3.函数的应用

第三章 函数的应用 （一）基本知识回顾
1.方程的根与函数的零点
（1）定义：对于函数)(x f y =，我们把满足0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点. 即:函数)(x f y =有零点方程⇔0)(=x f 有实数根.（数的角度）
⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点.（形的角度）
（2）方程0)(=x f 有n 个根⇔函数)(x f 的图像与x 轴有n 个交点； 方程a x f =)(有n 个根⇔函数)(x f 的图像与直线a y =有n 个交点. 方程)()(x g x f =有n 个根⇔函数)(x f 与)(x g 的图像有n 个交点.
注意：先将方程化为a x f =)(或)()(x g x f =的形式（分离常数）
2.零点的存在性定理若函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的图象是连续曲线，并且满足0)()(<⋅b f a f ，则在
区间),(b a 内，函数)(x f y =有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根． 注意：①满足条件的零点可能不唯一（若要唯一，需是单调函数）； ②不满足条件时，也可能有零点．
3.二分法求函数零点的近似值步骤
4.一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 根的分布问题
（1）无限制条件：0>∆⇔有两不等实根 0=∆⇔有两相等实根 当0<∆⇔没有实根． （2）有限制条件（即在给定范围上有根）：)0()(2
>++=a c bx ax x f
根的分布 图示 几何法(数形结合)
代数法(韦达定理)
在),0(+∞上有两根 （两个正根）
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>->∆0)0(020
f a b ⎪⎩⎪
⎨⎧>⋅>+>∆000
2
121x x x x 在)0,(-∞上有两根 （两个负根）
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧><->∆0)0(020f a b
⎪⎩⎪
⎨⎧>⋅<+>∆0002
121x x x x 一正一负 两根
0)0(<f
021<⋅x x
在),(+∞m 上有两根 （两根都大于m ）
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>->∆0)(20m f m a b ⎪⎩⎪
⎨⎧>-⋅->-+->∆0)()(0)()(0
21
21m x m x m x m x
在),(m -∞上有两根 （两根都小于m ） ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧><->∆0)(20m f m a b
⎪⎩⎪
⎨⎧>-⋅-<-+->∆0)()(0)()(0
21
21m x m x m x m x
一根大于m,一根小
于m
0)(<m f
⎩⎨
⎧<-⋅->∆0)()(0
21m x m x
两根都在区间(m,n)内 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>><-<>∆0)(,0)(20n f m f n a b m
两根在区间(m,n)
两侧
0)(,0)(<<n f m f
一根在(m,n)内，另一根在（p ，q ）内
⎩⎨
⎧><<>0)(,0)(0)(,0)(q f p f n f m f
注：(1)对于闭区间可单独考虑区间端点情况 (2)对于零根也可单独考虑
(3)几何法主要从四点考虑：开口方向，对称轴，ac b 42-=∆，端点处的函数值.
5.应用函数模型解决实际问题的一般步骤：
(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识解决问题；(4)检验，作答．
（二）应用举例
题型1：数形结合法判断方程根的个数.
例1、设定义在R 上的奇函数)(x f 满足，当0>x 时，23)(2+-=x x x f . (1)若方程0)(=-m x f 有二个根，则m 的取值范围是 ;
(2)若方程0)(=-m x f 有四个根，则m 的取值范围是 ;（化为a x f =)(型）
例2、直线1=y 与函数a x x y +-=2
有四个交点，则a 的取值范围是 .（化为a x f =)(型） 例3、函数1log 25.0-=x y x
的零点个数是 .（化为)()(x g x f =型）
例4、已知x x x h x x g x x f x +=-=+=2log )(,2)(,2)(的零点依次是c b a ,,则c b a ,,的大小关系是 . 例5、设方程022=++x x 和02log 2=++x x 的根分别为p 和q 。

函数2))(()(+++=q x p x x f ，则 A . )3()0()2(f f f <= B . )3()2()0(f f f << C . )2()0()3(f f f =< D . )2()3()0(f f f <<
题型2：一元二次方程根的分布. 例6、已知方程01222
=+++m mx x ，
(1)方程有两个实根，求m 的取值范围；(2)方程有两根都小于1，求m 的取值范围.
例7、已知方程()()2
21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.
例8、若关于x 的方程0124=+++a a x
x 有解，则实数a 的取值范围是_____． 题型3：零点的存在性定理（判断零点所在的区间）.
例9、在下列区间中，函数34)(-+=x e x f x
的零点所在的区间为( )．
A.)0,
41(- B.)41,0( C.)21,41( D.)43,21(
例10、函数a x
x f x
--
=2
2)(的一个零点在区间)2,1(内，求实数a 的取值范围 题型4：二分法.
例11、如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法 求图中交点横坐标的是________(填序号)． 题型5：函数模型解决实际问题.
例12、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函
数关系式可以近似地表示为y ＝x 2
5
－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
例13、有一片树林现有木材储蓄量为7100 c m
3
，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400 c m 3
．（1）
求平均每年木材储蓄量的增长率．（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？
例14、某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？。