数学笔记 (1)
北师大版数学二年级上册5.1《数松果》课堂笔记(1)
北师大版数学二年级上册5.1《数松果》课堂笔记(1)一、课堂导入教师通过多媒体展示一幅小松鼠采集松果的图片，激发学生的兴趣，引导学生思考松果的数量。
二、探究活动1. 数松果教师提出问题：“同学们，小松鼠采集了很多松果，我们怎样才能又对又快地数出松果的数量呢？”引导学生思考和讨论。
学生回答：“可以五个五个地数。
”教师：“很好，我们一起来试着数一数。
”2. 总结规律教师提出问题：“同学们观察一下，当我们五个五个地数松果时，会发现什么规律？”学生回答：“数到第五个松果时，又回到了第一个松果。
”教师：“没错，这就是我们今天要学习的乘法。
五个五个地数，就是5的乘法。
”3. 乘法算式教师：“当我们五个五个地数松果时，实际上就是在进行乘法运算。
比如，5个5是多少，我们可以写成5×5=25。
”学生跟随教师一起写出乘法算式。
4. 乘法口诀教师：“同学们，我们还可以用乘法口诀来记住这个规律。
5的乘法口诀是‘五五二十五’。
”学生跟随教师一起念乘法口诀。
三、巩固练习1. 数松果教师提出问题：“同学们，如果我们继续数松果，六个六个地数，会得到什么结果呢？”学生回答：“会得到30个松果。
”2. 乘法算式和口诀教师：“同学们，六六三十六，就是6的乘法。
我们一起来写出6的乘法算式和口诀。
”学生跟随教师一起写出6的乘法算式和口诀。
四、课堂小结教师：“同学们，今天我们学习了5的乘法。
通过数松果的活动，我们知道了五个五个地数可以得到25个松果，五个五个地数可以得到30个松果。
我们还学习了5的乘法口诀‘五五二十五’和‘六六三十六’。
希望大家课后继续练习，掌握5的乘法。
”五、课后作业1. 数松果请同学们继续数松果，尝试七七四十九和八八六十四的结果。
2. 乘法算式和口诀请同学们写出7的乘法算式和口诀，以及8的乘法算式和口诀。
六、教学反思本节课通过数松果的活动，让学生体验了乘法的意义和必要性。
学生在探究活动中积极参与，通过观察和总结，掌握了5的乘法。
数学必修1笔记
2.用二分法求方程解的近似值
☆：映射是原象集中无剩余元素且象为一的对应.
4.映射的分类：
①满射：象集B中无剩余元素的映射（A，B均无剩余）
②单射：一对一的映射（B中可以有剩余）
☆既满足单射又满足满射的映射叫一一映射。
课题：函数的单调性（增减性）
增函数：在某区间D 定义域，任取x1,x2 D,且x1＜x2， f（x1）＜f（x2）
课题：函数与方程
一．方程的根与函数的零点
1.方程f（x）=0有实数根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
☆： 当且仅当（又叫作充要条件）
2.零点：函数值（y）等于0的点，图像与x轴的交点
3.一般的，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a），f（b）＜0，那么，函数y=f（x），在区间（a，b）内有零点，即存在c（ ），使得
③ n=nlogaM（ （正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数）
④loga = logaM
课题：对数函数
1.定义：形如y=logax的函数，其中定义域（0，+∞），值域为R
2.图像
a＞1：
均过（1，0）点
增函数
X大于0
y
2.3幂函数
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数（α
4.集合相等的定义：两个集合的元素完全相等
1.1.2集合间的基本关系
1.子集：A中任何的一个元素都在B中，A为B的子集，记作：
2.子集的性质：① ②传递性（例 )③空集是任何集合的子集（例 )④空集是一切非空集合的真子集
高一年级数学必修一知识归纳笔记
高一年级数学必修一知识归纳笔
记
1.高一年级数学必修一知识归纳笔记篇一
指数函数
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域是一组大于0的实数。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是传递(0，1)。
(8)显然指数函数无XX。
2.高一年级数学必修一知识归纳笔记篇二
集合与元素
一个事物是集合还是元素，并不是绝对的，很多时候是相对的。
集合是元素的集合，元素是组成集合的元素。
例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素;
而整个学校是很多班级的集合，你的班级只是其中的一个，是一个元素。
班级是相对于你的集合，是相对于学校的元素。
不同的参考导致不同的结论。
可见无论是集合还是元素都不是绝对的。
解集合问题的关键。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
高等数学(一)学习笔记
π ,n ∈ Z)},为奇函数， π 为周期, 2
周期内单
π ， 2
π ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加 2 反余弦函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2 π 为周期。若限制值域为[0， + π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数：y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数， π 为周期。若限制值域为[-
x → x0
定理一：如果 lim
x → x0
f ( x) = A ，而且 A>0(或 A<0),那幺就存在着点 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻 f ( x ) = A , 那幺 A ≥ 0(或 A ≤ 0).
