中职数学教学设计-向量的内积

活动
物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功.如图所示,在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s.设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F 对小车做的功呢？提出问题
引发思考
力 F 在位移s的方向上的分力F1的大小为|F|= |F1|·cosθ.由于小车在分力F2方向上的位移等于0，故分力F2对小车做的功等于0，从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功，即
力F 和位移s是两个向量，它们按照上式确定了一个数量W. 为向量F 与向量s的“内积”或“数量积”.
如图所示，对于非零向量a和b，作=
OA a，=
AB b，称射线OA、OB所成的最小正角为向量a与b的夹角，记作<a,b>. 讲解说明展示讲解
两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a和b的内积(或数量积)，记作a ·b，即
由内积的定义可知：
零向量与任一向量的内积为0，即0·a=0.
温馨提示
探究与发现
是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？展示图形引发思考
例1 已知|a|=5，|b|=6，<a,b>=60°，求a·b.
解a·b=|a||b|cos<a·b>=5×6×cos60°=15.
例2 已知|a|=|b|=2，a·b=-2，求cos<a,b>的值.
解cos<a,b>=
·21
=
||||222
-
=-
⨯
a b
a b
.
可以验证，向量的内积满足下面的运算规律：
例3 设|a|=4，|b|=10，<a,b>=60°，问m为何值时，向量m a+b与向量2b垂直？
解由已知可得，a·b=|a||b|cos<a·b>=4×10×cos60°=20.因此，有
(m a+b) ·2b=m a·2b+b·2b=2m a·b+2b·b=40m+200.
要使m a+b与向量2b垂直，必须满足(m a+b) ·2b=0，即40m+200=0．于是m=-5．
因此，当m为-5时，向量m a+b与2b互相垂直.提问引导
讲解强调
练习2.3
2.己知向量m 与n 的夹角为 45°, |m |=4，|n |=6，求m ·n .
3.已知|a |=21-，|b |=2+1，向量a 与b 的夹角为3
π，求a ·b .
4.己知|a |=|b |=2，<a ,b >=30°，求(1)b ·(a +b )；(2)(a +2b )·3a .
5.已知|a |=3，|b |=2，a ·b=-3，求cos <a ,b >的值.
6.已知|a |=4，a ·b=2，问m 为何值时，向量m a +b 与2b 互相垂直？
7.如图所示，某中等职业学校物流服务与管理专业学生进行“装卸搬运作业”，用工形叉车把重 400 N 的货物从仓库出库区搬运至 20m 外的装载点.若拉力 F 的大小为 150 N ，方向与水平线成 45°，求拉力F 所做的功.
巡视指导引导提问说明。