河南省信阳市光山第二高级中学2020年高三数学理月考试题含解析

河南省信阳市光山第二高级中学2020年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的图象过点，且在上单调，同时
的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当，且时，，则（）
A．B．-1 C. 1 D．
参考答案：
B
详解：由函数的图象过点，
∴，解得，
又，∴，
又的图象向左平移π个单位之后为，
由两函数图象完全重合知；
又，∴，∴ω=2；
∴，
令,得其图象的对称轴为
当，对称轴.
∴，
∴故选B.
2. 以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布
，则概率= （）
A． B．
C． D．
参考答案：
B
3. 设抛物线x2=2py （P＞0），M为直线y=﹣2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B，A，B，M的横坐标分别为X A，X B，X M则（）
A．X A+X B=2X M B．X A?X B=X
C． +=D．以上都不对
参考答案：
A
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设出A，B的坐标，对抛物线的方程进行求导，求得AM和BM的斜率，因此可表示出MA的直线方程和直线MB的方程，联立求得2x M=x A+x B，即可得出结论．
【解答】解：由x2=2py得y=，得y′=，
所以直线MA的方程为y+2p=（x﹣x M），直线MB的方程为y+2p=（x﹣x M），
所以， +2p=（x A﹣x M）①， +2p=（x B﹣x M）②
由①、②得2x M=x A+x B．
故选A．
4. 平面直角坐标系中，已知两点，若点C满足（O为原点），其中，且，则点C的轨迹是
A.直线
B.椭圆
C.圆
D.双曲线
参考答案：
A
因为，所以设,则有，即，解得，又，所以，即，所以轨迹为直线，选A.
5. 若等差数列的公差，且成等比数列，则（）
A．2 B． C． D．
参考答案：
D
6. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为 ( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的是10，则与输出结果的值最接近的是（）A．B． C. D．
参考答案：
B
8. 设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是（）
A．(－1, 0) B．(－∞, 0) C．(0, 1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)参考答案：
A
略
9. 已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6，BC=，且四棱锥O-ABCD
的体积为，则R等于( )
A．4 B． C. D．
参考答案：
A
10. ．把24粒种子分别种在8个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，则的数学期望为
A．10元 B．20元 C．40
元 D．80元
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 由曲线，，所围成的图形面积是。

参考答案：
答案：
12. .已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线
的离心率为__________．
参考答案：
圆的标准方程为，圆心为，半径为
，一条渐近线方程为，圆心
到渐近线距离为，因为弦长为2
，所以，所以．
13. 与直线x+y ﹣1=0垂直的直线的倾斜角为．
参考答案：
【考点】直线的倾斜角．
【专题】直线与圆．
【分析】利用垂直关系求出斜率，利用斜率求出倾斜角．
【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为k1=﹣，
∴与直线x+y﹣1=0垂直的直线的斜率为k2=﹣=，
又∵k2=tanα=，且α∈[0，π），
∴它的倾斜角为α=；
故答案为：．
【点评】本题考查了直线的垂直以及由斜率求倾斜角的问题，是基础题．
14. 随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
参考答案：
15. 若将函数的图象
向右平移个单位长度后，与函数
的图象重合，则的最小值为
参考答案：
16. 那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为（），培养时间在16小时以
上，某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围固定在29~50，精确度要求
，用分数法安排实验，令第一试点在处，第二试点在处，则
= 。

参考答案：
79
17. 函数满足，，则不等式的解集为______..
参考答案：
利用换元法，将换元成，则原式化为，
当时，，且，又由，
可知当时，；当时，.
故的解集为，即，因此.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知．
（I）求的值；
（Ⅱ）求的值．
参考答案：
解：（I）由, ，-------2
分
．-------4分
（Ⅱ）由（I）知，所以
＝
-------6分
．-------8分略
19. 已知函数的最大值为．（12分）
（Ⅰ）求常数的值；（4分）
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；（2分）
（Ⅲ）若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．（6分）
参考答案：
（I）-1(II) (III) 当时，，
取最大值
当时，，取最小值-3.-
解析：（1）
，-----------------------------------------------------------4分
（2）由，解得
，所以函数的单调递增区间--------2分
（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，
当时，，取最大值
当时，，取最小值-3.-----------6分
略
20. 如图，已知圆O的方程为，M是直线上的任意一点，过M作圆O的两条切
线，切点分别是P，Q，线段PQ的中点为N.
（1）当点M运动到x轴上时，求出点P，Q的坐标；
（2）当点M在x轴上方运动且时，求直线PQ的方程；
（3）求证：，并求点N的轨迹方程.
参考答案：
（1），；（2）；（3）证明见解析，.
【分析】
（1）由题意可求得，，根据，求得，可知直线垂直
平分线段，得到的横坐标，代入圆的方程可求得结果；（2）设的坐标为
，可求得，利用两点间距离公式求得；根据，可知，从而得到直线的斜率；再根据点到直线的距离为，
利用点到直线距离公式，结合斜率可写出直线方程；（3）设点的坐标为，的坐标为，由和可得三角形相似关系，利用对应边成比例可证得结论，从而可得；又，可得；两式整理即可得到所求轨迹方程. 【详解】（1）当运动到轴上时：，
由得：
直线垂直平分线段则点的横坐标为又在圆上
可知点的坐标为，点的坐标为
（2）连接，，，则点在上
设的坐标为
，则：
，解得：，即
直线斜率为，又，
，则直线的斜率为
设直线的方程为：，又
，
即点到直线的距离为
，解得：或（舍去）
直线的方程为：
（3）设点的坐标为，的坐标为
连接，，，则点在上
由（2）知，又，可知：
即，即：
将坐标代入得，……①
又，则，即：……②
将②代入①，得
化简得点的轨迹方程为：
【点睛】本题考查直线和圆的综合应用问题，涉及到直线与圆相切位置关系的应用、直线方程的求解问题、轨迹方程的求解问题，属于中档题.
21. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的周期为π，且图象上
一个最低点为M（，﹣2）
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．
参考答案：
（Ⅰ）由图象上一个最低点为M（，﹣2），可得A=2-----------2分
由周期T=π，可得ω=，
∴f（x）=2sin（2x+φ）----------------------------------------------------4分
由点M（，﹣2）在图象上，得2sin（2×+φ）=﹣2，
即有sin（+φ）=﹣1，…5分
∴+φ=﹣（k∈Z），
∴φ=﹣（k∈Z），------------------------------------------------6分
∵0＜φ＜∴k=1，φ=，
∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）------------------------------7分
（Ⅱ）由﹣2x+≤，（k∈Z）--------------------------9分
可解得：≤x≤（k∈Z），-----------------------------------11分
可得f（x）的单调增区间为：（k∈Z）-----------------------------------12分
22. （本小题共14分）已知椭圆（）的长轴长是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，直线与关于轴对称．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案：
（Ⅰ）由题意可得解得，．
故椭圆的方程为．……………………5分
（Ⅱ）椭圆的右焦点，
由消并整理得，
设，，
则有，
且，，………………………8分
因为直线与关于轴对称，所以这两条直线的斜率互为相反数，
则有，即，
则有，…………………………11分
所以，
整理得，………………………………………………………13分
此时满足且，直线的方程是，
故直线过定点，且该定点为．…………………………………14分。