向量数量积最值问题、三角形中的向量问题

平面向量数量积最值问题
近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径.一、借助基本的向量运算降低问题难度；二、建立直角坐标系降低问题门槛 例1:在ABC ∆中,O 为中线AM 上一个动点,若2AM =,则()OA OB OC ⋅+的最小值是__________. 分析:(如图)本题的突破口关键在于AM 为ABC ∆的中线,故易知
2OB OC OM +=,所以:()(2)2()OA OB OC OA OM OA OM ⋅+=⋅=⋅
从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.
练习:1、如图,已知等边ABC ∆的边长为2,又以A 为圆心,半径为1作圆,PQ 是直径,试求
BP CQ ⋅的最大值,并指明此时四边形BCQP 的形状. 答案:BP CQ ⋅的最大值为3,此时四边形BCQP 为矩形.
例2:在Rt ABC ∆中,BC a =,若长为2a 的线段PQ 以A 点为中点,问PQ 与
BC 的夹角θ取何值时BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值.
巩固练习：
练习：在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN
BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是
2、已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +的最小值为 .
三角形背景下的向量问题
在三角形的背景下，考查平面向量知识成为近几年高考的一个热点．
判断三角形的形状
一般要从角或边两个角度来分析：
从角的角度，主要是分析三角形是锐角，直角还是钝角三角形．设三角形中最大角是A ，则三角形是直角三角形⇔0AB AC =；三角形是锐角三角形⇔0AB AC >；三角形是钝角三角形⇔0AB AC <．
从边的角度，主要是分析三形是等腰还是等边三角形．判断边长是否相等，一是可以通过比较边所对应向量的模；二是可通过几何性质转化，比如若三角形的中线垂直于这条边，则三角形是等腰三角形．
例1 Δ,,,0,Δ()ABC AB a BC b a b ABC ==<在中且则是
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 形状不确定
练习、O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足()()
20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状是（ ）
A 正三角形
B 等腰三角形
C 直角三角形
D 斜三角形
三角形 “心” 的判断
三角形的“心”常指内心、外心、重心、垂心、中心等．内心是内切圆的圆心，是角平分线的交点；外心是外接圆的圆心，是中垂线的交点；重心是中线的交点；垂心是高线的交点；中心为正三角形所特有，是多心合一的一个点．解题时，要抓住这些特点，结合向量的知识加以分析． 例３ 已知A B C 、、是不共线的三点,O 是ABC ∆内的一点，若0OA
OB OC ＋＋＝，则O 是ABC ∆的( )
A 外心
B 垂心
C 内心 D.重心
例４ O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()[0,).||||AB AC OP OA λλAB AC =++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
例5 已知O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，求证：点O 是ABC ∆的垂心．
巩固练习
1．已知ABC ∆满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆的形状是（ ）
A 等边三角形
B 锐角三角形
C 直角三角形
D 钝角三角形
2．平面内有=++OR OQ OP 0,且,OP OQ OQ OR OR OP ⋅=⋅=⋅则PQR ∆一定是
( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
3．在ABC ∆中，||||||0BC GA AC GB AB GC ++=，其中G 为ABC ∆的重心，则ABC ∆的形状是_______正三角形_______．
4．已知非零向量AB 与AC 满足().0AB AC BC AB AC +=且1..2AB AC AB AC =则ABC ∆为（ D ）
（A ）三边均不相等的三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰非等边三角形 （D ）等边三角形。