正余弦定理知识点总结及高考考试题型

三角函数五——正、余弦定理
一、知识点 （一）正弦定理：
2,sin sin sin a b c
R A B C
===其中R 是三角形外接圆半径. 变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===
a b c
3sin B C
4（（（解可 2、余弦定理可以解决的问题： （1）已知三边，求三个角；（解唯一）
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：
（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）
三、正、余弦定理的应用
射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+
有关三角形内角的几个常用公式 解三角形常见的四种类型
（1）已知两角,A B 与一边a ：由180A B C ++=︒及正弦定理sin sin sin a b c
A B B
==
，可 求出C ∠，再求,b c 。

（2）已知两边,b c 与其夹角A ，由2222cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理， 求出角,B C 。

（3）已知三边a b c 、、，由余弦定理可求出A B C ∠∠∠、、。

（4
讲解 （知∆A ∠,
A ．由a c ==,075C ∠=,所以0
30B ∠=,
1
sin 2B =
由正弦定理得1sin 2
sin 2
a b B A =⋅==,故选A
（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，02cos cos 232=+A A ，7=a ，c=6，则=b （ ） A.10
B.9
C.8
D.5
【解题指南】由02cos cos 232
=+A A ，利用倍角公式求出A cos 的值，然后利用正弦定理或余弦定理求得b 的值.
【解析】选D.因为02cos cos 232=+A A ，所以01cos 2cos 232
2=-+A A ，解得
251cos 2
=A ， 方法一:因为△ABC 为锐角三角形，所以
51
cos =
A ,
562sin =
A . 由正弦定理C c
A a sin sin =
得，C sin 6
5627=
.
6sin =C 所以sin =
B
5.
方法二
5
∴sin 9、（)0C =，求边又1+即12cos 0A -=，
2，
又0°<A<180°，所以A ＝60°.
在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =
得
sin 2sin 2b A B a ===， 又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°，
∴BC 边上的高AD 752sin(4530)=+
在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,且 b.
(1)求角A 的大小.
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.
【解题指南】(1)由正弦定理易求角A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的面积公式求解.
【解析】(1)由
及正弦定理sin sin a b
A B
=
,得
, 因为
(2)b 2+c 2
6、（
3,
则
c =.
4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=,则AC =_______.
【解析】由正弦定理得
sin 45AC AC =⇒=︒
5、（2011北京）在ABC 中，若1
5,,sin 43
b B A π
=∠=
=，则a = .
【答案】
3
2
5 【解析】：由正弦定理得
sin sin a b A B =
又1
5,,sin 43b B A π=∠==
所以5,13sin 34
a a π==1、在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a
b
c ，3
A π
=
,1a b ==，则c =（ ）
A 、1
B 、2 C
1 D 、3
2、在△ABC 中，分别为的对边.如果成等差数列，30°，△ABC 的面 A 、3）
752
13 C D 4
B π
=
，则___________________.
3，＝60°AB 的长度等于13（20132012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =(）
A ．725
B ．7
25-
C ．725±
D ．2425
【答案】A
【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，
所以8sin 10sin cos B B B =，易知
247
sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B B C B B ≠∴===-=
（2013·湖南高考文科·Ｔ5）在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2asinB=3b ，则角A 等于（ ） A.3π B.4π C.6π D.12π
【解题指南】本题先利用正弦定理B b
A a sin sin =
化简条件等式，注意条件“锐角三角形” .
【解析】选A.由2asinB=3b 得2sinAsinB=3sinB,得sinA=23,所以锐角A=3π
. （2013·湖南高考理科·Ｔ3）在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b .
若2sin ,a B A =则角等于
A ．12π（2013 A . 3 5,=在△
B 0=. (1)(2)若a 【解题指南】(1)借助三角形内角和为π，结合三角恒等变换将条件中的等式转化为只含B 的方程，求出B 的三角函数值，进而可求出角B.（2）根据（1）求出的B 与a c 1+=，由余弦定理可得b 2关于a 的函数，注意到a c 1+=可知0a 1<<，进而可求出b 的范围.
【解析】（1
）由已知得cos(A B)cos A cos B A cos B 0-++-=
，即
sin Asin B A cos B 0=.因为sin A 0≠，
所以sin B B 0=,又cosB 0≠,
所以tan B =,
又0B <<π，所以B 3
π=.
（2）由余弦定理，有222b a c 2accos B =+-，因为a c 1+=，1cos B 2
=,所以2211b 3(a )24
=-+，又因为0a 1<<，所以21b 14
≤<，即1b 12
≤<.
1
sin BAM ∠=
∠
（2013·上海高考文科·T5）已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a +ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是 .
【解析】π3
2
212- cos 0- 2222
2
2
=⇒-=+=
⇒=++C ab c b a C c b ab a 【答案】
π3
2
设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，ac c b a c b a =+-++))((
（I ）求B ; （II ）若4
1
3sin sin -=
C A ,求C . 【解题指南】（I ）由条件ac c b a c b a =+-++))((确定求B 应采用余弦定理. （II ）应用三角恒等变换求出C A +及C A -的值，列出方程组确定C 的值. 【解析】（I ）因为ac c b a c b a -=+-++))((.所以ac b c a -=-+222.
222（II 221+=
故-C A
10、（（I c = 所以
A （2012（1（2【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3
B
C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪
+=-⎨
⎪
⎪-=-⎪⎩ 则
1cos 3A =. （2）由（1）得
sin A =
,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理
2222291
cos 2123b c a b c A bc +-+-===
则2213b c +=②, ①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪
⎩或3
2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.
己知sin csin sin sin a A C C b B +=.
（I ）求B ； （Ⅱ）若
75,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I
）由正弦定理得222
a c
b +=
222
2cos b a c ac B =+-cos 2B =
45B =（II sin30=故6a +=
606
45c b ==1、
∆C 的对边分别为 ）
2 A A 、30° B 、30°或150° C 、60° D 、60°或120° 8、已知在△ABC 中,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ）
A 、14-
B 、14
C 、23
- D 、2
3
10、若△ABC 的内角，,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C ==，则cos B =
A B ．
34
C D ．11
16
11、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c ．若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=
A ．-
12 B ．1
2
C ． -1
D ．1
12、已知在△ABC 中，10,a b A ===45°,则B = 。

