《直线与平面的夹角》示范课教学PPT课件【高中数学人教】

∴E→M·C→M＝0， ∴EM⊥CM． (2)设向量 n＝(1，y0，z0)与平面 CDE 垂直，则 n⊥C→E，n⊥C→D即 n·C→E＝ 0，n·C→D＝0．
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∵C→E＝(2a，0，a)，C→D＝(0，2a，2a)，
∴y0＝2，z0＝－2， 即 n＝(1，2，－2)， cos＜n，C→M＞＝|CCMM，，→→|··|nn|＝ 22． 直线 CM 与平面 CDE 所成的角 θ 是 n 与C→M夹角的余角，∴θ＝45°， 因此 CM 与平面 CDE 所成的角是 45°．
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(2) 在 公 式 中 ， 令 θ2 ＝ 90° ， 则 cosθ ＝ cosθ1·cos90° ＝ 0 ， ∴ θ ＝ 90° ， 即 当 AC⊥AB时，AC⊥AO.此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则有cosθ1·cosθ2 ＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即若AC⊥AO，则AC⊥AB，此即三垂线定理的逆 定理，由此可知三垂线定理及逆定理可以看成是此公式的特例． (3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分别是斜线与射影，射影与平面内的直 线，斜线与平面内的直线所成的角． 若已知θ1，θ2，θ中的两个值可以求另一个值．
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(2)依题意，得 A1(0，0，1)，B→A1＝(－1，0，1)，B→E＝(－1，1，12)．
设 n＝(x，y，z)是平面 A1BE 得一个法向量，则由 n·B→A1＝0，n·B→E＝0，
－x＋z＝0， 得－x＋y＋12z＝0
所以 x＝z，y＝12z．取 z＝2，得 n＝(2，1，2)．
设 F 是棱 C1D1 上的点，
设 PD＝a，则 BD＝ 2a，DE＝ 22a， 2
∴sin∠DBE＝ 22aa＝12． ∴∠DBE＝30°，即 BD 与平面 PAB 所成的角为 30°．
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[说明] 定义法就是指将斜线与平面的夹角转化为斜线与其平面内 射影的夹角，此种方法的关键在于确定斜线在平面内的射影。
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如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD＝DC，E是PC的中点。 (1)证明：PA∥平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
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2．公式cos θ＝cos θ1·cos θ2.如图所示，OA为平面α的斜线，AB是OA的平 面α内的射影，AC为平面α内过A点的任一直线，设∠OAB＝θ1，∠BAC＝ θ2，∠OAC＝θ，则
cos θ＝cos θ1·cos θ2. (1)由0<cos θ2<1，∴cos θ<cos θ1，从而θ1<θ，这就是最小角定理．
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[说明]
解答本题易出现由
sinθ＝
1100得
θ＝arcsin
1100或
θ＝π－arcsin
10 10
的错误，导致此种错误的原因是忽视了斜线与平面夹角的范围．
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在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且 AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点。
(1)求证：CM⊥EM。
(2)求CM与平面CDE所成的角。
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[解析] 以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平 面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，设EA＝a，则
A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0)。
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(1)证明：∵E→M＝(－a，，a，－a)，C→M＝(a，a，0)
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[答案] 1．cos θ1·cos θ2 2．它在平面内的射影 3．(1)90° (2)0° (3)射影所成的角
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[例1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底
面ABCD，PD＝DC，求BD与平面PAB所成的角。
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[解析]
∵PD⊥平面ABCD
AB⊂
设 n＝(x，y，z)是平面 AFEG 的一个法向量，则4－x＋4yz＋＝z0＝0 ，
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令x＝1，则z＝－4，y＝－1. 即n＝(1，－1，－4)， 即AH与平面AFEG的夹角为θ，
则 sinθ＝|cos〈，n〉|＝
6 18·
＝ 20
1100．
∴AH 与平面 AEFG 的夹角为 arcsin 1100．
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3．有时 B 在平面 α 内的射影 O 的位置不好确定，也可用向量法求，如图 所示，可求平面 α 的法向量 n，则 n 与 AB所夹的锐角 θ1 的余角 θ 就是 AB 与平面 α 所成的角． 4．求法步骤： (1)求平面法向量 n； (2)在平面 α 内任取一点 A，求， AB； (3)线面角 α，满足 sinα＝ n AB ．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC。
∴EF∥PD，F为DC的中点． ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故∠EBF为直线EB 与底面ABCD所成的角． 在Rt△BCF中．
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BF＝ BC2＋CF2＝ ∵EF＝12PD＝a2，
a2＋a22＝ 25a．
∴在 Rt△ EFB 中，tan∠EBF＝ 55．
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3．直线l与平面θ成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角， 则l与m所成的角是 ( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
[答案] C
[解析] 设 θ1＝45°，θ2＝45°，由 cosθ＝cos1·cos2 得 cosθ＝12，∴θ＝ 60°．故选 C．
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二、填空题 4．若AB与平面α成30°角，且A∈α，则AB与α内不过点A的所有直线所成 角中的最大角________． [答案] 90° [解析] 在平面α内，过A点垂直于AB在平面内射影的直线与AB所成角最 大，为90°。
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在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，因为 AD⊥平面 ABB1A1，所以A→D是平面 ABB1A1 的一个法向量，设直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角为 θ，则 sinθ＝|B|EB→，E|·→|A→·DA→|D|＝23×1 1＝23． 即直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为23．
| n | | AB |
