贵州省贵阳市普通中学2022-2023学年高一上学期期末监测考试数学试题(1)

贵阳市普通中学2021-2022学年度第一学期期末监测考试试题
高一数学
一､选择题（本大题共8小题,每小题4分,共32分.每小题有四个选项,其中只有一个选项正确,请将你认为正确地选项填写在答题卷地相应位置上.）
1 已知集合{}
3782A x x x =-<-,{
}
2
340B x x x =--<,则A B = （ ）
A. {}
4x x < B. {}
34
x x << C. {}
13
x x -<< D. {}
43
x x -<<【结果】C 【思路】
【思路】求出集合A ,B ,再由交集定义求出A B ．【详解】∵集合{}{}
37823A x x x x x =-<-=<,
{}
{}234014B x x x x x =--<=-<<,
∴{}
13A B x x ⋂=-<<．故选：C ．
2. 已知命题2:,10p n N n n ∀∈++>,则p 地否定为（ ）A. 2,10n N n n ∀∈++< B. 2,10n N n n ∀∈++≤C. 2,10n N n n ∃∈++< D. 2,10
n N n n ∃∈++≤【结果】D 【思路】
【思路】全称命题地否定为存在命题,利用相关定义进行判断即可【详解】全称命题地否定为存在命题,命题2:,10p n N n n ∀∈++>,则p ⌝为2,10n N n n ∃∈++≤.故选：D
3. 函数12x
y =地定义域为（ ）A. R B. (,0)(0,)
-∞+∞ C. (,0)
-∞ D. (0,)
+∞【结果】B
.
【思路】
【思路】要使函数12x
y =有意义,则需要满足0x ≠即可.【详解】要使函数12x y =有意义,则需要满足0
x ≠所以1
2x y =地定义域为(0)(0)∞∞-⋃+，
，,故选：B
4. 在平面直角坐标系xoy 中,角α与角β项点都在坐标原点,始边都与x 轴地非负半轴重合,它们地终边有关y 轴对称,若1
cos 2
α=-
,则cos β=（ ）A.
12
B. 12
-
C.
D. 【结果】A 【思路】
【思路】利用终边相同地角和诱导公式求解.【详解】因为 角α与角β地终边有关y 轴对称,所以2,k k Z βπαπ=-+∈,
所以 ()1cos cos 2cos 2
k βπαπα=-+=-=,故选：A
5. 借助信息技术画出函数ln y x =和||y x x a =-（a 为实数）地图象,当 1.5a =时图象如图所示,则函数
| 1.5|ln y x x x =--地零点个数为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
【结果】B 【思路】
的
【思路】由| 1.5|ln 0y x x x =--=转化为 1.5y x x =-与ln y x =地图象交点个数来确定正确选项.【详解】令| 1.5|ln 0y x x x =--=, 1.5ln x x x -=,
所以函数| 1.5|ln y x x x =--地零点个数即 1.5y x x =-与ln y x =地图象交点个数,结合图象可知 1.5y x x =-与ln y x =地图象有2个交点,所以函数| 1.5|ln y x x x =--有2个零点.故选：B
6. 设 1.5
3cos2,0.3,log 2a b c -===,则a ,b ,c 地大小关系是（ ）
A. a b c <<
B. c a b
<< C. a c b
<< D. b c a
<<【结果】C 【思路】
【思路】比较a ，b ，c 与0和1地大小即可判断它们之间地大小.【详解】cos20a =<,
1.500.30.31b -=>=,
()333log 1log 2log 3,0,1c c <=<∈,
故a c b <<故选：C.
7. 已知1
(0,),sin cos 5
απαα∈+=-
,则下面结论正确地是（ ）A. 4cos 5
α= B. 7sin cos 5
αα-=
C.
sin cos 4
tan 15
ααα+=-
D.
sin cos 7
3sin 2cos αα
αα
-=-+【结果】B 【思路】
【思路】先求出34
sin cos 55
αα==-,再对四个选项一一验证即可.【详解】因为1
(0,),sin cos 5
απαα∈+=-
,又22sin cos 1αα+=,.
解得：34sin cos 55
αα==-.故A 错误。

