福建省莆田第六中学高三数学第一次模拟考试试题文

2016届莆田六中高三毕业班第一次模拟考试
数学（文科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）． 1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|41,}B x x n n Z ==-∈，则A
B =（ ）
A ．{1}-
B ．{1}
C ．{3}
D ．{1,3}- 2．已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则
2
2z z
+=（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -- D ．1i -+
3．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本，某中学共有学生2000 名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中男生比女生少6人，则该校共有男生（ ） A ．1030人 B ．1050人 C ．950人 D ．970人 4．已知向量,a b 的夹角为60︒，且1a =，221a b -=，则b =（ ） A ．2 B ．
32 C ．5
2
D ．22 5．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：问日织几何？”一天的2倍，已知她5天共织布5尺，的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为（ A ．815 B ．1615 C ．2031 D ．31
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1该多面体的体积为（ ）
A ．20
B ．16
C ．12
D ． 8
7． 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，
若2z x y =+，则z
A ．4-
B ．0
C ．2
D ．4
8．如右图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．3?k > B ．4?k > C ．5?k > D ．6?k >
9．将函数()2sin(2)4
f x x π
=+的图象向右平移ϕ(0)ϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐
标缩短到原来的
12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线4
x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．8π B ．2π C ．34π D ．38π
10．已知点12F F 、分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与
双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．4
C
D 11．设奇函数()f x 在R 上存在导数()f x '，且在(0,)+∞上2
()f x x '<，若(1)()f m f m --≥
33
1(1)3
m m ⎡⎤--⎣⎦，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．11,,22⎛
⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝⎦⎣⎭
12．同一平面内两两平行的三条直线1l 、2l 、3l （2l 夹在1l 与3l 之间），1l 与2l 的距离为a ，2l 与3l 的距离为b ，若1A l ∈、2B l ∈、3C l ∈，且2
AB AB AC =⋅，则△ABC 面积的最小值为（ ）
A ．222a b +
B ．2
a b
+ C ．ab D ．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若832S =，则2562a a a ++=________． 14．P 为抛物线2
4y x =上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点M （7，8），则||||
PM PQ +
的最小值为________．
15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，0
2,2,1,60PA AB AC BAC ===∠=，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x
x m
f x =+，设(),1,()(),1,f x x
g x
f x x >⎧=⎨-≤⎩
若函数
()y g x t =-有且只有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知函数22
()cos 3sin cos 2f x x x x x =-
-+．
（Ⅰ）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的值域； （Ⅱ）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且
sin(2)
22cos()sin b A C A C a A +==++， 求角B 的大小．
18．（本小题满分分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100[]50,60，[]60,70，[]70,80，
[]80,90，[90,100并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省
90,100内的概率．
级学科知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060ABC ∠=的菱形，M 为PC 的中点． （Ⅰ）求证：PC AD ⊥；
（Ⅱ）求点D 到平面PAM 的距离．
20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知00(,)R x y 是椭22
:
12412
x y C +=上的一点，从原点O 向圆22
00:()()8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点,P Q ．
（Ⅰ）若R 点在第一象限，且直线,OP OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （Ⅱ）若直线,OP OQ 的斜率存在，并记为12,k k ，求12k k 的值．
21．（本小题满分12分）已知函数()ln mx n
f x x x
-=
-（,m n R ∈）
． （Ⅰ）若函数()f x 在（2，(2)f ）处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值； （Ⅱ）试讨论函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；
（Ⅲ）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点12,x x （120)x x <<，求证：122x x +>． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AC 为半圆O 的直径，D 为BC 的中点，弦AD 与BC 相交于点E ． （Ⅰ）求证：2AE AD CE CB AC ⋅+⋅=；
（Ⅱ）过点D 作DF ⊥AB ，F 为垂足，求证：DF 为半圆O 的切线． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l 过点(1,2)A --且倾斜角为
4
π