域时，就有 f(x)>0(或 f(x)<0). 定理二：如果在点 x0 的某一去心邻域内 f(x) ≥ 0(或 f(x ≤ 0), 而且 lim 可证明：f( x0 -0)=f( x0 +0)为 lim
x →∞
7、无穷小和无穷大 (1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x →
x0 或 x → ∞ ). x0 或 x → ∞ )，具有极限
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x →
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数 即为这函数的极限。 B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷 小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较：
(完整版)高等数学笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A ynn =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一
完整版新人教版高中数学课堂笔记必修一一、函数与三角函数1.1 函数的基本概念定义1.1.1：函数从一个集合A中的每一个元素a，都唯一地对应到另一个集合B中的一个元素f(a)，则称这样的对应f为一个函数。
定义1.1.2：自变量和因变量在函数f中，元素a称为自变量，元素f(a)称为因变量。
定义1.1.3：定义域和值域f的定义域是由自变量构成的集合A，f的值域是由因变量构成的集合B。
1.2 函数的表示方法1.2.1 显式表示法在一个函数的定义域内，用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1就是一个用显式表示法表示的函数。
1.2.2 隐式表示法在一个函数的定义域内，无法用公式或者算式来表示函数的因变量和自变量之间的关系，只能通过复杂的方程或者不等式来描述函数。
例如，方程x^2+y^2=1就是一个用隐式表示法表示的函数。
1.2.3 参数表示法在一个函数的定义域内，用一个参数表示函数的因变量和自变量之间的关系。
例如，函数f(x)=sin(x)就是一个用参数表示法表示的函数，其中sin是一个参数。
1.2.4 函数图像函数图像是函数在坐标系中的图形。
如果函数的定义域和值域都是实数集合，那么可以用二维笛卡尔坐标系来表示函数的图像。
例如，函数f(x)=x^2-2x+1的图像是一条开口向上的抛物线。
1.3 三角函数1.3.1 弧度制弧度（radian）是表示角度大小的一种单位。
一弧度表示角度中圆心角对应的弧长等于半径的长度。
例如，一个半径为1的圆的周长是2π，那么一弧度对应的角度大小就是360°/2π≈57.3°。
1.3.2 三角函数的定义令在单位圆上顺时针旋转的角度为θ，则定义三角函数为：sinθ=纵坐标（y）cosθ=横坐标（x）tanθ=纵坐标（y）/横坐标（x）cotθ=横坐标（x）/纵坐标（y）secθ=1/cosθcscθ=1/sinθ1.3.3 三角函数的基本关系式sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθcotθ=1/tanθ1.3.4 三角函数的性质周期性：sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx，tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。
七年级上册数学笔记第一单元
七年级上册数学笔记第一单元一、有理数。
1. 有理数的定义。
- 有理数就像一群规规矩矩的数。
整数和分数统称为有理数。
整数呢，就像我们平常数的那些数，像 -3、 -2、 -1、0、1、2、3等等，它们可正可负还可以是0。
分数呢，就是那种表示一个数是另一个数的几分之几的数，比如(1)/(2)、-(3)/(4)之类的。
2. 有理数的分类。
- 有理数可以分成两类，按定义分的话，就是整数和分数。
整数又能分成正整数、0和负整数；分数也能分成正分数和负分数。
- 要是按照正负性来分呢，有理数可以分成正有理数、0和负有理数。
正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
这就像把一群小动物按照不同的特点分类一样，可好玩啦。
二、数轴。
1. 数轴的定义。
- 数轴就像一条有魔法的直线。
它有三个重要的元素：原点、正方向和单位长度。
原点就是0所在的位置，就像数轴这个小世界的中心。
正方向呢，一般规定向右是正方向，就像我们走路时的前进方向。
