2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题18 解析几何中的双曲线问题(解析版)

专题18 解析几何中的双曲线问题
【高考真题】
1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +
=的渐近线方程为y =，则m =__________． 1．答案 3- 解析 对于双曲线22
1x y m +=，所以0m <，即双曲线的标准方程为22
1x y m
-=-，则1a =，
b =，又双曲线22
1x y
m +=的渐近线方程为y =，
所以a b =，=解得3m =-；故答案为3-．
2．(2022·全国甲理) 若双曲线22
2
1(0)x y m m -=>的渐近线与圆22
430x y y +-+=相切，则m =_________．
2．答案
解析 双曲线()22
210x y m m
-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆
22430x y y +-+=，即()2
221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线
0x my +=的距离1d =
=，解得m =
或m =． 3．(2022·全国甲文) 记双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无
公共点”的e 的一个值______________． 3
．答案 2（满足1e <≤） 解析 222
2
:
1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b
y x a
=±
, 结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即2
24b a
≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”，所以
c e a ===1e >，所以1e <≤2（满足1e <≤
4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123
cos 5
F NF ∠=，则C 的离心率为( )
A B ．3
2 C D
4．答案 C 解析 依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ⊥， 因为123
cos 05
F NF ∠=
>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，由123cos 5F NF ∠=
，即3cos 5α=，则4sin 5α=，sin a c β=，cos b
c
β=，在21F F N 中，()()12sin sin sin F F N παβαβ∠=--=+4334sin cos cos sin 555b a a b
c c c
αβαβ+=+=
⨯+⨯=，由正弦定理得
211225sin sin sin 2NF NF c c F F N αβ===∠，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=∠=⨯=，2555sin 222c c a a NF c β=
=⨯=，又12345422222a b a b a
NF NF a +--=
-==，所以23b a =，即32
b a =，所
以双曲线的离心率c e a ==．故选C ．
5．(2022·浙江)
已知双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a
b
-
=>>的左焦点为F ，过F 且斜率
为
4b
a
的直线交双曲线于点 ()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是
_________．
5．答案 解析 过F 且斜率为4b a 的直线:()4b AB y x c a =+，渐近线2:b l y x a =，联立()4b y x c a b y x
a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：2281
24c a
=，所以离心率e =
． 【知识总结】
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)．(3)焦点：两个定点F 1，F 2． (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质
F (－c ，0)，F (c ，0)
F (0，－c )，F (0，c )
【题型突破】
题型一 双曲线的标准方程
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 2
3＝1
有公共焦点，则C 的方程为( )
A ．x 28－y 210＝1
B ．x 24－y 25＝1
C ．x 25－y 24＝1
D ．x 24－y 2
3
＝1
1．答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52，①．由椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a 2＋ b 2＝9，②．由①②可得a 2＝4，b 2＝5．所以C 的方程为x 24－y 2
5＝1．故选B ．
2．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂
直，则双曲线的方程为( )
A ．x 24－y 2＝1
B ．x 2－y 24＝1
C ．3x 220－3y 25＝1
D ．3x 25－3y 220＝12．答案 A 解析 依题意得b a ＝1
2，①，又a 2＋b 2＝c 2＝5，②，联立①②得a ＝2，b ＝1．∴所求双曲线 的方程为x 2
4－y 2＝1．
3．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于
A ，
B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程
为( )
A ．x 24－y 212＝1
B ．x 212－y 24＝1
C ．x 23－y 29＝1
D ．x 29－y 2
3
＝1
3．答案 C 解析 因为双曲线的离心率为2，所以c
a ＝2，c ＝2a ，
b ＝3a ，不妨令A (2a,3a )，B (2a ，－3a )， 双曲线其中一条渐近线方程为y ＝3x ，所以d 1＝|23a －3a |
(3)2＋(－1)2＝23a －3a 2，d 2＝|23a ＋3a |(3)2＋(－1)2＝23a ＋3a 2；依题意得：23a －3a 2＋23a ＋3a 2＝6，解得：a ＝3，b ＝3，所以双曲线方程为：x 23－y 2
9＝1．
4．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边
三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A ．x 24－y 212＝1
B ．x 212－y 24＝1
C ．x 23－y 2＝1
D ．x 2
－y 2
3＝1
4．答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示⎝
⎛ 不妨设点A
⎭
⎫在渐近线y ＝b
a x 上.