对于B ：347
sin cos 555
αα⎛⎫-=
--= ⎪⎝⎭,故B 正确。

对于C ：
1
sin cos 4
53tan 154ααα-
+==-,故C 错误。

对于D ：
7
sin cos 571
3sin 2cos 5
αα
αα-==+,故D 错误.故选：B
8. 我们知道,函数()y f x =地图象有关坐标原点成中心对称图形地充要款件是函数()y f x =为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =地图象有关点(,)P a b 成中心对称图形地充要款件是函数
()y f x a b =+-为奇函数,则函数32()26f x x x =+图象地对称中心为（ ）
A. (1,4)-
B. (1,4)--
C. (1,4)
D. (1,4)
-【结果】A 【思路】
【思路】依据题意并结合奇函数地性质即可求解.
【详解】由题意得,设函数32()26f x x x =+图象地对称中心为(),a b ,则函数()y f x a b =+-为奇函数,
即()()3
2
()26y f x a b x a x a b
=+-=+++-()()3223226661226x a x a a x a a b =++++++-,
则32
660260a a a b +=⎧⎨
+-=⎩,解得1
4a b =-⎧⎨=⎩
,故函数32()26f x x x =+图象地对称中心为(1,4)-.故选：A .
二､多项选择题（本题共2小题,每小题4分,共8分.在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求.全部选对得4分,部分选对得2分,有选错得0分.）
9. 下面表达正确地有（ ）A. 若,a b c d ><,则a c b d ->- B. 若0,0a b c d >><<,则ac bd <C. 若0a b c >>>,则c c a b > D. 若0a b c >>>,则
a a c
b b c
+<
+【结果】AB 【思路】
【思路】对于A ：利用同向不等式相加可以证明。

对于B ：利用同向不等式相乘可以证明。

对于C ：利用不等式地可乘性可以判断。

对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===可以判断.
【详解】对于A ：因为c d <,所以c d ->-,利用同向不等式相加可以得到：a c b d ->-.故A 正确。

对于B ：因为0c d <<,所以0c d ->->,又因为0a b >>,利用同向不等式相乘可以得到：
ac bd ->-,所以ac bd <.故B 正确。

对于C ：因为0a b c >>>,所以
11a b <.因为0c >,所以c c
a b
<.故C 错误。

对于D ：取特殊值3,2,1a b c ===满足0a b c >>>,却
32a b =,
4
3
a c
b
c +=+,所以a a c b b c
+>+.故D 错误.故选：AB
10. 历史上第一个给出函数一般定义地是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ）,他是最早倡导严格化方式地数学家之一,狄利克雷在2023年给出了著名地狄利克雷函数：1,()0,x Q
f x x Q ∈⎧=⎨
∉⎩
（Q 是有理数集）,狄利克
雷函数地出现表示数学家们对数学地理解发生了深刻地变化,从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地,广文地秋利克雷函数可以定义为：,,
(),,
a x Q D x
b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ,且a b ¹）.以下对()D x 表
达正确地有（ ）A. ()D x 地定义域为R
B. ()D x 是非奇非偶函数
C. ()D x 在实数集地任何区间上都不具有单调性
D. 任意非零有理数均是()D x 地周期
【结果】ACD
【思路】
【思路】依据有理数，无理数和实数地概念判断A 。

依据奇偶函数地定义判断B 。

依据函数()D x 地值域为{,}a b 即可判断C 。

依据周期函数地定义即可判断D.
【详解】A ：由()a x Q
D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩
，，,所以有理数 无理数=实数,故A 正确。

B ：当x Q ∈时,x Q -∈,有()()D x a D x a =-=，,所以()()D x D x =-,当x Q ∉时,x Q -∉,有()()D x b D x b =-=，,所以()()D x D x =-,所以()D x 为偶函数,故B 错误。

C ：当x Q ∈时,有()
D x a =,当x Q ∉时,有()D x b =,
所以()D x 地值域为{,}a b ,所以在实数集地任何区间上都不具有单调性,故C 正确。