单位长度就是用来衡量数轴上的点之间距离的标准，就像我们用尺子量东西一样。
2. 数轴上的点与有理数的关系。
- 每一个有理数都能在数轴上找到一个对应的点。
比如说，3这个正整数就在原点右边3个单位长度的地方， -2这个负整数就在原点左边2个单位长度的地方。
分数也一样，(1)/(2)就在原点右边(1)/(2)个单位长度的地方。
反过来，数轴上的每一个点也都表示一个有理数，它们就像一对对好伙伴，谁也离不开谁。
三、相反数。
1. 相反数的定义。
- 相反数就像一对双胞胎，但是性格相反。
两个数只有符号不同，像3和 -3，(2)/(3)和-(2)/(3)，它们就是互为相反数。
0的相反数就是0自己，它比较特殊，就像一个独来独往的大侠。
2. 相反数的性质。
- 在数轴上，互为相反数的两个数位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
比如说3和 -3，它们到原点的距离都是3个单位长度。
而且互为相反数的两个数相加等于0，就像3+( -3)=0一样，这是它们之间的小秘密哦。
数学笔记知识点总结
数学笔记知识点总结一、代数1. 代数基本概念代数是数学的一个重要分支，研究数与数量关系、结构和变化规律的一种数学学科。
代数的基本概念包括数、运算和方程等内容。
2. 多项式与因式分解多项式是由常数和变量经过有限次的加、减、乘运算得到的式子。
因式分解是将多项式表示为若干个一次或一次以上的乘积的运算。
3. 方程与不等式方程是含有未知数的等式，不等式是含有未知数的大小关系式。
解方程和不等式是求出未知数满足条件的过程。
4. 函数与图像函数是一种特殊的关系，对于每一个自变量，都有唯一的因变量与之对应。
函数的图像可以用来表示函数的性质和规律。
5. 等比数列与等差数列等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都是一个常数；等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的差值都是一个常数。
二、几何1. 三角形三角形是几何学中的一个基本图形，由三条边和三个内角构成。
三角形的性质包括角对边关系、全等三角形、相似三角形等内容。
2. 圆圆是一个平面上到一个定点距离都相等的点的集合。
圆的性质包括圆心角、弧、切线、相交弦等内容。
3. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角是直角。
直角三角形的性质包括毕达哥拉斯定理、三角函数等内容。
4. 平面几何与立体几何平面几何是指在平面上进行的几何学研究，包括平行线、相似形、全等形等内容；立体几何是指在三维空间中进行的几何学研究，包括立体图形的体积、表面积等内容。
5. 地理计量学地理计量学是一门研究地图与地球空间信息表示方法、地理数据获取方法、空间数据分析和处理技术、地理信息系统的构建与应用的学科。
三、数与集合1. 数的分类数的分类包括自然数、整数、有理数、无理数、实数、虚数等内容。
每种类型的数都有其特点和性质。
2. 集合集合是数学中最基本的概念之一，指的是具有某种共同性质的对象的总体。
集合的运算包括并集、交集、补集等操作。
3. 数轴与坐标系数轴是一个用于表示实数的直线，坐标系是一种用于表示点的有序对的工具。
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
北师大版数学二年级上册1.2《秋游》课堂笔记(1)
北师大版数学二年级上册1.2《秋游》课堂笔记(1)一、教学内容本节课我们学习了北师大版小学数学二年级上册第1.2节的《秋游》。
这部分内容主要通过秋游的情景，引导学生学习连减计算的过程，并能够选择合适的信息解决简单的问题。
二、教学目标1. 学生能够理解连减计算的含义，并能够运用连减计算解决实际问题。
2. 学生能够选择合适的信息，进行简单的数学计算和问题解决。
三、教学重点与难点1. 教学重点：学生能够理解连减计算的过程，并能够运用连减计算解决实际问题。
2. 教学难点：学生能够选择合适的信息，进行简单的数学计算和问题解决。
四、教学过程1. 激趣导入(1) 老师带领同学们去秋游，大家开心吗？(2) 在秋游中，我们会遇到一些数学问题，让我们一起想办法解决这些问题吧！2. 学习连减计算(1) 老师出示情景图，引导同学们观察图中的信息。
情景图：有三组游客，每组游客有10人，一共有30人。
其中一组游客有5人离开了，另外两组游客各有3人离开了。
问现在还剩下多少人？(2) 同学们分小组讨论，想一想如何解决这个问题。
(3) 各小组汇报解题过程，老师引导学生总结连减计算的过程。
(4) 老师出示类似的问题，让学生独立解决。
3. 应用拓展(1) 老师出示一个新的情景：小明有10个苹果，他吃掉了3个，又吃掉了2个，问他还剩下几个苹果？(2) 同学们独立思考，解决这个问题。