13、在△ABC 中，3b c ==,B =30°，则A = 。

14、已知,,a b c 分别是△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边，若1,a b ==2A C B +=, 则sin C = 。

设△()
12、在∆ A 3、△ABC 中，2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形
4、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）
A 、等腰三角形
B 、直角三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰或直角三角形
7、在△ABC 中，已知B =30°,b =,150c =，那么这个三角形是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形
C 、等腰三角形
D 、等腰三角形或直角三角形
8、△ABC 中，22
2sin sin sin A B C =+，则△ABC 为（ ） A 、直角三角形 B 、等腰直角三角形C 、等边三角形 D 、等腰三角形
9、已知关于x 的方程22
cos cos 2sin 02
C x x A B -⋅+=的两根之和等于两根之积的一半， 则ABC ∆一定是（ ） A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形
D 、等边三角形
10、△ABC 中，tan sin tan sin A A B B
=，则三角形为 。

（2013
6π=，.(2013.
(1)求B.(2)若b (2)所以(2),取等号,所以+1.所以△ABC +1. 1、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,30A ∠=︒，则△ABC 面积为（ ）
A 、23
B 、43
C 、23或3
D 、43 或2
3 2、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a 则△ABC 的面积为（ ）
A 、14
B 、142
C 、15
D 、152
3、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，=C ∠70°，那么△ABC 的面积为（ ）
A 、641
B 、321
C 、16
1 D 、81 4、在△ABC 中，2a =，A =30°,C =45°，则△ABC 的面积ABC S ∆等于（ ）
A B 、 C 1 D 、11)2
6、已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为1、 (1)若(2)若的大小：
3、C ＝14.
5、 △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .
(1)求B ；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
6、在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin 510A B =
= （I ）求A B +的值；
（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。