高一数学对数运算及对数函数试题

高一数学对数运算及对数函数试题
一：选择题
1．若log 7[log 3（log 2x ）]=0，则为（ ）
B
=
=
．2．23(log 9)(log 4)⋅=（ ） （A ）
14 （B ）1
2
（C ） 2 （D ）4 【答案】D
3．的值是（ C ）
=log 4．实数﹣
•+lg4+2lg5的值为（ D ）
﹣+lg4+2lg5= B
．
6．lgx+lgy=2lg（x﹣2y），则的值的集合是（）
•=1
8．设，则a，b，c的大小顺序为（）
解：因为
9．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（A）
B
10．若非零实数a、b、c满足，则的值等于（）
，
11．已知f（x）=，则f（log23）的值是（A）
B
=
12.已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）
B C D
13．若log a <13
，则a 的取值范围是 ( ) A ．a >1 B ．a 20<<3 C ．a 2<<13 D ．a 2
0<<3
或a >1
【答案】D
14．函数2
()ln(43x )f x =＋－x 的单调递减区间是( ) A. 3(,]2-∞ B. 3[,)2+∞ C. 3(1,]2- D. 3[,4)2
【答案】D
15．已知函数()()x x f a
-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()
2
1log x x g a -=的单
调减区间是（ ）
A. (]0,∞-
B. ()0,1-
C. [)+∞,0
D. [)1,0 【答案】B
16．已知函数212
()log ()f x x ax a =--，在1
()2-∞-，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[1)-+∞，
B ．1[1)2-，
C ．1
[1]2
-， D ．(1]-∞-，
【答案】C
17．已知函数x
a x f =)(0(>a 且1≠a ）与函数x x g a log )(=0(>a 且1≠a ）的图象有交点，函数)()()(x g x f x +=ϕ在区间]2,1[上的最大值为2
1
，则)(x ϕ在区间]2,1[上的最小值为（ ） A. 21-
； B. 21； C. 45； D. 4
3-. 【答案】D
18．当102
x <≤时，
4log x a x <，则a 的取值范围是 （ ）
A ．(0)
B ．，1)
C ．(1)
D ．，2) 【答案】B
二：填空题
19．若5a=2，b=log53，则53a﹣2b=．
，
故答案为：．
20．求值：=．
．
故答案为：．
21．设=．
=
t=
故答案为：22．方程的解为
．
时，时，
故答案为：
23．若函数23()log log 2f x a x b x =++,且()52012
f =,则(2012)f 的值为 _ ． 【答案】-1
24．函数y ________．
【答案】31
{|10}44
x x x <≤-≤<或 25．已知函数21
()log ()2
a f x ax x =-+（01a a >≠且）在[1,2]上恒正，则实数a 的取值
范围为 ． 【答案】153
(,)(,)282
+∞ 三：解答题 26．计算．
27．若2()f x x x b =-+，且22(log )log [()]2(1)f a b f a a ==≠，．
（1）求2(log )f x 的最小值及对应的x 值；（2）若不等式2(log )(1)f x f >的解集记为A ，不等式2log [()](1)f x f <的解集记为B ，求A B ．
解：(1) ∵ 2()f x x x b =-+
∴ 2
22
2(log )log log f a a a b b =-+=，∴ 22log 1log 0a a ==或 ∴ a = 2或a = 1（舍）
又 ∵ 2222log [()]log ()log (2)2f a a a b b =-+=+= ∴ 24b += ∴ b = 2
∴ 2()2f x x x =-+，22222217
(log )log log 2(log )24f x x x x =-+=-+
∴ 当21
log 2x x =，即2(log )f x 的最小值为74
(2) 由2222(log )(1)log log 22f x f x x >-+>得 ∴ 22log (log 1)0x x ->∴ 22log 0log 1x x <>或 ∴ 012x x <<>或，即{|012}A x x x =<<>或 由222log [()](1)log (2)2f x f x x <-+<得 ∴ 202412x x x <-+<-<<解得 ∴ {|12}B x x =-<< ∴ {|01}A
B x x =<<
28．设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅,1
44
x ≤≤, 若x t 2log =,求t 取值范围;
（2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值。