(3) 老师引导学生总结解决这个问题的关键在于找出相同的信息。
4. 课堂小结(1) 我们今天学习了连减计算，知道了如何解决实际问题。
(2) 在解决连减问题时，要注意找出相同的信息，简化计算过程。
五、课后作业1. 完成练习册第1.2节的题目。
2. 观察生活中的一些连减现象，试着用数学方法解决。
六、教学反思本节课通过秋游的情景，让学生学习了连减计算的过程，并能够选择合适的信息解决实际问题。
在教学过程中，老师要注意引导学生观察情景图，找出相同的信息，简化计算过程。
高一数学第一章知识点笔记
高一数学第一章知识点笔记一、集合的基本概念集合是由若干个确定的元素所组成的整体。
元素是可以单独列举出来的个体，而集合是由这些个体组成的整体。
1. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号{}括起来。
例如：A = {1, 2, 3, 4}（2）描述法：用文字描述集合中的元素的特征。
例如：B = {x | x是整数，0 < x < 5}2. 集合间的关系（1）相等关系：集合A与集合B的元素完全一样时，记作A = B。
（2）包含关系：若集合A中的每个元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A ⊆ B。
（3）真子集关系：若集合A是集合B的子集且A ≠ B，则称集合A是集合B的真子集，记作A ⊂ B。
二、集合的运算1. 交集运算（∩）：给定两个集合A和B，A∩B 表示同时属于A和B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = {3, 4}。
2. 并集运算（∪）：给定两个集合A和B，A∪B 表示属于A或者属于B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
3. 补集运算（-）：给定一个集合U作为全集，对于集合A，A的补集表示全集中不属于A的元素所组成的集合，记作A'或者A的补。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，则 A' = {5, 6}。
4. 差集运算：给定两个集合A和B，A - B 表示属于A但不属于B的元素所组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则 A - B = {1, 2}。
三、数列与数列的表示方法1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的数的集合。
2. 数列的表示方法：（1）通项公式表示法：通过给出数列的通项公式，可以确定数列中任意一项的值。
初中数学速记笔记：1.有理数
一、有理数的意义
（一）正数和负数的意义 1.正数：大于 0 Байду номын сангаас数，如+3，1.8%，3.5； 2.负数：小于 0 的数，如−3，−2.7%，−4.5.
（二）有理数的分类 1.按定义分类
2.按正负（性质）分类
（三）数轴
（四）相反数 1.定义：
这里 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是 0. 2.性质： (1)数 的相反数是− ； (2)若 ， 互为相反数，则 + ＝0； (3)若 + ＝0，则 与 互为相反数.
（五）绝对值
>0 ， = 0 = 0 ，或
− <0 .
=
≥0 ，
− <0 .
（六）比较有理数大小的常用方法
（七）绝对值的非负性（拓展） 1.正数和零统称非负数. 绝对值的非负性：对于任何有理数 ， 都有 ≥0. 2.非负数的重要性质： (1)非负数有最小值，是 0； (2)若 + + ＝0，且 ， ， 为非负数， 则 ＝ ＝ ＝0； （3）有限个非负数之和仍是非负数.
反之，若 ＝1，则 ， 互为倒数. 2.有理数的除法法则 （1）除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数 的倒数. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把 绝对值相除；0 除以任何一个不为 0 的数， 都得 0. （五）有理数的乘方 1.乘方的概念 求 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一个数可以看作这个数本身的 1 次方. 2.乘方的意义 表示 个 相乘，即 · · ·⋯· .
个 相乘
3.乘方的法则 （1）正数的任何次幂都是正数. （2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数. （3）0 的任何正整数次幂都是 0.
