研究生线性系统理论

2014级研究生《线性系统理论》作业 2015.03
一、 已知系统的状态方程为
01000
00010003123122
10
002x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（1） 求2个不同的反馈阵K ，使得系统的特征值为：43,54j j -±-±； （2） 通过仿真结果说明，取不同反馈阵K 值时，系统的阶跃响应情况。

解：
由于rank[B AB A 2B]=4可知系统完全能控。

方法一：使用直接算法求解反馈阵k ：
首先求取系统的特征多项式α(s)=det(sI-A)=s^4-2*s^3-s^2-6*s-6.
α*(s)=s^4-18*s^3-146^2-578*s-1025.
p=[2;1]
令b=Bp=[0;0;4;2]
P=[A 3b A 2b A 1b b]*[1 0 0 0;α3 1 0 0;α2 α3 1 0;α1 α2 α3 1]=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡2 4- 2 24 6 0 00 4 6 00 0 4
6 P -1=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0.2015 0.1493 0.0224- 0.0672- 0.1343- 0.0672 0.0149 0.0448 0.0896 0.0448- 0.1567 0.0299- 0.0597- 0.0299 0.1045- 0.1866
K=[α0*-α0 α1*-α1 α2*-α2 α3*-α3 ]P -1=[-178.4552 15.0149 -16.9328 25.8657] K 1=pk=⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡25.8657 16.9328- 15.0149 178.4552
- 51.7313 33.8657- 30.0299 356.9104- 方法二：龙伯格能控规范型法：
[B AB A 2B A 3B]=[b 1 b 2 Ab 1 Ab 2 A 2b 1 A 2b 2 A 3b 1 A 3b 2]= [0 0 0 0 1 2 2 10 0 0 1 2 2 10 5 22 1 2 2 10 5 22 18 66
0 2 0 0 1 2 4 14]
基于此，组成预变换阵P -1并且求出P ，有
P -1=[b 1 Ab 1 A 2b 1 A 3b 1]=[0 0 1 2
0 1 2 5
1 2 5 18
0 0 1 4 ]
P=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1P P P P =
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡------5.0005.010025.0015.13122
由此，导出变换矩阵S -1及其逆S ，有
S -1=⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡'1'2'3'4p p p p =⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡-010
0001000015.000
5.0 推出S=⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢
⎢⎣⎢00
12100001000010 从而，可以定出给定系统状态方程的龙伯格能控标准形为：
A ’=S -1AS=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡21
66
10000100
0010 B ’=S -1B=⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡20011000
由此可得状态反馈阵K 为： K=
[]
3*
32*21*10*0
,,,αααααααα
----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000
201475841031 最后，对原系统确定实现指定特征值配置的状态反馈阵K 2。

对此有
K 2=KS -1
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡00005.515201475.68。

二、 已知系统的状态方程为
[]20011010,1100221x x u y x -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
（1） 求能控标准型和能观测标准型；
（2） 求等价状态方程，使所有状态变量的最大值几乎等于输出的最大值；
（3） 若要求所有信号在阶跃响应时的最大值在10±以内，确定阶跃函数允许的最大幅值
a ，并用仿真曲线验证结果的正确性。

解：首先求取系统的特征多项式： det(sI-A)=s 3+4s 2+6s+4 和一组常数： Β2=cb=1 Β1=cAb+α2cb=0 Β0=cA 2b+α2cAb+α1cb=-2 则系统的能控规范型为：
A C =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21
0100010
ααα=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---464100010 B C =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡100 C C =[]210
βββ=[]102-
系统的能观测标准型为：
A 0=A C T =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---410601400 B 0=C C T =⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-102 C 0=B C T =[]100
绘制各变量及输出的阶跃响应如图:
可知max(|y|) = 0.55，max(|x1|) =0.5， max(|x2|)=1.05， max(|x3|)=0.5。

