利用定积分证明不等式

热点追踪
Җ㊀广东㊀李文东
㊀㊀不等式的证明是高考的重要内容,
证明的方法多㊁难度大,特别是一些数列和型的不等式．这类不等式常见于高中数学竞赛题和高考压轴题中,由于证明难度较大,往往令人望而生畏．其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明,则可达到以简驭繁㊁以形助数的解题效果．
１㊀利用定积分证明数列和型不等式
数列和型不等式的一般模式为
ðn
i ＝１
a i ＜g (
n )(或ðn
i ＝１
a i ＞g (n )),g (
n )可以为常数．不失一般性,设数列a n ＝f (
n )＞０,此类问题可以考虑如下的定积分证明模式．
(１)若f (x )单调递减．因为f (i )＜
ʏ
i
i －
１f (
x )d x ,从而ðn
i ＝１
a i ＝ðn i ＝１
f (
i )＜ðn
i ＝１ʏ
i
i
－１f (
x )d x ＝ʏ
n
０
f (x )d x ．㊀㊀又因为
ʏi i －１f (
x )d x ＜f (i －１),从而ʏn ＋１１
f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi i
－１f (x )
d x ＜
ðn ＋１i ＝２
f (
i －１)＝ðn
i ＝１
a i
．㊀㊀(２)若f (x )
单调递增．因为f (i )＞
ʏi i －
１f (
x )d x ,从而
ðn
i ＝１
a i
＝ðn
i ＝１
f (i )＞ðn
i ＝１ʏi
i
－１f (x )d x ＝ʏn
０
f (x )
d x ．㊀㊀又因为ʏi
i －
１f (
x )d x ＞f (i －１
),从而ʏn ＋１１
f (x )d x ＝ðn ＋１i ＝２ʏi
i
－１f (x )
d x ＞
ðn ＋１i ＝２
f (
i －１)＝ðn
i ＝１
a i ．例１㊀(２０１３年广东卷理１９,
节选)证明:１＋１２２＋１３２＋ ＋１n
２＜７
４(n ɪN ∗)．
分析㊀本题证法大多采用裂项放缩来证明,为了
得到更一般的结论,我们这里采用定积分来证明．
证明㊀因为函数y ＝１
x
α(α＞０且αʂ１)在(０,
＋ɕ)
上单调递减,故ʏ
i
i －１１x αd x ＞１
i
α(i ȡ３),从而当αʂ１时,
ðn
i ＝１１i α
＜１＋１
２α＋ðn
i ＝３
ʏ
i
i －
１１
x αd x ＝１＋１２
α＋
ʏ
n
２１x αd x ＝１＋１２α
－１(α－１)x α－１
n ２
＝
１＋１２α＋１(α－１)２α－１－１
(α－１)n
α－
１．㊀㊀利用这个不等式可以得到一些常见的不等式．
若α＝
１２
,则ðn i ＝１
１
i
＜１－
３
２
＋２n ＝
２n －１＋(２－
３
２
)＜２n －１．
㊀㊀当α＞１时,
ðn
i ＝１
１
i
α
＜１＋１２α＋１(α－１)２
α－
１＝１＋α＋１α－１ １
２α．特别地,若α＝２,则
ðn
i ＝１
１i ２＜１＋２＋１２－１ １２２＝７
４;若α＝３,则ðn
i ＝１
１
i
３
＜１＋
３＋１３－１ １２３＝５
４
;若α＝
３２
,则ðn
i ＝１１ii
＜１＋３
２＋１
３２
－１ １２３２＝１＋５２
４＜３;若α＝１,则
１n
＜ʏ
n
n －１１
x d x ＝l n x n
n －１
＝
l n n －l n (n －１),从而可以得到
１２＋１３＋ ＋１n ＋１
＜ʏ
n ＋１
１
１
x
d x ＝l n (n ＋１
),１n ＋１＋１n ＋２＋ ＋１
２n
＜
ʏ
２n
n
１
x
d x ＝l n２．㊀㊀另一方面,１n －１＞
ʏn
n －１
１
x
d x ＝l n x n n －１
＝
l n n －l n (n －１
),则１＋１２＋１３＋ ＋１n －１
＞
ʏ
n
１１
x d x ＝l n n ．㊀㊀当α＝１时,
借助定积分的几何意义上述不等式４
２
热点追踪
还可以进一步加强．图１是函数y ＝１
x
的部分图象,显
然S 曲边梯形A B C F ＜S 梯形A B C F ,于是ʏ
n ＋１
n
１x d x ＜１２(１n ＋
１
n ＋１
),得l n (１＋１n )＜１２(１n ＋１
n ＋１
),令n ＝１,２, ,n ,
并采用累加法可得
１＋
１２＋１３＋ ＋１n