四年级上册笔记数学
四年级上册笔记数学数学笔记：四年级上册第一单元：整数加减法1. 整数的概念：整数包括正整数、零和负整数，用”+”和”-”表示。
2. 整数的加法原则：- 正数加正数，结果为正数。
- 负数加负数，结果为负数。
- 正数加负数，结果的符号与绝对值较大的整数的符号相同，绝对值为两个数值相加的绝对值。
3. 整数的减法原则：- 正数减正数，结果为正数。
- 负数减负数，结果为负数。
- 正数减负数，结果的符号与被减数相同，绝对值为两个数值相减的绝对值。
- 负数减正数，结果的符号与被减数相反，绝对值为两个数值相加的绝对值。
第二单元：几何与图形1. 线段：一条由两个端点确定的直线段。
2. 直线：没有端点的笔直线。
3. 射线：一条起点为A的直线，经过A的所有点。
4. 角的三要素：角的三要素为顶点、起始边和终止边。
5. 角的分类：角可以分为锐角、直角、钝角等。
6. 三角形：一个由三条线段组成的图形，有三个内角和三个顶点。
7. 四边形：一个由四条线段组成的图形。
第三单元：数的拆分与组合1. 数的拆分：将一个数按照要求分成多个数的加法。
2. 数的组合：将数进行合并，得到一个数的加法。
3. 数的拆分与组合运算法则：- 拆分与拆分运算法则：可以按照拆分的规则拆分成两个或多个数再进行计算。
- 组合与组合运算法则：可以将两个或多个数合并后再进行计算。
- 拆分与组合的运算法则：可以先拆分再合并，也可以先合并再拆分。
第四单元：整百数与整千数1. 整百数：百位上为1的整数，例如100、200、300等。
2. 整千数：千位上为1的整数，例如1000、2000、3000等。
3. 整百数与整千数的加法与减法：根据进位借位的原则进行计算。
以上是我在四年级数学上册学习的笔记。
通过学习这些内容，我对整数加减法，几何与图形，数的拆分与组合以及整百数与整千数有了更深入的理解。
高考数学复习笔记1第一章 第一节 集合
数学一轮总复习 第一章 集合与简易逻辑第一节 集合【考纲要求】【知识网络】【考点梳理】 一．集合的概念：集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算 描 述 法图 示 法列 举 法 相 等 包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集1.一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集。
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、…… 2.集合中元素特征（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的. （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序. 3.集合的分类：根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 注：应区分Φ，}{Φ，}0{，0等符号的含义 4、常用数集（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N *或N + （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q （5）实数集：全体实数的集合.记作R 注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N *或N +，Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *二．集合的表示法：1.列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}；2.描述法：例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 3.韦恩图： 4.区间法：三．集合间的基本关系：1.元素与集合的关系，用∈或∉表示；属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.2.集合与集合的关系，用⊆，≠⊂，=表示，当A ⊆B 时，称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时，称A 是B 的真子集。
五年级上册数学笔记第一单元
五年级上册数学笔记第一单元一、小数乘法。
1. 小数乘整数。
- 意义：与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。
例如：2.5×3表示3个2.5相加的和是多少。
- 计算方法：- 先按照整数乘法的计算方法算出积。
例如：计算2.5×3，先算25×3 = 75。
- 再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
2.5是一位小数，所以从75的右边起数出一位点上小数点，结果是7.5。
2. 小数乘小数。
- 意义：表示一个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
例如：2.5×0.3表示2.5的十分之三是多少。
- 计算方法：- 先按照整数乘法算出积。
如计算2.5×0.3，先算25×3 = 75。
- 看因数中一共有几位小数。
2.5是一位小数，0.3也是一位小数，一共有两位小数。
- 从积的右边起数出几位，点上小数点。
75从右边起数出两位点上小数点是0.75。
- 注意：- 如果积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点。
例如：0.25×0.4 = 0.100 = 0.1。
- 积的小数部分末尾有0的，要把0去掉。
如1.25×0.8 = 1.000 = 1。
3. 积的近似数。
- 求积的近似数的方法：- 先算出积。
- 再看需要保留数位的下一位数字，按照“四舍五入”法取近似数。
例如：0.85×1.2 = 1.02，保留一位小数，看百分位上的2，2＜5舍去，结果约是1.0。
4. 整数乘法运算定律推广到小数。
- 乘法交换律：a×b=b×a。
对于小数乘法同样适用，如0.25×0.4 = 0.4×0.25。
- 乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)。
例如：0.25×0.4×0.8=(0.25×0.4)×0.8 = 0.1×0.8 = 0.08。
数学高一人教版笔记
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
北师大版一年级下册数学课堂笔记-1.4《开会了》(1)
北师大版一年级下册数学课堂笔记-1.4《开会了》（1）一、知识回顾同学们，我们上一节课学习了关于“位置”的知识，你们还记得吗？我们学习了如何用数对表示物体的位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。
我们还通过实际操作，理解了数对的意义。
这节课，我们将继续学习与位置有关的知识，快来让我们一起探索吧！二、课堂讲解1. 故事导入有一天，森林里要举行一场大会，小动物们都来到了会场，它们按照指定的位置坐了下来。
小明坐在第3列第4行的位置，小华坐在第5列第3行的位置，小丽坐在第2列第6行的位置。
它们都找到了自己的位置，开心地等待大会的开始。
2. 学习数对表示位置的方法我们还是用数对来表示它们的位置。
请同学们拿出练习本，把它们的位置用数对表示出来。
（学生练习）同学们，你们写好了吗？我们来看一下：小明：3,4小华：5,3小丽：2,63. 理解数对中每个数字的含义我们再来回顾一下，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行。
所以，小明在第3列第4行，小华在第5列第3行，小丽在第2列第6行。
4. 数对表示位置的练习请同学们用数对表示出下面几个物体的位置：（1）小猫在第7列第2行。
（2）小狗在第1列第5行。
