2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案(PDF版)

2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若一次函数2y x =+与反比例函数4
y x
=
的图像交于11()A x y ，
，22()B x y ，两点，则1212x x y y +的值为（
）
A ．8
B ．6
C ．6
-D ．8
-【答案】
D
【解答】由24y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩
，得2
240x x +-=……………①。

依题意，1x ，2x 是方程①的两根，于是122x x +=-，124x x =-。

∴
12121212121244
1616484
x x y y x x x x x x x x +=+
⋅=+=-+=--。

2．如图，ABC △为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，则OED ∠的大小为（
）A ．15︒B ．18︒
C ．20︒
D ．22︒
【答案】
C
【解答】如图，连结OC 。

由40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，得60BAC ∠=︒。

∵D 为BC 中点，
∴
OD BC ⊥，1
602DOC BOC BAC ∠=∠=∠=︒。

∴
30OCD ∠=︒，1
2
OD OC =。

又E 为OA 中点，∴
1
2
OE OA OD ==。

结合40ABC ∠=︒，知
24060140EOD AOC COD ∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒
，
（第2题图）
（第2题答题图）
11
(180)(180140)2022
OED EOD ∠=
︒-∠=︒-︒=︒。

3．已知二次函数2()2f x x ax b =++，若()(1)f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为（
）
A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
【答案】A
【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知
1
24
a b a ++=-。

于是，322a b +=-。

所以，(1)(2)(2)(82)32102108f f a b a b a b +=+++++=++=-+=。

4．如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，120BCD ∠=︒，CD DA ⊥，且6BC =，3CD =，则四边形ABCD 外接圆的面积为（
）
A ．7π
B ．21π
C ．63π
D ．84π
【答案】
B 【解答】如图，设B
C 、A
D 的延长线交于点P 。

∵120BCD ∠=︒，CD DA ⊥，3CD =，∴
30CPD ∠=︒，26CP CD ==。

又AB BC ⊥，6BC =，∴tan 3043AB BP =⋅︒=。

∴22222(43)684AC AB BC =+=+=。

∴
221AC =。

结合AB BC ⊥，CD DA ⊥，知A 、B 、C 、D 四点共圆，AC 为四边形ABCD 外接圆的直径。

∴四边形ABCD 外接圆面积为2(21)21ππ⋅=。

5．2018年12月18日，党中央、国务院授予陈景润同志改革先锋称号，颁授改革先锋奖章，并获评激励青年勇攀科学高峰的典范。

哥德巴赫1742年在给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和（简称“11+”）。

”，并请欧拉帮助证明。

两位数学大师费尽了脑筋，也没能给出证明。

200多年来，“哥德巴赫猜想”吸引了众多数学家的关注，都试图去证明它，但至今还未能彻底解决。

陈景润在福州英华中学读书期间，有幸聆听了来自清华大学的沈元老师对“哥德巴赫猜想”的介绍。

从此，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引着陈景润，开启了陈景润摘取数学皇冠上的明珠的艰辛历程。

经过10多年坚忍不拔的辛勤研究，1966年6月陈景润在《科学通报》上发表了《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“12+”）的研究论文，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，受到国际数学界的高度重视和称赞，并称
（第4题图）
（第4题答题图）
这一结果为“陈氏定理”。

陈景润勇攀科学高峰的精神和对“哥德巴赫猜想”研究的贡献，激励了无数青年学子。

请你完成下列问题：
将2019分解为两个正立方数的和的分解方式有（）（即方程332019x y =+的正整数
解的组数）
A ．0种
B ．1种
C ．2种
D ．3种
【答案】A
【解答】对任意正整数m ，考察3m 关于模9的余数。

由于对任意正整数m ，012345678(mod 9)m ≡，，，，
，，，，。

以及300(mod 9)≡，311(mod 9)≡，328(mod 9)≡，330(mod 9)≡，341(mod 9)≡，
358(mod 9)≡，360(mod 9)≡，371(mod 9)≡，388(mod 9)≡。

因此，对任意正整数m ，有3018(mod 9)m ≡，，。

∴对任意正整数x ，y ，3301278(mod 9)x y +≡，，，，。

即对任意正整数x ，y ，33x y +被9除的余数只有0，1，2，7，8这5种情形。

而20193(mod 9)≡，即2019被9除的余数为3。

故，方程332019x y =+无正整数解，将2019分解为两个正立方数的和的分解方式有0种。

或用尝试的方法求解。

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知二次函数2(1)52y ax a x a =+-+-（0a <）的图像过点(14)A ，，且交x 轴于B 、C 两点，若AB AC ⊥，则线段BC 的长度为。