＞l n (n ＋１)＋n
２(n
＋１
)(n ȡ１)
．图１
例２㊀证明:l n ４
２n ＋１＜ð
n
i ＝１i
４
i ２
－１(n ɪN ∗)．分析㊀由于i ４i ２－１＝１４(１２
i －１＋
１
２i ＋１),l n ４２n ＋１＝１
４
l n (２n ＋１
),故证明l n (２n ＋１)＜ðn
i ＝１
(１２i －１＋
１
２i ＋１)．构造函数f (
x )＝１
２x ＋１,显然f (x )单调递减,考虑到ðn
i ＝１(１２
i －１＋１２i ＋１)的结构,对函数f (x )采用类似图１中的梯形面积放缩．
证明㊀由分析得
ʏ
i
i －１１２x ＋１d x ＜１２(１
２i －１
＋
１
２i ＋１
),故
１
２
l n (２n ＋１)＝
ʏ
n
０１
２x ＋１
d x ＝
ðn
i ＝１
ʏ
i
i －１１２x ＋１d x ＜１２ðn
i ＝１(１２i －１＋
１
２i ＋１
),不等式两边除以
１
２
即为所证．例３㊀证明１３＋１５＋１７＋ ＋１２n ＋１＜１
２
l n (n ＋１)(n ɪN ∗)．
分析㊀若考虑函数y ＝１２x ＋１,则有１
２i ＋１
＜
ʏ
i
i －１１
２x ＋１d x ,则
ðn
i ＝１１
２
i ＋１＜ðn
i ＝１
ʏ
i
i －１１
２x ＋１
d x ＝
ʏ
n
０１
２x ＋１
d x ＝
１２l n (２x ＋１)n
０
＝１
２l n (２n ＋１),达不到所证的精度,必须改变定积分放缩的精度．
证明㊀结合不等式的右边,考虑函数f (x )＝１
x
．
如图２所示,在区间[i ,i ＋１]
上,取区间的中点i ＋
１２,并以１
i ＋
１
２为高作矩形A E F B ,则S 矩形A E F B ＜ʏ
i ＋
１i １x d x ．于是有２２i ＋１＝１
i ＋
１
２
＜
ʏ
i ＋
１i
１
x
d x ,则ðn
i ＝１２
２i ＋１＜ðn
i ＝１
ʏ
i ＋
１i
１
x
d x ＝ʏ
n ＋
１１
１
x
d x ＝l n (n ＋１
),即
ðn i ＝１
１
２i ＋１＜１
２
l
n (n ＋１)．图２
例４㊀设n 是正整数,r 为正有理数．
(１)求函数f (x )＝(１＋x )r ＋１
－(r ＋１)x －１(x ＞－１
)的最小值;(２
)证明:n r ＋１－(n －１
)r ＋１
r ＋１＜n r
＜
(n ＋１)r ＋１－n
r ＋１
r ＋１;(３)设x ɪR ,记[x ]
为不小于x 的最小整数,例如[２]＝２,[π]＝４,[－
３
２
]＝－１．令S ＝３８１＋３８２＋３
８３＋ ＋３
１２５,求[S ]
的值．(参考数据:８０４
３ʈ３４４ ７,８１４
３ʈ３５０ ５,１２５４
３ʈ
６２５ ０,１２６４
３ʈ６３１ ７．
)分析㊀出题者的本意是利用第(１)问中的伯努利不等式来证明后两问,但这里我们利用积分来证明．
证明㊀(１)f m i n (x )＝０(求解过程略)．(２)因为r 为正有理数,函数y ＝x r 在(０,＋ɕ)
上单调递增,故
ʏ
n
n －１
x r d x ＜n
r
,而５
２
热点追踪
ʏ
n
n －１x r
d x ＝x r ＋１r ＋１n n －１＝
n r ＋１－(n －１)r ＋
１r ＋１,故n r ＋１－(n －１)r ＋１
r ＋１＜n r
．
同理可得
n r
＜ʏ
n ＋１
n x r
d x ＝x r ＋１r ＋１n ＋１n ＝
(n ＋１)r ＋１－n r ＋
１r ＋１,
从而n r ＋１－(n －１)r ＋１r ＋１＜n r
＜(n ＋１)r ＋１－n r ＋１
r ＋１
．
(３
)由于i １
３＜ʏ
i ＋１i x １
３d x ＜(i ＋１)１
３,故S ＝ð１２５
i ＝８１
i
１
３
＜ð１２５
i ＝８１ʏi ＋
１i
x １
３
d
x ＝ʏ１２６８１
x １
３
d
x ＝３４
x ４
３１２６８１
＝３４
(１２６４３－８１４３)
,３４(１２５４３－８０４３)＝３４
x ４
３１２５８０
＝
ʏ
１２５８０
x １
３d x ＝
ð１２４
i ＝８０ʏ
i ＋
１i
x １
３
d x ＜
ð１２４
i ＝８０
(
i ＋１)１
３＝S ．３４(１２５４３－８０４３)＜S ＜３
４
(１２６４３－８０４３)．代入数据,可得
３４(１２５４３－８０４３)ʈ２１０．２,３