三．已知系统的状态方程为
[]21111112x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
（1） 求状态反馈阵K ，使极点配置在1,2--；
（2） 若状态不能测量，为实现状态反馈，设计全维状态观测器，极点为22j -±； （3） 若状态不能测量，为实现状态反馈，设计降维状态观测器，极点为3-； （4） 计算上面3问所得系统的传递函数，由计算结果可以得到什么结论？ 解：已知观测器的特征多项式为：α(s)=s 2-3s+3
(1).观测器期望特征多项式 ：α*(s)=s 2+3s+2
变换阵P=[Ab b]*⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011α=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡2114*⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 3- 0 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2 5- 1
1 P -1=⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡0.1429 0.7143
0.1429- 0.2857 状态反馈阵k=[α*0-α0,α*1-α1]P -1=[]14
(2).观测器期望特征多项式为α*(s)=s 2+α1*s+α0*=s 2+4s+8 令L=[α1* ;α0*]=[-12;19]
A-LC=⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡18- 20- 13
14
所以全维状态观测器^
x ’=(A-LC)^
x +Ly+Bu=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡18- 20- 13
14 ^
x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡84y+⎥⎦⎤⎢⎣⎡21u
(3).令P[C;R]=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡1011 P -1=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-1011 -
A =PAP -1=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-2111 -
B =[3;2]
由于配置期望的特征值为-3，定出 -3=(-
22A --L -
12A )
-
L =5.
-
22A --L -
12A =-3 -21A --L -
11A =6
(-22A --L -12A )-L +(-21A --L -
11A )=-9
-2B --L -
1B =-13
降维观测器为.
Z =-3Z-9y-13u X 的重构状态为:^
X =Q 1y+Q 2(Z+-
L y)=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡+--y z y z 54 (4)计算可得上述系统的传递函数的分子均为3S-4，可知状态反馈不改变系统的零点配置。

四．已知系统的传递函数阵
2322121()2
2s s s s G s s s s ⎡⎤++⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1） 求一个既约右矩阵分式；
（2） 求一个最小实现，并用MATLAB 验证结果的正确性。

解：(1)由题可知：G(s)=N(s)D -1
(s)=1
23
200*2)2(121-⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++s s s s s s s (2)根据传递函数，由matlab 函数minreal 求出系统的最小实现为：
A=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡0.20090.4782
0.08353
-0.01387-
0.052370.00780.50280.6357- 0.2532-
B=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 2.299 0.1342-0.10042.8220.19220.1315 C=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡0.88590.41550.4092-0.80490.36530.5862 D=[0];
五．已知系统的状态空间模型为
[]2 2.50.51100,0,0 1.51,00100A B C D ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
试求：
（1） 系统的脉冲响应和阶跃响应； （2） 在初值状态为[](0)10
2T
x =的条件下，输入202()0.5
2
t u t t ≤≤⎧=⎨
>⎩时，
状态变量的响应曲线。

解
：
(1)
如
图
所
示
：
（2）如图所示：
六．系统状态方程为
01
0000001000100
029.403x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
10000010y x ⎡
⎤=⎢⎥⎣⎦
（1） 采用Simulink 构造系统的仿真模型，分析系统的稳定性；
（2） 采用状态反馈使系统的调整时间3s ≤，阻尼比5.0=ξ，在Simulink 中验证设计结
果。

解：（1）如图所示：
系统的两个输出全部发散。

(2).由t s ≈
n
ξωξ2
1ln 4--<=3s 当误差为2%。

主导极点为：S 1,S 2=2111ξξ-±-
T
j T =-1.39±j 2.41 取次要极点为：S 3,,S 4=-7±j 2.41 α(S)=S 4-
5
147S 2
α*(S)=S 4+16.78S 3+101.5S 2+260.7S+424.2
P=[A 3b A 2b A 1b b]*⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡101001 000
13
21323
αααααα=⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡300003001029.4-0010
29.4- 求得状态反馈阵：
K=[α0*-α0 α1*-α1 α2*-α2 α3*-α3]P -1=[-14.4490 -8.8673 28.8497 8.5491]
A-BK=⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡25.6473- 57.1490-26.6020 43.346910008.5491-28.8497- 8.867314.44900010 仿真如图所示：
七．PWM 变换器-直流电动机调速系统结构图如下：
其中，直流电动机（它激）的额定参数为：
17,1500/min,90,220N N N N P kW n r I A U V ====,电势常数0.1377min/e C V r =⋅，转
矩常数 1.3147/r C N m A =⋅，允许过载倍数 1.5λ=。