【答案】
113
【解答】如图，作AD x ⊥轴于点D ，设1(0)B x ，，2(0)C x ，（12x x <）。

∵(14)A ，，AB AC ⊥，
∴由射影定理得，216DB DC DA ⋅==，即
12(1)(1)16x x --=。

∵
B 、
C 为函数2(1)52y ax a x a =+-+-的图像与x 轴的交点，
∴
1x ，2x 是方程2(1)520ax a x a +-+-=的两根，
121a x x a
-+=-
，1252a
x x a -=。

又12(1)(1)16x x --=，12(1)(1)16x x --=-，1212()116x x x x -++=-，
（第6题答题图）
（第6题图）
∴
521
()116a a a a
----
+=-，解得14a =-。

于是，125x x +=-，1222x x =-，22121212()4(5)4(22)113x x x x x x -=+-=--⨯-=。

∴
线段BC 的长为113。

7．已知x ，y 为实数，且211x y x y =-+，则33()()y
x x y
-的值为。

【答案】14
【解答】由
211
x y x y =-+，知2x y x y x y
++=
-，于是2y x x y -=。

所以，332222()()()()()2()32(23)14y
x y x y y x x y x y x x y x y x x y y x y
x y ⎡⎤⎡⎤-=-⋅+⋅+=⋅-+⋅⋅=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

8．若多项式126x x ax b -++（a ，b 为常数）能被多项式21x +整除，则a b +的值为。

【答案】2
-【解答】∵62421(1)(1)x x x x +=+-+能被21x +整除，
∴
126666(1)2(1)2x x ax b x x x ax b -++=+-++++被21x +除的余式是2ax b ++。

∵多项式126x x ax b -++（a ，b 为常数）能被多项式21x +整除，∴
0a =，20b +=，2a b +=-。

9．在ABC △中，6AB AC -=，10BC =，ACB ∠为钝角，且ABC △的面积为203，则
ABC △内切圆半径r 的值为。

【答案】
43
3
【解答】如图，作AH BC ⊥于H ，由ACB ∠为钝角知，点H 在线段BC 的延长线上，设
AC x =，则6AB x =+。

∵10BC =，ABC △的面积为203，
∴11
1020322BC AH AH ⨯⨯=⨯⨯=，43AH =。

∵10BH CH =+，
∴
2222(6)(43)(43)10x x +-=-+。

两边平方，得
222123648482048100x x x x ++-=-+-+，即2316548x x -=-。

两边平方，并化简，得26910x x +-=。

（第9题答题图）
∴7x =。

于是，13AB =,7AC =。

又11
()(13107)2
2ABC S AB BC CA r r =++⨯=++⨯=△。

∴
3
r =。

10．已知0x >，0y >，0z >，且x y xy +=，x y z xyz ++=，则z 的最大值为。

【答案】
4
3
【解答】由x y xy +=，得1
x
y x =-。

结合0x >，0y >，得1x >。

又x y z xyz ++=，
所以，22
22111111131111()12
4x
x x y x x z x xy x x x x x x x +
+-=====--+⋅--+-+
-。

由1x >，知1
01x
<<所以，
112x =，即2x =时，z 取最大值43。

（此时2y =）
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．（1）若114⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
，求正整数m 的值；
（2）求和式：111444⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++++++⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
L 的值。

（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数）
【答案】（1）由114⎡⎤+=⎢⎥
⎣
⎦，知1124≤<。

……………5分
∴37≤<，98149m ≤+<，16m ≤<。

∴
所求正整数m 的值为1，2，3，4，5。

…………………………10分
（2）设14k ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦
，则114k k +≤
<+，4143k k -≤<+。

∴
2216818116249k k m k k -+≤+<++，222231k k m k k -≤<++。

……………15分
∴满足14k ⎡⎤+=⎢⎥⎣
⎦的正整数m 有2
2231(2)41k k k k k ++--=+个。

∴
14⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦，14⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，14⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
这50个数中，有5个数为1，有9个数为2，有13个数为3，有17个数为4，有6个数为5。

∴
111444⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++++++⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦L 519213317465160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

…………………………20分
12．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，A 、B 为切点，M 、N 分别为线段PA 、AB 的中点，直线MN 交圆O 于C 、D 两点（点C 在M 、N 之间），E 为线段PD 与圆O 的交点。