４
(１２６４３－８１４
３)ʈ２１０．９．由[S ]的定义,得[S ]＝２１１．
２㊀利用积分证明函数不等式
我们知道
ʏx ２x １
f
ᶄ(x )d x ＝f (x ２
)－f (
x １
),因此,对于与f (x ２)－f (x １)有关的问题,可以从定积分的角度去思考．若f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )
上单㊀图３
调递减且f ᶄ(x )为凹函数,如图３所示．设A C 的中点为B ,过点B 作B G ʅx 轴与f (x )交于点G ,过点G 作f (x )的切线与直线AH 和C D 分别
交于点F 和I ．设A (x １,０)
,C (x ２,０
),则f (
x ２)－f (x １)＝ʏ
x ２
x １
f
ᶄ(x )d x ＝S 曲边梯形A C J H ,S 矩形A C D E ＝f ᶄ(x ２＋x １
２
)(x ２－x １)．因为S 曲边三角形E G H ＞S әE F G ＝S әD I G ＞S 曲边三角形J D G ,
S 曲边梯形A C J H －S 矩形A C D E ＝S 曲边三角形E G H －S 曲边三角形J D G ＞０,于是有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(x ２＋x １
２
)．
借助上述几何意义,一般地我们有如下结论．(１)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )上为凹函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,
有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＞f ᶄ(
x ２＋x １
２
);(２)若函数f (x )的导数f ᶄ(x )在区间(a ,b )
上为凸函数,则对于任意的a ＜x １＜x ２＜b ,
有f (x ２)－f (x １)x ２－x １＜f ᶄ(x ２＋x
１
２
)．
例５㊀(１)函数f (x )＝l n x ,因为f ᶄ(x )＝
１
x
在(０,＋ɕ)
上为凹函数,则对任意０＜x １＜x ２,有l n x ２－l n x １x ２－x １＞１
x ２＋x １２
,即x ２－x １l n x ２－l n x １＜
x １＋x ２２
,此为对数均值不等式．
(２)函数f (x )＝x l n x ,因为f ᶄ(x )＝１＋l n x 在(０,＋ɕ)
上为凸函数,则对任意０＜x １＜x ２,有x ２l n x ２－x １l n x １x ２－x １＜１＋l n x ２＋x １
２
．
许多考题都是以此为背景命题,比如,
如下高三
模拟考试的压轴题．
例６㊀已知函数f (x )＝l n x －a x ２
２
＋(a －１)x －
３
２a
(a ＞０),在函数f (x )的图象上是否存在不同两点A (x １,y １),B (x ２,y ２),线段A B 中点的横坐标为x ０,直线A B 的斜率为k ,使得k ＞f ᶄ(x ０)．
简证㊀由于f ᶄ(x )＝１
x
－a x ＋a －１(a ＞０)在(０,
＋ɕ)
上为凹函数,可见结论成立!例７㊀设函数f (x )＝x
e
x ,若x １ʂx ２,且f (x １)＝
f (
x ２),证明:x １＋x ２＞２．分析㊀本题的本质是极值点偏移问题,常见证法是利用对称性构造函数,这里采用定积分来证明．
证明㊀不妨设x １＜x ２,由f ᶄ(x )＝１－x e
x ,
可知f (
x )在(－ɕ,１]上单调递增,在[１,＋ɕ)上单调递减,且f (０)＝０．当x ＞０时,f (
x )＞０,可知０＜x １＜１＜x ２．设x １e x １＝x ２
e x ２＝t ,则x １＋x ２＝t (e x １＋e x ２
),x ２－
x １＝t (e x ２－e x １
),考虑函数y ＝e x ,则根据定积分的梯形面积放缩有
e x ２
－e x １
＝ʏ
x ２
x １e x
d x ＜
(e x １＋e x
２)
(x ２－x １)２
,则x ２－x １t ＜１２ x ２＋x １
t
(x ２－x １)
,故x １＋x ２＞２．(作者单位:广东省中山市中山纪念中学)
６
２。