（学生练习）同学们，你们完成得很好！现在我们已经学会了用数对表示物体的位置，这在我们日常生活中非常有用。
5. 总结这节课，我们学习了如何用数对表示物体的位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。
通过实际操作，我们理解了数对的意义。
希望大家能够把所学知识运用到实际生活中，解决一些与位置有关的问题。
三、课堂练习请同学们完成课后练习第1题，用数对表示出下列物体的位置。
（学生练习）四、课后作业1. 完成课后练习第2题。
2. 思考一下，在生活中，你还遇到过哪些与位置有关的问题？试着用数对来解决这些问题。
同学们，这节课我们学习了用数对表示物体的位置，希望你们能够灵活运用所学知识，解决生活中的实际问题。
下节课，我们将继续学习与位置有关的知识，期待你们的进步！。
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1x8+1=912x8+2=98123x8+3=9871234x8+4=987612345x8+5=98765123456x8+6=9876541234567x8+7=987654312345678x8+8=98765432123456789x8+9=987654321 1x9+2=1112x9+3=111123x9+4=11111234x9+5=1111112345x9+6=111111123456x9+7=11111111234567x9+8=1111111112345678x9+9=111111111123456789x9+10=1111111111 9x9+7=8898x9+6=888987x9+5=88889876x9+4=8888898765x9+3=888888987654x9+2=88888889876543x9+1=8888888898765432x9+0=888888888很炫，是不是?再看看这个对称式1x1=111x11=121111x111=123211111x1111=123432111111x11111=123454321111111x111111=123456543211111111x1111111=123456765432111111111x11111111=123456787654321111111111x111111111=12345678987654321只有转走才不会丢，留着教孩子小学到初三的全部概念！连这个都有人整理啦！！三角形的面积＝底×高÷2。
公式S= a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a长方形的面积＝长×宽公式S= a×b平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh圆锥的体积＝1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×56、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O 除以任何不是O的数都得O。
简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
( TF-boys成员QQ公布：王俊凯QQ：225554 王源QQ:122241 易烊千玺QQ:630020，现在添加QQ即可获得签名照一张哦~快快行动吧！！！)8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。
9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有χ的算式并计算。
10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
数量关系计算公式方面1、单价×数量＝总价2、单产量×数量＝总产量3、速度×时间＝路程4、工效×时间＝工作总量5、加数+加数＝和一个加数＝和＋另一个加数被减数－减数＝差减数＝被减数－差被减数＝减数＋差因数×因数＝积一个因数＝积÷另一个因数被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商被除数＝商×除数有余数的除法：被除数＝商×除数+余数一个数连续用两个数除，可以先把后两个数相乘，再用它们的积去除这个数，结果不变。
例：90÷5÷6＝90÷（5×6）6、1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米1吨＝1000千克1千克= 1000克= 1公斤= 1市斤1公顷＝10000平方米。
1亩＝666.666平方米。
1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米7、什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。
如：2÷5或3:6或1/3比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。
8、什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。
如3:6＝9:18三角形的面积＝底×高÷2。
公式S= a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a长方形的面积＝长×宽公式S= a×b平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2内角和：三角形的内角和＝180度。
长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。
公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。
公式：S=ch+2s=ch+2πr2圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。
公式：V=Sh圆锥的体积＝1/3底面×积高。
公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。
分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
如：（2+4）×5＝2×5+4×56、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O 除以任何不是O的数都得O。
简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。
等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。
8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。
9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。
学会一元一次方程式的例法及计算。
即例出代有χ的算式并计算。
10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。
11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。
异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。
13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。
16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。
19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
20、一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。
21、甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。