（1）求证：MPC MDP ∠=∠；（2）求证：EN PA ∥。

【证明】
（1）由条件知，MA 为圆O 的切线，且MA MP =。

∴由切割线定理，知22MP MA MC MD ==⋅。

∴
MP MD
MC MP
=。

又PMC DMP ∠=∠，∴MPC MDP △∽△，∴
MPC MDP ∠=∠。

…………………………5分
（2）由PA 、PB 为圆O 的切线，N 为AB 中点，知OA PA ⊥，且P 、N 、O 三点共线。

∴
由射影定理及相交弦定理，知
2NO NP NA NA NB NC ND ⋅==⋅=⋅。

………10分
∴O 、D 、P 、C 四点共圆，ODN CPN ∠=∠。

……………15分
∵PA AO ⊥，AN PO ⊥，∴2PN PO PA PE PD ⋅==⋅。

∴D 、E 、N 、O 四点共圆。

∴ENP EDO MDE MDO MPC CPN APN ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠。

∴
EN PA ∥。

(20)
分
（第12题图）
（第12题答题图）
13．提起我国古代的数学成就，都会想起南北朝时期的祖冲之。

提起祖冲之，大家最熟悉的是他在计算圆周率方面的杰出贡献，他推算出：3.1415926 3.1415927π<<，是世界上第一个把π的值准确计算到小数点后第七位的人。

当今π的重要性已经渗透进了大部分的数学分支之中。

π是数学常数中的“千面女郎”，在众多领域都有广泛的应用，
几乎没有任何一位数学家没有和π打过交道。

历史上第一个“π节”于1988年3月14日在美国的探索博物馆举办，鉴于“π节”的影响力，2009年美国众议院正式通过将每年的3月14日定为“圆周率日”（π节）。

祖冲之还提出用
355
113
作为π的近似分数。

人们早一些时候已经知道π的一个近似分数是227，但误差较大。

祖冲之把227叫“约率”，把355113叫“密率”。

355
113
传到日本，日本人把它
叫做“祖率”。

用355
113
表示π的近似值是一项了不起的贡献，它妙在何处呢？（1）它相当精确。

（2）它是π的一个“最佳近似分数”。

在数学家看来，好的近似分数，既要精确，分母最好又不太大。

这两个要求是矛盾的。

于是，定下一个比赛规则：在分母大小相同的时候，看谁更精确一些。

如果我们花点时间算一算，就可以发现，在分母不超过113的所有分数当中，和π最接近的分数就是355
113。

因此，人们把它叫做π的一个“最佳近似分数”。

事实上，比
355
113
更接近π的分数当中，分母最小的分数是
52163 3.14159238716604
=L ，虽然比355
113略精确一些，但分母却大了上百倍。

请你证明：分母不超过16500的分数不会比
355
113
更接近于π。

参考数据：
355
3.1415929203540113
=L ， 3.1415926535897π=L ，35500.00000026677113
π<
-<，1
37485470.00000026677>。

【证明】设q
p是π的一个近似分数，其中p、q为正整数，p、q互质。

若q
p比
355
113更接近于
π，则
355
113
q
p
ππ
-<-………………………………5分
由3550
113
π
->，得
355355
()
113113
q
p
πππ
--<-<-，
即
355355
02() 113113
q
p
π
<-<-。

所以，
355113
020.00000026677
113
p q
p
-
<<⨯。

…………………………10分
由p、q为正整数，及
355113
113
p q
p
-
<，知355113
p q
-也是正整数。

所以，
135511320.00000026677
113113
p q
p p
-
≤<⨯。

………………………15分
于是，
1374854716586 11320.00000026677226
p>>>
⨯⨯。

这说明，若q
p比
355
113更接近于
π，则其分母p一定要大于16586。

因此，分母不超过16500的分数不会比355
113更接近于
π。

……………………20分
14．在黑板上有2019个数：13，14，1
6
分别有673个。

对黑板上的数进行如下操作：每
一次操作从黑板上任意选取两个数x ，y ，然后擦去这两个数，写上一个新的数2x y xy +-，经过2018次操作后，黑板上剩下了一个数m ，求m 的值。

【解答】设黑板上的数为1x ，2x ，…，n x ，记()()1212(12)12n T x x x =---L 。

………………………………5分
若某次操作擦去了i x ，j x ，换上了新数2i j i j x x x x +-，∵()()12(12)122i j i j i j x x x x x x --=-+-，
∴经过一次操作后，T 值保持不变。

………………………………10分
∴
经过2018次操作后，黑板上剩下的数m 满足
6736736731
1112(12)(12)(12)346
m -=-⨯-⨯-⨯。

……………………………15分
∴
1346
11123m ⎡⎤
⎛⎫
=-⎢⎥ ⎪
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦。

综上所述，黑板上最后剩下的数1346
11123m ⎡⎤
⎛⎫
=-⎢⎥ ⎪
⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

……………………20分。