解：（1）44
1
,log 2≤≤=x x t 4log 4
1
log 22
≤≤∴t 即22≤≤-t
（2）()2log 3log 22
2++=x x x f
x t 2log =∴令，则，4123232
2-⎪⎭⎫
⎝⎛+=++=t t t y
23
22,23log 23-=-=-=∴x x t 即当时，()4
1
min -=x f
当()12,42max ===x f x t 时即
29．已知函数f(x)=log a ［(a 1－2)x+1］在区间［1，2］上恒为正，求实数a 的取值范围.
解：∵f(x)=log a ［(a 1－2)x+1］在［1，2］上恒正，
(1)当a ＞1时，真数μ=(a 1－2)x+1＞1,
∴(a 1－2)x ＞0，∴a 1－2＞0即a ＜21 (舍) ．
(2)当0＜a ＜1时，0＜μ＜1
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<+->+-11)21(01)21
(x a
x a
要使①式当x ∈［1，2］恒成立，则
1
01,(2)110210,(2)2103a a a a
⎧<<-⋅+>⎧⎪⎪⎪
⇒⎨⎨<<⎪⎪-⋅+>⎩⎪⎩∴0＜a ＜3
2．
要使②式成立，则(a 1－2)x ＜0，只要a 1－2＜0，∴a 1＜2 ，∴a ＞21．
综上2
1＜a ＜32.
30．已知函数)421(log )(5.0a x f x
x ⋅++=；
（1）若0=a ，求)(x f 的值域；（2）在（1）的条件下，判断)(x f 的单调性； （3）当]1,(-∞∈x 时)(x f 有意义求实a 的范围。

解：（1）若0=a ，)0,()(,121),)(21(log )(5.0-∞∈∴>+∈+=∴x f R x x f x x 的值域； （2）,121),21(log )(5.0>+=+=x
x t x f 令
①
,21,log )(5.0单调递增单调递减x t t x f +== .)21(log )(5.0上单调递减在R x f x +=∴
或用定义法说明。

（3）]1,(-∞∈x 时，)421(log )(5.0a x f x
x ⋅++=有意义，
]1,(-∞∈∴x 时，0421>⋅++a x x
,
2
1
41)()1(,2
141)(,2141单调递增令x x x x x x x u x x u a --=≤--=--
>∴
)
,4
3
(,
43
)1()(max +∞-∈∴-==∴a u x u
31
. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并给出证明； （3）当(,2)x n a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，求实数a 与n 的值 解：（1）由已知条件得
()()0f x
f x -+=对定义域中的x 均成立.
∴22211m x x -=-对定义域中的x 均成立. ∴21m =
∴当121x x >>时，∴ 12t t <.
当1a >时，12log log a a t t <，即12()()f x f x <.
∴ 当1a >时，()f x 在(1,)+∞上是减函数. ∴ 同理当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是增函数. ∴ （3）
函数()f x 的定义域为(1,)(,1)+∞⋃-∞-，
∴①21n a <-≤-，∴01a <<. ∴()f x 在(,2)n a -为增函数，
要使值域为(1,)+∞，
②12n a ≤<-， ∴3a >.
∴()f x 在(,2)n a -为减函数,
要使()f x 的值域为(1,)+∞,
，1n =.
32．已知函数)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的奇函数， 当0>x 时，x x f 2log )(=.
（Ⅰ）求当0<x 时，函数)(x f 的表达式；（Ⅱ）求满足1)1(-<+x f 的x 的取值范围； （Ⅲ）已知对于任意的N k ∈，不等式12
+≥k k 恒成立，求证：函数)(x f 的图象与直线
x y =没有交点．
解：（Ⅰ）当0<x 时，)(log )(2x x f --=.
（Ⅱ）()⎩
⎨⎧<-->=0)(log )
0(log )(22x x x x x f ，
∴[]()[]()
⎩⎨⎧-<+--->+=⎩⎨
⎧<++-->++=+1)1(log )
1()1(log 01)1(log )01()1(log )1(2222x x x x x x x x x f
因为1)1(-<+x f ，∴⎩⎨⎧-<+->1)1(log 12x x 或[]⎩⎨⎧-<+---<1
)1(log 12x x ∴3-<x 或2
11-<<-x . （Ⅲ）根据对称性，只要证明函数)(x f 的图象与直线x y =在()+∞∈,0x 上无交点即可。

令()+∞∈,0x ，函数x y x y ==221log ，
当(]1,0∈x 时，212100y y y y <>≤，则，
当21211121)](22(y y k y k y N k x k k k <+≥>+≤∈∈+，则，时，，则在()+∞∈,0x 上直线x y =始终在x y 2log =的图象之上方.
综上所述，由于对称性可知，函数)(x f 的图象与直线x y =没有交点.。