PWM 控制与变换器的放大系数86.8PWM K =，开关周期30.110PWM T s -=⨯。

电枢回路总电阻0.45R =Ω，电枢回路电磁时间常数31 2.110a T s -=⨯。

系统总飞轮惯量2
GD 为：
222.8N m ⋅。

图中，d u 为PWM 装置输出理想空载电压（V ）；d I 为电枢回路直流电流（A ）；n 为电动机转速（/min r ）；L T 为负载转矩（N m ⋅）；c u 为PWM 控制器的控制电压。

采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统，要求系统满足如下性能指标：超调量
8%δ≤，调节时间0.3s t s ≤，当负载转矩阶跃变化时，系统跟踪阶跃输入信号的稳态误差
为零。

（1）设计状态反馈增益矩阵和积分增益常数，并在Simulink 中建立控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析；
（2）设计对状态向量进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能满足要求，在Simulink 中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析，并研究状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统性能的影响；
（3）设系统转速可精确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，并建立利用降维观测器实现状态反馈的控制系统动态仿真模型，对系统的动、静态性能进行仿真分析。

解：如图系统可知，令U d =X 1,T d =X 2,n=X 3,则系统的微分方程为：
L
c
T X X X X X X u X X 7214.09486.05.145476105786800100023.3212.
11.
-=++-=+-= 推出系统的状态方程为：
[]X
y T u X X c c 1004.16000086800
06.2105.1454761058001000.
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=
搭建仿真系统后进行仿真如图：
原系统明显不稳定。

由调节时间t s ≈
n
ξωξ2
1ln 4--<=0.3s 当误差为2%。

超调量%8)
1/(2<==--ζζδe 得：
W n = 22.6058 ζ=0.6266 主导极点为：S 1,S 2=2111ξξ-±-
T
j T = -15.6±j9.1 取次要极点为：S 3,=-78 α(S)=3147.1S+3147000
α*(S)=S 3+109S 2+2760S+25441 令P=[2;1], b=B*p
P=[ A 2b A 1b b]*⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1010012
12ααα=1011 * ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡000.0397-00.0018- 2.7110- 0 0.0017- 1.7415
求得状态反馈阵：
K=[α0*-α0 α1*-α1 α2*-α2 ]P -1=[ 0.0006 0.0006 0.0121]
状态反馈阵为：K 1=p*K=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0.01210.0006 0.00060.02420.00120.0013
仿真结果如下图：
调节时间明显下降。

说明：
1、本作业要求用MATLAB编程完成。

2、请在2015.04.08前将完成的作业发到我的邮箱中（qchunj@），请在邮件主题中
注明是线性系统理论的作业，并请注意接受收到回函，否则请确认邮件是否收到。

3、邮件为一个压缩包，名字为：张三.rar（以自己的名字为文件名）。

该压缩包中应至少包
含一个文本文件，若干个.m及.mld文件（请注明题号，可在MATLAB中直接运行）。

（1）文本文件以自己的名字命名，如：张三.doc，内容为7个题的解题过程、结果和对结果的分析。

（不必抄题，但务必注明题号）
（2）.m文件及.mld文件的命名格式为：T1.m、T2.m、……，M1、M2、……，分别对应相应题的MATLAB解题程序或Simulink模型。

4、强调
（1）严禁抄袭作业，出现雷同，涉及的作业均按零分计；
（2）请严格按照作业格式交作业，否则将影响批阅；
（3）请按时交作业，逾期未交视为未完成作业；
（4）上机测试安排在4月中旬，内容就是上机作业中相关问题，形式以抽签形式决定各位要当场独立回答或上机操作的问题。

5、如有问题可以随时发邮件咨询，我将尽快答复。