专题十一 数列求和及数列的简单应用 听课手册

数列求和及数列的简单应用

1．[2014·湖南卷改编] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝________． 2．[2015·湖南卷改编] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋2＝3a n ，a 1＝1，a 2＝2，则S 2n ＝________．

3．[2013·江西卷改编] 已知a n ＝2n ，b n ＝1

（n ＋1）a n

，则数列{b n }的前n 项和T n ＝

________．

4．[2015·山东卷改编] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n

·a n ＋1的前n

项和为________．

5．[2014·新课标全国卷Ⅰ改编] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫

a n 2n 的前n

项和为S n ，则S n ＝________．

6．[2015·天津卷改编] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －

1，{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，设c n ＝a n b n ，则数列{c n }的前n 项和为________．

7．[2015·江苏卷] 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 的前

10项和为________．

8．[2013·江西卷] 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n ∈N *)等于________．

考点一 分组转化法求和

2015·福建卷] 等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． [听课笔记]

[小结] 若一个数列是由两个或多个等差、等比数列的和差组成，可使用等差、等比数列的求和公式进行求和．解决此类问题的关键是观察原数列的结构，巧分组．

在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为q 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n .

高考易失分题10 具有周期性特征的数列求和问题

范例 [2012·福建卷] 数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π

2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于

( )

A ．1006

B ．2012

C ．503

D ．0

失分分析 (1)总认为所给数列是等差或等比数列，或能转化为等差、等比数列；(2)没有注意到数列连续四项的和为常数2；(3)不能将求前2012项的和划分成每连续四项为一组再求和．

高考预测 设数列{a n }满足a 1＝5，且对任意正整数n ，总有(a n ＋1＋3)(a n ＋3)＝4a n ＋4成立，则数列{a n }的前2015项的和为________．

考点二 错位相减求和

[2015·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋1

2

b 2

＋13b 3＋…＋1

n

b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．

(1)求a n与b n；

(2)记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n.

[听课笔记]

[小结] 如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列的公比为负数的情形；②在写“S n”和“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n－qS n”的表达式．

已知函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，且f(x)＝x2－x＋b，数列{a n}的前n项和

S n＝f(n)(n∈N*)．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设P n＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，Q n＝a10＋a12＋a14＋…＋a2n＋8，其中n∈N*，试比较P n与Q n的大小，并说明理由；

(3)若数列{b n}满足a n＋log3n＝log3b n，求数列{b n}的前n项和T n.

考点三 裂项相消求和

已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）

2

(n ∈N *)， (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)设b n ＝1

S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .

[听课笔记]

[小结] 裂项相消法的本质是变换通项的方法，即通过对数列通项的恒等变换实现问题可解的目的，常见的裂项方式有：1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；1n （n ＋k ）＝1k (1n －1n ＋k )；1n 2－1＝

1

2

(1n －1－1n ＋1)；14n 2－1＝12(12n －1－12n ＋1

)等．

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝0，S 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧

⎭

⎬⎫

1a

2n －1a 2n ＋1的前n 项和T n .

考点四 数列的简单应用