D ：设T 为非零有理数,当x Q ∈时,x T Q +∈,所以()()D x T a D x +==,所以任意地非零有理数均是()D x 地周期,故D 正确.故选：ACD
三､填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分.请将你认为正确地结果填在答题卷地相应位置上.）
11. 已知幂函数()y f x =地图象过点13,9⎛⎫
⎪⎝⎭
,则(2)f =___________.【结果】1
4
##0.25【思路】
【思路】设()f x x α
=,代入点求解即可.【详解】设幂函数()y f x x α==,
因为()y f x =地图象过点1
(3,9,
所以139
α
=
,解得2α=-所以2()f x x -=,得
21(2)24
f -==
.故结果为：
14
12. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究鲑鱼地科学家发现鲑鱼地游速v （单位：m/s ）可以表示为31log 2100
L v =
,其中L 表示鲑鱼地耗氧量地单位数,当一款鲑鱼以2m/s 地速度游动时,它地耗氧量地单位数为___________.【结果】8100【思路】
【思路】将2v =代入31log 2100
L
v =
,化简即可得结果.【详解】因为鲑鱼地游速v （单位：m /s ）可以表示为：
31log 2100
L
v =,
所以,当一款鲑鱼以2m/s 地速度游动时,
312log 2100L =,
∴43100
L
=,∴8100L =．故结果为：8100.13. 若1x >-,则1
1
x x ++地最小值是___________,此时x =___________.【结果】 ①. 1
②. 0
【思路】
【思路】利用基本不等式求解.【详解】因为1x >-,
所以11111111
x x x x +
=++-≥-=++,当且仅当1
11
x x +=+,即0x =时,等号成立,所以其最小值是1,此时x =0,
故结果为：1,0
14. 函数sin()0,0,2
2y A x A π
πωϕωϕ⎛⎫
=+>>-<<
⎪⎝
⎭
在一个周期内图象如图所示,此函数地思路式为___________.
【结果】2sin(3)
6
y x π
=-【思路】
【思路】依据所给地图象,可得到2A =,周期地值,进而得到ω,依据函数地图象过点可求出ϕ地值,得到三角函数地思路式．
【详解】由图象可知2A =,
522993
T πππ=-=,23
T π∴=
,由223T ππω==3ω∴=,
∴三角函数地思路式是2sin(3)
y x ϕ=+ 函数地图象过2(
9
π
,2),把点地坐标代入三角函数地思路式,
2222sin(3)2sin )9(3
ππϕϕ∴=⨯+=+,22Z 3,2k k ππ
ϕπ∴
+=+∈,又22
ππϕ-<< ,6
π
ϕ∴=-
,
∴三角函数地思路式是2sin(3)6
y x π=-.
故结果为：2sin(3)6
y x π
=-.
15. 已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+,若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈,使得()()12f x g x <,则实数a 地取值范围是___________.
的
【结果】34
a >-【思路】
【思路】将“对12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈,使得()()12f x g x <,”转化为max max ()()f x g x <,再依据二次函数地性质和指数函数地单调性求得最值代入即可解得结果.
【详解】当[0,2]x ∈时,2
2329()3524f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭
,∴当32x =
时,max 329
()24f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
,
当[2,3]x ∈时,()2x g x a =+为增函数,所以3x =时,()g x 得到最大值(3)8g a =+,∵对12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈,使得()()12f x g x <,∴max max ()()f x g x <,
∴
2984
a <+,解得3
4a >-.
故结果为：3
4
a >-.
四､解答题（本大题共4小题,每小题8分,共32分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
16. 计算下面各式（式中字母均是正数）.（1）33log 18log 2
-（2）21
151133
6622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【结果】（1）2。

（2）4a .
【思路】
【思路】（1）利用对数地运算性质即得。

（2）利用指数幂地运算法则运算即得.【小问1详解】
333
log 18log 212og 2
l 8
-==。

【小问2详解】
()21
152111151133
6632623622262633a b a b a a +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--÷-= ⎪⎪ ⎪⎢⎥
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
4ab =4a =.
17. 在平面直角坐标系中,已知角,αβ地顶点都与坐标原点重合,始边都与x 轴地非负半轴重合,角α地终
边与单位圆交于点512,1313P ⎛⎫
⎪⎝⎭
,角β地终边在第二象限,与单位圆交于点Q ,扇形POQ 地面积为π6.
（1）求tan α地值。

（2）求cos β地值.【结果】（1）
12
5
（2
【思路】
【思路】（1）利用任意角地三角函数定义进行求解。

（2）先利用扇形地面积公式求出其圆心角,进而得到π
=+3
βα,再利用两角和地余弦公式进行求解.
小问1详解】
解：由任意角地三角函数定义,得
12
sin 13α=,5cos 13
α=,12
1213tan 5513
α==。

【小问2详解】
设POQ θ∠=,因为扇形POQ 地半径为1,面积为
π
6
,【
所以1π=26,即π=3
θ,又因为角β地终边在第二象限,所以不妨设π=+3
βα,则πππcos =cos()cos cos sin sin 333
βααα+=
-1512=21313⨯=18. 已知函数()y f x =是(,0)(0,)-∞+∞ 上地偶函数,当0x <时,3()1f x x
=-+.
（1）用单调性定义证明函数()y f x =在(,0)-∞上单调递增。

（2）求当0x >时,函数地思路式.
【结果】（1）详见思路。

（2）()()3
1,0f x x x =+>.
【思路】
【思路】（1）利用单调性地定义即证。

（2）当0x >时,可得3
()1f x x -=+,再利用函数地奇偶性即得.
【小问1详解】
()12,,0x x ∀∈-∞,且12x x <,则()12121212
333()()11x x
f x f x x x x x -⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭,
∵()12,,0x x ∈-∞,且12x x <,
∴12120,0x x x x <->,
∴12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,
∴函数()y f x =在(,0)-∞上单调递增。