，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
cos sin a θ
ρθ
=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程为；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于1M 、2M 两点，若12||||4AM AM ⋅=，求a 的值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|3|f x x =-．
（Ⅰ）若不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若||1a <，||3b <，且0a ≠，判断()
||f ab a 与()b f a
的大小，并说明理由．
18．
解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量8
500.01610
n =
=⨯， …………2分
2
0.0045010
y =
=⨯， …………4分
0.1000.0040.0100.0160.0400.030x =----=．…………6分
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80,90]内的学生有5人，记这5人分别为12345,,,,a a a a a ，分数在[90,100]内的学生有2人，记这2人分别为12,b b ，抽取2名学生的所有情况有21种，分别为：
()()()()()()()()()()()1213141511122324252122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a b a b a a a a a a a b a b ()()()()()()()()()()
34353132454142515212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b
…………8分
其中2名同学的分数恰有一人在[90,100]内的情况有10种，…………10分 ∴ 所抽取的2名学生中恰有一人得分在[90,100]内的概率10P 21
=
………………12分 19．
解：（Ⅰ）取AD 中点O ，连结,,OP OC AC ，
由已知得,PAD ACD ∆∆均为正三角形，∴,OC AD OP AD ⊥⊥，…2分 又,OC
OP O OC =⊂平面,POC OP ⊂平面POC ，
∴AD ⊥平面POC ，………………4分
又PC ⊂平面POC ，∴PC AD ⊥ …………5分
（Ⅱ）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离， 由（Ⅰ）可知PO AD ⊥， ∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD
面ABCD AD =，PO ⊂面PAD ，
∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ABC -的体高．…………7分
在Rt POC ∆中，PO OC PC ==
=
在PAC ∆中2,PA AC PC ===
边PC 上的高2
AM =
=
，
∴PAC ∆的面积112222
PAC S PC AM ∆=
=⨯=，………9分 设点D 到平面PAC 的距离为h ， 由D PAC P ACD V V --=得，
11
33
PAC ACD S h S PO ∆∆=，
又2323
ACD S ∆=
⨯=，
，解得215
h =， ∴点D 到平面PAM 的距离为215
5
…………12分 20．
解：（Ⅰ）由已知得圆R 的半径22r = ∵直线,OP OQ 互相垂直，且和圆R 相切， ∴24OR r =
=，即22
016x y += ① …………2分 又点R 在椭圆C 上，∴
2200
12412
x y += ② …………3分 联立①②，解得0022
22
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………5分
∴所求圆R 的方程为：22
(22)(22)8x y -+-=． …………6分
（Ⅱ）∵直线OP ：1y k x =和OQ ：2y k x =都与圆R 相切， 1002
1221k x y k -=+222010010(8)280x k x y k y --+-= ……8分
同理得：222
020020(8)280x k x y k y --+-=
∴12,k k 是关于k 的方程222
0000(8)280x k x y k y --+-=的两不等实数根
由韦达定理得：2012208
8
y k k x -=-， …………10分
∵点00(,)R x y 在椭圆C 上，∴2200
12412x y +=，即2
2001122
y x =-， ∴2
1220141
282
x k k x -==--． …………12分 22．证明：
（Ⅰ）过E 作EG ⊥AC ，G 为垂足，又AC 为半圆O 的直径，
∴090ABE AGE ∠=∠=，即A 、B 、E 、G 四点共圆，则CE CB CG CA ⋅=⋅， 同理可证C 、D 、E 、G 四点共圆，则CA CG CE CB ⋅=⋅， 则AE AD AG AC ⋅=⋅，
∴2
()AE AD CE CB AG AC CG CA AG CG AC AC ⋅+⋅=⋅+⋅=+=， 即2AE AD CE CB AC ⋅+⋅=； …………5分 （Ⅱ）延长CD 交AB 于点H ，
∵D 为弧BC 的中点，∴CAD BAD ∠=∠，即CAD HAD ∠=∠， 又AD ⊥CD ，即AD ⊥CH ，∴D 为CH 的中点，又O 为AC 中点， 连接OD ，则OD ∥AH ，即OD ∥AB ，又DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF ， 即DF 为半圆O 的切线． …………10分
23．解：
（Ⅰ）曲线C :2
cos sin a θρθ
=
22
sin cos a ρθρθ⇔= ∵cos ,sin x y ρθρθ==，∴曲线C 的直角坐标方程为：2
y ax = …2分
∵直线l 过点(1,2)A --且倾斜角为4
π
，
∴直线l 的参数方程为2
12222
x y ⎧
=-+
⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数） …………5分 （Ⅱ）直线l 与曲线C 相交于12,M M 两点，设11AM t =，22AM t =，12t t ≠， （或设12,M M 两点对应的参数分别为12,t t ，12t t ≠）
把l 的参数方程代入2
y ax =，得2
2(4)2(4)0t a t a +++=，……7分
22(4)8(4)0a a ∆=+-+>，即(4)0a a +>，4a ∴<-或0a >，
福建省莆田第六中学高三数学第一次模拟考试试题文
- 11 - / 11 由韦达定理得122(4)t t a ⋅=+，∴121212||||||||||AM AM t t t t ⋅=⋅=⋅ ∵12||||4AM AM ⋅=，∴|2(4)|4a +=|4|2a ⇔+=，…………9分 解得6a =-或2a =-，由0∆>，2a =-（不合舍去） 综上所述，6a =-． …………10分
24．解：
（Ⅰ）∵(1)()|4||3||43|1f x f x x x x x -+=-+--+-=≥， 不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，则1a 即可， ∴实数a 的取值范围是(1]-∞，. ………………5分 （Ⅱ） ()()||f ab b f a a >，证明：要证()()||f ab b f a a >， 只需证|3||3|ab b a ->-，即证22(3)(3)ab b a ->-， 又22(3)(3)ab b a ---222299a b a b =--+22(1)(9)a b =-- ∵||1||3a b <<，，
∴22(3)(3)0ab b a --->，所以原不等式成立. …………10分。