由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2．又点A 在双曲
线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a ＝tan 60°＝3．又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3＝
1，故选D
5．已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相
交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 2
12
＝1
5．答案 D 解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2
＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b
4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 2
12＝1，选D ． 6．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中 点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )
A ．22136x y -=
B ．22145x y -=
C ．22163x y -=
D ．22
154
x y -=
6．答案 B 解析 设双曲线方程为22222222221, x y b x a y a b a b
-=-=即，1122(,),(,)A x y B x y ，由221b x -221
a y =
2222222222, a b b x a y a b -=得，
2
2
12121212()()()0
()
y y b x x a y y x x -+-+=-，1215AB PN N k k =又中点（-，-）,，212b ∴-+222150, 45a b a ==即，22+9b a =，所以224, =5a b =．
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C
的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →
|＝4，则双曲线C 的方程为( )
A ．x 26－y 25＝1
B ．x 28－y 212＝1
C ．x 28－y 24＝1
D ．x 24－y 2
6
＝1
7．答案 Ｄ 解析 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c ，0)，可得A ⎝⎛⎭⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得 49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，所以b 2a 2＝3
2，①．又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋2b 2＝16，②．由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，所以双曲线
C 的方程为x 24－y 2
6
＝1，故选D ．
8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3
2，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM
的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( ) A ．x 2－
4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 2
20
＝1 8．答案 C 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取双曲线的一条渐近线为y ＝b
a x ，可得F 到渐近
线y ＝b a x 的距离d ＝bc
a 2＋b
2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由
题意可得1
2
ab ＝
5，联立⎩⎨⎧b a ＝52，12ab ＝5，
解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝5，
所以双曲线的方程为x 2
4－y
2
5＝1．故选C ．9．已知
双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－2
3
，则此双曲线的方程是( )．
A ．x 23－y 24＝1
B ．x 24－y 23＝1
C ．x 25－y 22＝1
D ．x 22－y 2
5
＝1
9．答案 D 解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 27－a 2＝1．由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2－y 2
7－a 2＝1，y ＝x －1，得x 2a 2－(x －1)2
7－a 2
＝1，(7－a 2)x 2
－a 2(x －1)2＝a 2(7－a 2)，整理得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0．又MN 中点的横坐标为－2
3，故x 0＝
x 1＋x 22＝－2a 22(7－2a 2)
＝－23，即3a 2＝2(7－2a 2)，所以a 2
＝2，故所求双曲线方程为x 22－y 2
5＝1．
10．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2
的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2
－y 23＝1 D ．x 23
－y 2
＝1
10．答案 B 解析 ∵∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，∴|PF 1|＝|P Q|，P ，F 2，Q 三
点共线，而|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|P Q|－|PF 2|＝2a ，即|F 2Q|＝2＝2a ，解得a ＝1．又e ＝c a ＝3，∴c ＝3，
∴b 2＝c 2－a 2＝2，∴双曲线的方程为x 2－
y 2
2
＝1．故选B ． 题型二 双曲线中的求值
11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23
－y 2
＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐
近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( ) A ．3
2 B ．
3 C ．23 D ．4
11．答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±
1
3
x ．设两渐近线的夹角为2α，则有tan α ＝
13＝3
3
，所以α＝30°．所以∠MON ＝2α＝60°．又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．
在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝3．则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan
60°＝3．故选B ．
12．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 2
2
＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |
＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324 B ．322
C ．22
D ．32
12．答案 A 解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝2
2
x ，不妨设点
P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝3
2
，即△PFO 的底边长为6，高为
32，所以它的面积为12×6×32＝32
4
．故选A ． 13．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC
＝θ，若Γ的离心率为2，则( )
A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2
B ．θ＝π2
C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π
D ．θ＝3π4
13．答案 B 解析 ∵e ＝c
a
＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设
B (x 0，y 0)，由对称性可知
C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2
．∵A (a ,0)，∴AB →＝(x 0
－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0，∴AB →⊥AC →，即θ＝π2．故选B ．
14．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 14．答案 34 解析 化双曲线的方程为x 22－y 2
2
＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在
双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，解得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(22)2＋(42)2－162×22×42
＝34．
15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F
为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．
15．答案 714 解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由e ＝c
a
＝2
知，c ＝2a ，又c 2＝a 2
＋b 2，故
b ＝3a ，所以A (0，3a )，C (0，－3a )，B (－a ，0)，F (－2a ，0)，则BA →＝(a ，3a )，CF →
＝
(－2a ，3a )，结合题图可知，cos ∠BDF ＝cos ＜BA →，CF →
＞＝BA →·CF →
|BA →|·|CF →|
＝－2a 2＋3a 22a ·7a ＝714．
16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22
－y 2
＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )
A ．22
B ．23
C ．33
D ．43
16．答案 D 解析 法一：由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，
则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k x －4＋2，x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2
－8k )x －32k 2＋32k －10＝0，设
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k
1－2k 2
，x 1x 2
＝－32k 2＋32k －101－2k 2，因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k 1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ＞0，所以x 1
＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．
法二：由已知可得点P 的位置如法一中图所示，且直线AB 的斜率存在，
设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 21－2y 21－2＝0，x 22－2y 22－2＝0，
所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，因为P (4,2)为AB 的中点，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝x －2，x 22－y 2＝1，消去y 得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所
以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D ．
17．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22
－y 2
＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )
A ．22
B ．23
C ．33
D ．43
17．答案 D 解析 易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y －2＝k (x －4)，代入双曲线C ：x 22
－y 2
＝1，
整理得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0，设此方程两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝8k (2k －1)
2k 2－1，
又P (4，2)为AB 的中点，所以8k (2k －1)
2k 2－1＝8，解得k ＝1，当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二
次方程的Δ＞0，所求直线AB 的方程为y －2＝x －4化成一般式为x －y －2＝0，x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·82－40＝43．故选D ．
18．已知双曲线x 23
－y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△
PF 1F 2的面积为(
)
A ．1
B ．3
C ．5
D ．1
218．答案 A 解析 在双
曲线x 23
－y 2
＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2．不妨设P 点在双曲线的右支上，则有
|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝1
2×(5＋3)×(5－3)＝1．故选A ．
19．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，
若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )
A ．215a 2
B ．15a 2
C ．30a 2
D ．15a 2 19．答案 B 解析 (1)由双曲线的对称性不妨设A 在双曲线的右支上，由e ＝c
a
＝2，得c ＝2a ，∴△AF 1F 2
的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋4a ，又△AF 1F 2的周长为10a ，∴|AF 1|＋|AF 2|＝6a ，又∵|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，在△AF 1F 2中，|F 1F 2|＝4a ，∴cos ∠F 1AF 2＝
|AF 1|2＋|AF 2|2－|F 1F 2|22|AF 1|·|AF 2|＝（4a ）2＋（2a ）2－（4a ）22×4a ×2a ＝14．又0<∠F 1AF <π，∴sin ∠F 1AF 2＝154，∴S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin
∠F 1AF 2＝12×4a ×2a ×15
4
＝15a 2．
20．已知双曲线x 2
－y 23
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使
sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2
＝e ，则F 2P →·F 2F 1→
的值为( )
A ．3
B ．2
C ．－3
D ．－2
20．答案 B 解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|
|PF 2|
＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知
|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝
|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|2
2|PF 2|·|F 1F 2|
＝
4＋16－162×2×4＝14，∴F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→
|·cos ∠PF 2F 1＝2×4×14
＝2．故选B ．
题型三 双曲线的离心率
21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )
A ．2
B ．3
C ．3或233
D ．23
3或2
21．答案 D 解析 秒杀 ∵两条渐近线的夹角为60°，∴一条渐近线的倾斜角为30°，斜率为
3
3
．∴e ＝1＋k 2＝23
3
．或一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．故选D ．
通法 ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴b a ＝tan 30°＝33或b
a ＝tan 60°＝3．由
b a ＝33，得b 2a 2＝
c 2－a 2a 2＝e 2－1＝13，∴e ＝233(舍负)；由b a ＝3，得b 2a 2＝c 2－a 2
a 2＝e 2－1＝3，∴e ＝2(舍负)．故选D ．
22．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )
A ．2sin 40°
B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1
cos 50°
22．答案 D 解析 秒杀 由题意可得－b
a ＝tan 130°，所以e ＝
1＋b 2
a 2＝1＋tan 2130°＝
1＋sin 2130°cos 2130°
＝1|cos 130°|＝1
cos 50°．故选D ．
23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两
条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →
＝0，则C 的离心率为________．
23．答案 2 解析 秒杀 由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →
＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．∴一条渐近线的倾斜角为60°，斜率为3．∴e ＝1＋k 2＝2．
通法一：由F 1A →＝AB →，得A 为F 1B 的中点．又∵O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2．又F 1B →·F 2B →
＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．∴OF 2＝OB ，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ．又∵∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ，∴∠BOF 2
＝∠OF 2B ＝∠OBF 2，∴△OBF 2为等边三角形．如图所示，不妨设B 为⎝⎛⎭⎫c 2，－3
2c ．∵点B 在直线y
＝－b a x 上，∴b a ＝3，∴离心率e ＝c
a
＝2．
通法二：∵F 1B →·F 2B →
＝0，∴∠F 1BF 2＝90°．在Rt △F 1BF 2中，O 为
F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c ．如图，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b
a ，且|BH |2
＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c ，0)．又∵F 1A →＝AB →
，∴A 为F 1B 的中点．∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝b c －a ，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝2．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，
b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，
sin ∠MF 2F 1＝1
3
，则E 的离心率为( )
A ．2
B ．3
2
C ．3
D ．2
24．答案 A 解析 秒杀 作出示意图，如图，离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2|
|MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1
＝2231－13
＝2．故选A ．
通法 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a ．又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝1
3，
即|MF 2|＝3|MF 1|．由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2
a ，所以
b 2＝a 2，所以
c 2＝b 2＋a 2＝2a 2
，所以离心率e ＝c
a ＝2．故选A ．
25．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，
若直线y ＝b
a x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
25．答案 C 解析 秒杀 由已知△F 1PF 2是直角三角形，∠F 2PF 1＝90°，sin ∠PF 1F 2＝b c ，∠PF 2F 1＝a
c
，
∴e ＝c a ＝sin90°|sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1|＝1|b c －a c
|．即b a
＝2，所以e ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5．故选C ．
通法 如图，直线PF 2的方程为y ＝－a b (x －c )，设直线PF 2与直线y ＝b
a x 的交点为
N ，易知N ⎝⎛⎭⎫
a 2c ，a
b
c ．又线段PF 2的中点为N ，所以P ⎝⎛⎭⎫2a 2－c 2c ，2ab c ．因为点P 在双曲线C 上，所以(2a 2－c 2)2
a 2c 2－4a 2
b 2
c 2b 2＝1，即5a 2＝c 2，所以e ＝c
a ＝5．故选C ．
26．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲
线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．10 26．答案 A 解析 秒杀 ∵k 1·k 2＝e 2－1．∴3＝e 2－1．∴e ＝2．故选A ．
通法 设A (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)(|x 0|≠|x 1|)，则B (－x 1，－y 1)，则k P A ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 2
1
x 20－x 21．因为点P ，A 在双曲线C 上，所以b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，b 2x 21－a 2y 21＝a 2b 2，两式相减可得y 2
0－y 21
x 20－x 21＝b 2a 2，故b 2a 2＝3，于是
b 2＝3a 2．又因为
c 2＝a 2＋b 2
，所以双曲线C 的离心率e ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
＝2．故选A ．
27．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为
N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )
A ．2
B ．32
C ．355
D ．5
2
27．答案 B 解析 秒杀 由题意得，k 0·k ＝e 2－1．∴e ＝3
2
．故选B ．
通法 设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，由AB 的中点为N (12,15)，则x 1
＋x 2
＝24，y 1
＋y 2
＝30，由⎩⎨⎧
x 21a 2－y 21
b
2＝1，x 22a 2
－y
22b 2
＝1，
两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝c
a ＝ 1＋
b 2a 2＝32，所以双曲线C 的离心率为32．故选
B ．
28．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线
l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →
，则该双曲线的离心率为( ) A ．
52 B ．62 C ．233
D ．3 28．答案 A 解析 秒杀 由题可知，|31||cos ||31|e θ-=
+，即1||2c b a c ⋅=，即1
2
b a =所以e
＝52，
故选B ．
通法 由题意得直线l 的方程为x ＝b
a y ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且
b 2＝
c 2－1．将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b 2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c
b 4－1，y 1y 2
＝b 4
b 4－1．由AF →＝3FB →
，得y 1＝－3y 2，所以
⎩⎨⎧
－2y 2＝－2b 3c
b 4－1
－3y 22
＝b 4
b 4
－1
，得3b 2c 2
＝1－b 4
，解得b 2
＝1
4，所以
c ＝b 2
＋1＝
54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝5
2，故选A ．
29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π
2
的直线l 与双曲线Γ交于
A ，
B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．
3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋174
29．答案 C 解析 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边
三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2
a c ＝33，整理得
b 2＝33a
c ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2
＋3
3ac ，两边同时除以a 2
，得e 2
－3
3e －1＝0，解得e ＝3＋396
．故选C ． 30．过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，
则C 的离心率为( )
A ．2
B ．7
C ．3
D ．10
30．答案 B 解析 设双曲线的右焦点为F ′，取MN 的中点P ，连接F ′P ，F ′M ，F ′N ，如图所示，由FN →
＝
3FM →
，可知|MF |＝|MP |＝|NP |．又O 为FF ′的中点，可知OM ∥PF ′．∵OM ⊥FN ，∴PF ′⊥FN ．∴PF ′为线段MN 的垂直平分线．∴|NF ′|＝|MF ′|．设|MF |＝t ，由双曲线定义可知|NF ′|＝3t －2a ，|MF ′|＝2a ＋t ，则3t －2a ＝2a ＋t ，解得t ＝2a ．在Rt △MF ′P 中，|PF ′|＝|MF ′|2－|MP |2＝16a 2－4a 2＝23a ，∴|OM |＝1
2|PF ′|＝3a ．在Rt △MFO 中，|MF |2＋|OM |2＝|OF |2，∴4a 2＋3a 2＝c 2⇒e ＝7．故选B ． 题型四 双曲线的渐近线
31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±
22x D ．y ＝±32
x 31．答案 A 解析 法一：由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以b
a
＝2，
所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±2x ，故选A ．
法二：由e ＝c
a ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，故选A ．
32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一
象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±
2
2
x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 32．答案 A 解析 由题意得，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于P ，M 关
于原点对称，F 1，F 2关于原点对称，∴线段PM ，F 1F 2互相平分，四边形PF 1MF 2为平行四边形，PF 1∥MF 2，∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c ＝3a ，∴b ＝c 2
－a 2
＝2a ．∴b
a ＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ．故选A ．
33．过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标
原点，若△AOB 的面积为8
3
，则双曲线的渐近线方程为________．
33．答案 y ＝±22x 解析 由题意得|AB |＝2b 2a ，∵S △AOB ＝83，∴12×2b 2a ×1＝83，∴b 2a ＝8
3①，又a 2＋b 2＝1
②，由①②得a ＝13，b ＝223，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±22x .
34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的
渐近线方程为( )
A ．y ＝±x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±3x
34．答案 A 解析 由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±b a x ，A (a,0)，F (c,0)，则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |
a 2＋b
2
＝ab c ，点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b 2＝bc c ＝b ，∴d 1∶d 2＝ab c ∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则b
a ＝c 2－a 2a ＝a
a ＝1，∴双曲线渐近线方程为y ＝±x ．故选A ．
35．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2
上，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±2x
35．答案 B 解析 不妨取F (c ，0)，l 1：bx －ay ＝0，设其对称点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，由对称性可
得⎩⎨⎧
b ·m ＋
c 2－a ·n 2
＝0
n m －c ·b
a ＝－1
，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＝a 2－b 2a 2＋b
2c
n ＝2abc
a 2
＋b
2
，点F ′(m ，n )在l 2：bx ＋ay ＝0，则a 2－b 2a 2＋b 2·bc ＋2a 2bc
a 2＋b
2＝
0，整理可得b 2a 2＝3，∴b a ＝3，双曲线的渐近线方程为：y ＝±b
a
x ＝±3x .故选B.