【小问2详解】
当0x >时,0x -<,
∴3
()1f x x -=+,又函数()y f x =是(,0)(0,)-∞+∞ 上地偶函数,
∴()3
()1f x f x x =-=+,
即当0x >时,()31f x x
=+.
19. 已知函数2()2sin cos f x x x x =+-.
（1）求函数()f x 地单调递增区间。

（2）将函数()f x 地图象向右平移3π
个单位后得到()g x 地图象,求()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上地最小值.【结果】（1）()5,1212k k k ππππ⎡⎤-
++∈⎢⎥⎣⎦
Z 。

（2）－2.
【思路】【思路】(1)化简f (x )思路式,依据正弦函数复合函数单调性即可求解。

(2)依据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求出23x π-地范围,再依据正弦函数最值即可求解.【小问1详解】
()
22sin cos f x x x x =+)
2sin 22cos 1x x =+-
sin2x x
=+2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.由222232k x k π
π
πππ-+++……得f (x )地单调递增区间为：()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
Z 。

【小问2详解】
将函数()f x 地图象向右平移
3π个单位后得到()g x 地图象,则()2sin 22sin 2333x x g x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦.,2633x x πππ⎡⎤∈-⇒-∈⎢⎥⎣⎦2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,∴min ()2sin 22g x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
.五､阅读与探究（本大题1个小题,共8分,解答应写出文字说明,款理清晰.）
20. 阅读材料：我们研究了函数地单调性､奇偶性和周期性,却这些还不能够准确地描述出函数地图象,例如
函数2y x =和y =,尽管它们都是增函数,图象在[0,1]上都是上升地,却却有着显著地不同.如图1所示,函数2y x =地图象是向下凸地,在[0,1]上任意取两个点12,M M ,函数2y x =地图象总是在线段12M M 地
下方,此时函数2y x =称为下凸函数。

函数y =
,在[0,1]上任意取两个点12,M M ,函
数y =
地图象总是在线段12M M 地上方,则函数y =称为上凸函数.具有这样特征地函数通常称做凸
函数.
定义1：设函数()y f x =是定义在区间I 上地连续函数,若12,x x I ∀∈,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
,则称()y f x =为区间I 上地下凸函数.如图2.下凸函数地形状特征：曲线上任意两点12,M M 之间地部分位于线段12M M 地下方.定义2：设函数()y f x =是定义在区间I 上地连续函数,若12,x x I ∀∈,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
,则称()y f x =为区间I 上地上凸函数.如图3.上凸函数地形状特征：曲线上任意两点12,M M 之间地部分位于线段12M M 地上方.上凸（下凸）函数与函数地定义域密切相关地.例如,函数3y x =在(,0]-∞为上凸函数,在[)0,∞+上为下凸函数.函数地奇偶性和周期性分别反映地是函数图象地对称性和循环往复,属于整体性质。

而函数地单调性和凸性分别刻画地是函数图象地升降和弯曲方向,属于局部性质.有关函数性质地探索,对我们地启示是：在认识事物和研究问题时,只有从多角度､全方位加以考查,才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面地问题：
（1）请尝试列举一个下凸函数：___________。

（2）求证：二次函数2()f x x bx c =-++是上凸函数。

（3）已知函数()||f x x x a =-,若对任意12,[2,3]x x ∈,恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
,尝试数形结合探究实数a 地取值范围.【结果】（1）1y x
=,,()0x ∈+∞。

（2）证明见思路。

（3）3a ≥.
【思路】【思路】（1）依据下凸函数地定义举例即可。

（2）利用上凸函数定义证明即可。

（3）依据（2）中结论,结合款件,函数满足上凸函数定义,依据数形结合求得参数取值范围.
【小问1详解】
1y x
=,,()0x ∈+∞。

【小问2详解】
对于二次函数2()f x x bx c =-++,12,x x R ∀∈,满足()()221221212121122()22222f x f x x x x x x x x bx c x bx c f b c ++++-++-++⎛⎫-=-+⋅+- ⎪⎝⎭
22222
121212122()0424
x x x x x x x x +++-=-+=≥,即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
,满足上凸函数定义,二次函数2()f x x bx c =-++是上凸函数.【小问3详解】
由（2）知二次函数2()f x x bx c =-++是上凸函数,
同理易得二次函数2()f x x bx c =++为下凸函数,
对于函数22,(),x ax x a f x x x a x ax x a
⎧->=-=⎨-+≤⎩,其图像可以由两个二次函数地部分图像组成,如图所示,
若对任意12,[2,3]x x ∈,恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
,则函数()||f x x x a =-满足上凸函数定义,即[2,3](,]a ⊆-∞,
a .即3。