车开始所受牵引力F ＝P v 0，若牵引力与汽车所受阻力相等，则汽车做匀速运动，B 项中v ­t 图像是可能的；若牵引力大于阻力，则汽车做加速运动，则随速度增大，牵引力减小，而汽车所受阻力不变，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小，直至减小到零，C 项中v ­t 图像是可能的，A 项中v ­t 图像是不可能的；若牵引力小于阻力，则汽车做减速运动，牵引力增大，汽车所受阻力不变，由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小，直至减小到零，D 项中v ­t 图像是可能的。

8.(2018·清远市田家炳实验中学一模)用长为l 、不可伸长的细线把质量
为m 的小球悬挂于O 点，将小球拉至悬线偏离竖直方向α角后放手，运动t 时
间后停在最低点。

则在时间t 内( )
A ．小球重力做功为mgl (1－cos α)
B ．空气阻力做功为－mgl cos α
C ．小球所受合力做功为mgl sin α
D ．细线拉力做功的功率为mgl 1－cos αt
解析：选A 小球从开始运动到停止的过程中，下降的高度为：h ＝l (1－cos α)，所以小球的重力做功：W G ＝mgh ＝mgl (1－cos α)，故A 正确；在小球运动的整个过程中，重力和空气阻力对小球做功，根据动能定理得：W G ＋W f ＝0－0，所以空气阻力做功W f ＝－W G ＝－mgl (1－cos α)，故B 错误；小球受到的合外力做功等于小球动能的变化，所以W 合＝0－0＝0，故C 错误；由于细线的拉力始终与运动的方向垂直，所以细线的拉力不做功，细线的拉力的功率为0，故D 错误。

★9．(2018·达州一模)一质量为M ＝2×103
kg 的汽车，其额定功率P 额＝80 kW ，在平直公路上行驶时受到的阻力为f ＝4×103 N 。

如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，经过时间t ＝5 s 汽车发动机输出的功率达到额定功率，假设运动过程中阻力不变，求：
(1)汽车在平直公路上行驶的最大速度v max ；
(2)汽车做匀加速直线运动的加速度a 。

解析：(1)当牵引力与阻力相等时，速度最大。

则有： P 额＝Fv m ＝fv m ，
解得：v m ＝P 额f ＝80 0004 000
m/s ＝20 m/s 。