第7讲 全称量词与存在量词6种常见题型(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)

第7讲

全称量词与存在量词6种常见题型

【考点分析】

考点一：全称量词与全称量词命题的概念

①全称量词：一般地，把含有“任意”“所有”“每一个”“一切”，这些在陈述句中表示所述事物的全体词语，称为全称量词，用符号“∀”表示，读作：“对于任意”.②全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

③全称量词命题的形式：对集合M 中的所有元素x ，x 均具有一类性质()x p ，简记为：对

()x p M x ,∈∀.

考点二：存在量词与存在量词命题的概念

①存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“∃”表示，读作：“存在”.

②存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.

③存在量词命题的形式：存在集合M 中的元素x ，x 均具有一类性质()x p ，简记为：对

()x p M x ,∈∃.

考点三：全称量词命题，存在量词命题的否定①命题的否定及真假判断

1.一般地，对命题p 进行否定，就会得到一个新的命题，记作“p ⌝”，读作“非p ”或p 的否定.

2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.②全称量词命题的否定

一般地，全称量词命题“()x p M x ,∈∀”的否定是存在量词命题：()x p M x ⌝∈∃,.③存在量词命题的否定

一般地，存在量词命题“()x p M x ,∈∃”的否定是全称量词命题：()x p M x ⌝∈∀,.考点四：常见量词的否定：

量词至少有一个至多有一个任意的

所有的至多有n 个否定

一个也没有

至少有两个

某个

某些

至少有n ＋1个

【题型目录】

题型一：判断语句是否为命题题型二：命题真假的判断

量词等于大于(>)小于(<)是都是否定

不等于

不大于(≤)

不小于(≥)

不是

不都是

题型三：全称量词命题与存在量词命题的判定题型四：判断全称量词命题与存在量词命题的真假题型五：由全称、存在量词命题的真假确定参数取值范围题型六：全称量词命题与存在量词命题的否定

【典型例题】

题型一：判断语句是否为命题【例1】下列语句中，命题的个数是

(

)

①空集是任何集合的真子集;②请起立;③1-的绝对值为1;④你是高一的学生吗?A .0B .1

C .2

D .3

【答案】

【解析】①③是命题;②是祈使句，不是命题;④是疑问句，不是命题.

题型二：命题真假的判断

【例1】（2022·广西·高一阶段练习（多选题））下列说法中，以下是真命题的是（

）．

A ．存在实数0x ，使2

00240

x x +-=+B ．所有的素数都是奇数

C ．至少存在一个正整数，能被5和7整除.

D ．三条边都相等的三角形是等边三角形【答案】ACD 【解析】【分析】

举例证明选项AC 正确；举反例否定选项B ；依据等边三角形定义判断选项D .【详解】

选项A ：当0x 时，2

00240x x +-=+成立.判断正确；选项B ：2是素数，但是2不是奇数.判断错误；选项C ：正整数35和70能被5和7整除.判断正确；选项D ：三条边都相等的三角形是等边三角形.判断正确.故选：ACD

【例2】（2022江苏无锡市·）有下列四个命题：

①x R ∀∈10>；②2,0x N x ∀∈>；③x N ∃∈，2

x x ≤；④2,2

x Q x ∃∈=其中真命题的个数为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】对于①，x R ∀∈110≥>，故命题成立；

对于②，显然当0x =时满足x ∈N ，但20x =，故命题为假；对于③，显然0x =时满足x ∈N ，200≤成立，故命题为真；

对于④，22x =的实数根为x =.综上，真命题的个数为2.故选：B.

【例3】（2022·湖南·高一课时练习）判断下列命题的真假：

(1)Z x ∃∈，22x =；(2)R x ∃∈，22x =；

(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(4)平面上任意两条直线必有交点．

【答案】(1)假命题(2)真命题(3)真命题(4)假命题【解析】【分析】

解方程，即可判断（1）（2），根据垂直平分线的性质判断（3），根据平面内两直线的位置关系判断（4）；

(1)解：若22x =，解得x =

“Z x ∃∈，22x =”为假命题；

(2)解：若22x =，解得

x =

R ，故命题“R x ∃∈，22x =”为真命题；(3)解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；

(4)解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；【题型专练】

1.（2022·全国·高一单元测试）已知集合{}1,2,4,5,6P =，{}2,4,6M =，则下列说法正确的是（

）

A ．对任意x P ∈，有x M ∈

B ．对任意x P ∈，有x M ∉

C ．存在x M ∈，使得x P ∉

D ．存在x P ∈，使得x M

∉【答案】D 【解析】