指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数
互为反函数(a ＞0，a ≠1).
【要点梳理】
要点一、幂的概念及运算性质
1.整数指数幂的概念及运算性质
2.分数指数幂的概念及运算性质
为防止讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *
，且
m
n
为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n n
a a =()m n m m n n
a a a ==
-
1m n
m n
a
a
=
3．运算法则
当a ＞0,b ＞0时有：
〔1〕n
m n
m
a a a +=⋅；
〔2〕()
mn n
m
a a =；
〔3〕()0≠>=-a n m a a
a n
m n m ，；
〔4〕()m
m m b a ab =.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如
244
2)4()4(-≠-；
(3)幂指数不能随便约分.如2
14
2)4()4(-≠-.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n 次方根的定义：
假设x n
=y(n ∈N *
，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .
n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；
n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式
〔1〕当1n >且*
n N ∈时，
n
n
a
a =；
〔2〕⎩
⎨⎧=)(||)
(,为偶数为奇数n a n a a n
n
要点诠释：
①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能防止出现错误．
②指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．
负指数幂化为正指数幂的倒数
．
底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如
)，先要化成假分数〔如15/4〕，
然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝〔a －b 〕〔a ＋b 〕，a 3－b 3＝〔a －b 〕〔a 2＋ab ＋b 2〕，a 3＋b 3＝〔a ＋b 〕〔a 2－ab ＋b 2〕， 〔a ±b 〕2＝a 2±2ab ＋b 2，〔a ±b 〕3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.
指数函数及其性质
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=a x
(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
〔1〕形式上的严格性：只有形如y=a x
(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x
y =⋅，12x
y =，31x
y =+等函数都不是指数函数．
〔2〕为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果0a <，则对于一些函数，比方(4)x
y =-，当11
,,24
x x =
=⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11x
y ==是个常量，就没研究的必要了。

而a=0时y=0没意义．
要点二、指数函数的图象：
y=a x
0<a<1时图象
a>1时图象
---- 图象
〔1〕当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

〔2〕指数函数x
y a =与1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c
观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点〔0,1〕
又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< 〔底大幂大〕 x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>>〔底小幂小〕
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法： (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①假设0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A
B
<即可． 对数及对数运算
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b .其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
要点诠释：
对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R. 2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有以下性质：
(1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.
以e 〔e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅〕为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.
要点二、对数的运算法则
已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
()log log log a a a MN M N =+
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
log log log a
a a M
M N N
=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
log log a a M M αα=
要点诠释：
〔1〕利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5)是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.
〔2〕不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： 错误1：log a (M ±N)=log a M ±log a N ， 错误2： (M·N)=log a M·log a N ，
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
log log a b N
a a N a N N
b ⎫=⇒=⎬=⎭
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:
(1) )(log
log R n M M n a
a n
∈=
令 log a M=b ， 则有a b
=M ， (a b )n
=M n
，即n
b n M a =)(， 则n a
M b n
log
=
所以得出结论:n
a a M M n
log log =.
(2) )1,0(log log log ≠>=
c c a
M
M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c
即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=
c c a
M
M c c a 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得
到一个重要的结论:
)1,0,1,0(log 1
log ≠>≠>=
b b a a a
b b a .
对数函数及其性质
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：
〔1〕系数为1；
〔2〕底数为大于0且不等于1的常数； 〔3〕对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： 〔1〕只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

〔2〕求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象
0＜a ＜1 a ＞1 图象
要点诠释：
〔1〕关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
〔2〕以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 〔3〕由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降〔即函数的单调性〕，因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，a 越接近1，图象越陡，a 越远离1，图象越平缓。

这刚好和指数函数的规律相反 所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。

要点四、反函数
1．反函数的定义
一般地，设函数y=f(x)(x ∈A)的值域是B ，根据这个函数中x 、 y 的关系，用y 把x 表示出，得到x= g(y)。

假设对于y 在B 中的任何一个值，通过x= g(y) 〔这时候x= g(y)里面的y 是自变量，x 是因变量〕，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x= g(y)(x ∈B)叫做函数y=f(x)(x ∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。

反函数y=f -1
(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域
由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A 正好是它的反函数y=f -1 (x)的值域；函数y=f(x)的值域B 正好是它的反函数y=f -1 (x)的定义域．
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。

变化关系如右
图： 要点诠释：
不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x 2
．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质
〔1〕互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．
〔2〕假设函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，假设(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．
幂函数及图象变换
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如()y x R α
α=∈的函数，叫做幂函数，其中x 是自变量， α为常数. 要点诠释：
幂函数必须是形如()y x R α
α=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：
()2
423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
各种幂函数的图象：
(1)x y =； (2)2
1x y =； (3)2
x y =； (4)1-=x y ； (5)3x y =．
要点诠释：
幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；
(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)假设幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 假设在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式确实定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数()a
f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a
f x x =． 4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指
数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。

由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == 〔1〕平移变换
y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左〔0a >〕、右〔0a <〕平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上〔b 0>〕、下〔b 0<〕平移
〔2〕对称变换
y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称 y =f (x )→1()y f x -= 图象关于直线y =x 对称
〔3〕翻折变换：
y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．〔注意：它是一个偶函数〕
y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称 要点诠释：
〔1〕函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。

〔2〕假设f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称。

指数函数、对数函数、幂函数配置习题
指数幂的概念与运算
1.求以下各式的值：
〔1〕5242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()a b π----.
2. 求以下各式的值
= =
=
3.用分数指数幂形式表示以下各式〔式中a>0〕：
〔1〕2
a a ⋅；〔2〕332a a ⋅；〔3〕a a ；
4.计算
63425.0031)32(28)6
7
()81(⨯+⨯+-⨯- 指数函数的概念
5．函数2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 6．求以下函数的定义域、值域.
(1)313x x
y =+；(2)y=4x -2x
+1；(3)21139x --；(4)211
x
x y a
-+=(a 为大于1的常数)
指数函数的单调性及其应用
7．讨论函数221()3x x
f x -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的单调性
判断函数的奇偶性
8．判断以下函数的奇偶性：
9.请做出
的图象
10.将以下指数式与对数式互化： (1)；(2)
；(3)
；(4)
；(5)
；
利用对数恒等式化简求值
11．求值： 71log 5
7
+
积、商、幂的对数
12.z y x a a a log ,log ,log 用表示以下各式
235
3
(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a x y xy x x y z z
换底公式的运用
13.已知18log 9,185b
a ==，求36log 45．
对数运算法则的应用
14.求值
(1) 9
1log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (2) 7
lg142lg
lg 7lg183
-+- (3))36log 4
3
log 32(log log 42
122++
(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++
对数函数的概念
15.以下函数中，哪些是对数函数？
〔1〕log 0,1)a
y a a =>≠；
〔2〕2log 2;y x =+ 〔3〕28log (1)y x =+；
〔4〕log 6(0,1)x y x x =>≠； 〔5〕6log y x =．
对数函数的定义域
16. 求以下函数的定义域：
(1)2
log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.
对数函数的单调性及其应用
17. 比较以下各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．
(5)log 4.2,log 4.8a a 〔01a a >≠且〕．
函数的奇偶性
18. 判断以下函数的奇偶性.
(1)2-()ln
;2x
f x x
=+ (2)())f x x =. 类型五、反函数
19．求出以下函数的反函数
〔1〕16
log y x =；〔2〕1x
y e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭．
利用函数图象解不等式
20．假设不等式2log 0x
a x -<，当10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时恒成立，求实数a 的取值范围． 对数函数性质的综合应用
21．
〔1〕已知函数2
lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； 〔2〕已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围；。