36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，
且△PF 1F 2的最小内角为π
6
，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±12x
C ．y ＝±2
2
x D ．y ＝±2x
36．答案 D 解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，则|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ．又因为⎩
⎪⎨⎪⎧2c >2a ，
4a >2a ，所以∠PF 1F 2为最小内角，故∠PF 1F 2＝π6．由余弦定理，可得（4a ）2＋（2c ）2－（2a ）22·4a ·2c ＝32，即(3a －c )2＝0，所以c ＝3a ，则b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ．
37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别
交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±
22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66
x 37．答案 D 解析 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，∵△ABF 2为等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，
∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－
2×2a ×4a ×⎝⎛⎭⎫
－12＝28a 2，亦即c 2＝7a 2，则b ＝c 2－a 2＝6a 2＝6a ，由此可得双曲线C 的渐近线方程
为y ＝±6
6x ．
38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2
最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )
A ．2x ±y ＝0
B ．x ±2y ＝0
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
38．答案 A 解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|
＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a .所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0． 题型五 双曲线中的最值与范围
39．P 是双曲线C ：x 22
－y 2
＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是
双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋
155 C ．4＋155
D ．22＋1 39．答案 D 解析 如图所示，设双曲线右焦点为F 2，则|PF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋|PQ |，即当|PQ |＋|PF 2|
最小时，|PF 1|＋|PQ |取最小值，由图知当F 2，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF 2|取得最小值，即F 2到直线l 的距离d ＝1，故所求最值为2a ＋1＝22＋1．故选D ．
40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±23
3
x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，
点P 为双曲线上在第一
象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )
A ．8
B ．10
C ．4＋37
D ．3＋317 40．答案 B 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a b ＝233，
c ＝7，
c 2
＝a 2
＋b 2
，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＝4，
b 2＝3，
c 2＝7，
则双曲线C 的方程为y 24－x 2
3
＝1，设双曲
线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，又点P 在第一象限，则|PF ′|＋|P A |的最小值为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10． 41．过双曲线
x 2－
y 2
15
＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线， 切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )
A ．10
B ．13
C ．16
D ．19
41．答案 B 解析 由题意可知，|PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)，因此|PM |2－|PN |2＝|PC 1|2－|PC 2|2
－3＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13．故选B ． 42．设P 为双曲线
x 2－
y 2
15
＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上 的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
42．答案 C 解析 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋
y 2＝1的圆心为(4，0)，半径为r 2＝1．设双曲线x 2－y 2
15＝1的左、右焦点分别为F 1(－4，0)，F 2(4，0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2．又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5．又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6．故选C ．
43．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a
2－y 2
＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一
点，则OP →·FP →
的取值范围为________．
43．答案 [3＋23，＋∞) 解析 由题意，得22＝a 2＋1，即a ＝3，设P (x ，y )，x ≥3，FP →
＝(x ＋2， y )，则OP →·FP →＝(x ＋2)x ＋y 2＝x 2
＋2x ＋x 23－1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74，因为x ≥3，所以OP →·FP →的取值范围为[3＋23，
＋∞)．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|
＝t |PF 2|(t ∈(1，
3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
44．答案 (0，3] 解析 由双曲线的定义及题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝t |PF 2
|，解得
⎩⎨⎧
|PF 1|＝
2at
t －1
，|PF 2
|＝2a t －1
.又|PF 1|
＋|PF 2|≥2c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2at t －1＋2a t －1≥2c ，整理得e ＝c a ≤t ＋1t －1＝1＋2t －1，∵1<t ≤3，∴1＋2
t －1≥2，∴1<e ≤2．又b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1，∴0<b 2a 2≤3，故0<b
a ≤3．∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是(0，3]．
45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，
若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→
的最小值的取值范围是________．
45．答案 ⎣⎡⎦⎤－1516，－34 解析 设P (m ，n )，则m 2
a 2－n 2
b 2＝1，即m 2＝a 2
⎝⎛⎭⎫1＋n 2
b 2．又F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则PF 1→
＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )，PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝⎛⎭⎫1＋n 2b 2－1＝n 2
⎝⎛⎭⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号，所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1．由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－15
16≤a 2－1≤
－3
4
，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1516，－34．。