1．如图：
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cos θ＝________. 2．最小角定理 斜线和________所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中的最 小角．
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3．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为________。 (2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为 ________。 (3)斜线与它在平面内的________叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面 的夹角)。
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A(0，0，0)，B(a，0，0)，A1(0，0，
2a)，C112a， 23a，
2a，则C→1A＝
－12a，－ 23a，－
2a，
∵平面 AB1 的法向量 n＝(0，1，0)，
且 cos〈C→1A，n〉＝|CC11AA，，→→|··|nn|＝－12． ∴〈C→1A，n〉＝120°． ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 60°或 120°．
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[辨析] 直线与平面所成的角 θ∈0，π2，用向量法求线面角的步骤： ①建立适当的空间直角坐标系； ②将斜线和它在平面上的射影或者斜线和平面的法线用向量或坐标 表示出来； ③利用向量的夹角公式求解．
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[正解] 如图所示，建立空间直角坐标系．依题意，得 A(0，0，0)，B(a，
0，0)，A1(0，0， 2a)，
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5．自平面α外一点P向平面α引垂线段PO及两条斜线段PA，PB，它们在平 面α内的射影长分别为2 cm和12 cm，且这两条斜线与平面α所成的角相差 45°，则垂线段AO的长为________。 [答案] 4 cm或6 cm [解析] 设PA，PB与α所成角分别为α1，α2，且α1＝α2 D
B．60° D．30°
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[解析] 由已知O为外心，且AB⊥OC， ∴∠POC 为所求，∴OC＝23× 23＝ 33， PC＝23，∴cos∠POC＝ 23， ∴∠POC＝30°．
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2．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是 ( ) A．0°<θ<180° B．0°≤θ≤90° C．0°<θ≤90° D．0°<θ<90° [答案] D [解析] 由斜线和平面所成的角定义知选D。
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[解析] (1)证明：连结AC，AC交BD于O，连接EO。
∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB. 所以，PA∥平面EDB
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(2)作EF⊥DC交DC于F，连结BF. 设正方形ABCD的边长为a，
平面ABCD
⇒
PD⊥AB DA⊥AB
⇒
PD∩DA＝D
AB⊥平面PDA
AB⊂
平面PAB
⇒ 平面 PAD⊥平面 PAB．
取 PA 的中点为 E，连结 DE，BD，
∵PD＝DC＝DA，
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∴DE⊥PA DE⊂ 平面PAD
平面PAD⊥平面PAB
⇒ DE⊥平面 PAB．
平面PAD∩平面PAB＝PA
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[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，1)，A(0，4，0)，F(4， 4，1)，E(4，0，2)，H(2，0，0)，
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AF ＝(4，4，1)－(0，4，0)＝(4，0，1) AG ＝(0，0，1)－(0，4，0)＝(0，－4，1)， AH ＝(2，0，0)－(0，4，0)＝(2，－4，0)．
[点评] 本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判 定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力。
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[例 4] 如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 2 a．求 AC1 与侧面 ABB1A 所成的角．
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[误解] 建立如图所示的直角坐标系，根据题意得：
直线与平面的夹角
知识梳理
1．直线和平面所成的角，应分三种情况：①直线与平面斜交时，直线和 平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；②直线和 平面垂直时，直线和平面所成的角为 90°；③直线和平面平行或直线在 平面内时，直线和平面所成的角为 0°．由此可知，直线和平面所成的角 的范围为[0，π2]．
C112a， 23a，
2a，则A→C1＝12a， 23a，
2a，
∵平面 AB1 的法向量 n＝(0，1，0)，
3 且 cos〈A→C1，n〉＝|AACC11，，→→|·|nn|＝ 23aa＝12， ∴〈A→C1，n〉＝60°，从而 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°．
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一、选择题 1．已知点 P 是正三角形 ABC 所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝23，AB＝1， 则 PC 和平面 ABC 所成的角是( )
则 F(t，1，1)(0≤t≤1)．
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又 B1(1，0，1)，所以B→1F＝(t－1，1，0)，而 B1F⊄ 平面 A1BE，于是 B1F∥ 平面 A1BE⇔B→1F·n＝0⇔(t－1，1，0)·(2，1，2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝12⇔ F 为 C1D1 的中点． 这说明在棱 C1D1 上存在一点 F(C1D1 的中点)，使 B1F∥平面 A1BE．
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[例 2] 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 4，点 E、F、G、H 分别 在棱 CC1、DD1、BB1、BC 上，且 CE＝12CC1，DF＝BG＝14DD1，BH＝12 BC．求 AH 与平面 AFEG 的夹角．
[分析] 解答本题首先建立空间直角坐标系，求出平面AFEG的法向量和 AH的方向向量，再求两向量夹角余弦的绝对值即可。
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[例3] (2010·湖南理，18)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是 棱DD1的中点． (1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论。
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[解析] 设正方体的棱长为 1，如图所示，以A→B，A→D，A→A1为单位正交基 底建立空间直角坐标系． (1)依题意，得 B(1，0，0)，E(0，1，12)，A(0，0，0)，D(0，1，0)， 所以B→E＝(－1，1，12)，A→D＝(0，1，0)．