高中数学(新人教A版)必修第一册：二倍角的正弦、余弦、正切公式【精品课件】

cocsoπs4＋2xx＝ 2(cos x＋sin x)＝2cosπ4－x＝85.
题型三 利用倍角公式解化简与证明问题 [探究发现] (1)在解化简与证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，
通常要如何处理？ 提示：通常要切化弦后再进行变形． (2)证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？ 提示：由复杂一侧向简单一侧推导．
(4)原式＝2tan21502°t＋an11－503°tan2150° ＝1－2tatann125105°0°＝tan2×1 150°
＝tan
1300°＝tan3601°－60°＝－tan160°＝－
3 3.
[方法技巧] 对于给角求值问题的两种类型及解题策略
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基 本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
题型一 给角求值
[学透用活]
[典例 1] 化简求值．
(1)cos4 α2－sin4 α2；
(2)sin
π 24·cos
π 24·cos
1π2；
(3)1－2sin2750°；
(4)tan 150°＋1－2t3atnan125105°0°.
[ 解]
(1)cos4
α－sin4 2
α＝ 2
cos2α－sin 2
[ 变式训练]
求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；
(2)
1＋sin 1＋sin
α－cos α＋1＋cos α＋sin α＋cos α 1－cos α＋sin
α＝ 2 . α sin α
证明： (1)左边＝1＋cos2A＋2B－1－cos2A－2B
2
2
＝cos2A ＋2B ＋cos2A －2B 2
π4－x
119
＝12，所以原式＝169＝119.
13
12 156
13
2．[变条件]若本例(2)条件变为 tanπ4－x＝34，其他条件不变，结果如何？ 解：因为 0<x<π4，所以 0<π4－x<π4，
由 tanπ4－x＝34，
得
1c－oscπ4o－s2xπ4－x＝34，故 cosπ4－x＝45，
3； 10°
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
2sin 解：(1)原式＝
1π22cos1π2＝si2nπ6＝14.
(2)原式＝tan(2×120°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.
(3)原式＝cos 10°－ 3sin 10°＝2 sin 10°cos 10°
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．若 cos π4＋x ＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值． 解：法一：根据已知条件分别求出 sin x，cos x，tan x(角的变换)直接带入公式求解．由
17π<x<7π，得5π<x＋π<2π，又 12 4 3 4
2．余弦的二倍角公式的变形
3．正弦的二倍角公式的变形 sin 2α
(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝_2_s_i_n_α___. (2)1±sin 2α＝_(s_i_n_α__±_co_s__α_)_2 .
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角． (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立． (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立． (4)对于任意角 α，总有 tan 2α＝1－2tatannα2α. 答案：(1) √ (2) √ (3) × (4) ×
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的 正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条 件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
求下列各式的值：
[ 变式训练]
(1)sin π cos π ； 12 12
(2)1－2tatann122102°0°；
(3)sin110°－cos
40°·cos 4sin
40°·cos 20°
80°＝2sin88s0in°·2co0s°80°＝s8isnin16200°°＝18.
题型二 条件求值
[ 典例 2]
(1)已知cos
α－π 6
，则
tan
2α＝________.
(2)已知
sin
π－x 4
＝153，0＜x＜π4，求cocsoπs4＋2xx
求出四边形ABTP取最 大值时α的值
解：连接 PB，∵AB 为圆的直径，∴∠APB＝90°，
∵∠PAB＝α，AB＝1，∴PA＝cos α，PB＝sin α，
又 PT 切圆于 P 点，则∠TPB＝∠PAB＝α，
过点 B 作 BC⊥PT，垂足为 C，∴BC＝sin α·PB＝sin2α，
∴S
四边形
A
BTP＝S
＝12(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立．
(2)原式＝22csionsα2α2ccoossα2α2＋＋ssiinnα2α2＋
2cosα2cosα2＋sinα2 2sinα2sinα2＋cosα2
△PAB＋S
△T
PB＝12PA·PB
＋1PT 2
·B
C
＝1sin αcos α＋1sin2α
2
2
＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝14(sin 2α－cos 2α)＋14 ＝ 42sin2α－π4＋14， ∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π时，S 四边形 ABTP 最大．
1cos 10°－ 3sin 10°
2
2
sin 10°cos 10°
＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°＝4sin 20°＝4.
2sin 10°cos 10°
sin 20°
(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° 2sin 20°
＝2sin
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
第三课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
(一)教材梳理填空 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法 S2α C2α
T2α
公式
sin 2α＝__2_si_n__α_c_o_s _α___ cos 2α＝__c_o_s_2α_－__s_i_n_2α__
2tan α tan 2α＝_1_－_t_a_n_2_α__
π－2x 2
＝2sin
π－x 4
cos
π－x 4
.
类似的变换还有：
cos 2x＝sin π2＋2x ＝2sin π4＋x cos π4＋x ，
sin
2x＝cos
π－2x 2
＝2cos2
π－x 4
－1，
sin
2x＝－cos
π＋2x 2
＝1－2cos2
π＋x 4
等．
[ 变式训练]
sin 2x
1．[
变结论]
cos
π4＋x
＝3，∴sin 5
() () ()
()
2．下列各式中，值为12的是 A．2sin 15°cos 15°
B．cos215°－sin215°
()
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
解析：2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos215°－sin215°＝cos 30°＝ 23；
2sin215°＝1－cos 30°＝1－ 23；sin215°＋cos215°＝1. 答案：A
2sin ＝
π＋x 4
cos
π＋x
π＋x 4
＝2sin
π＋x 4
.
cos 4
cos 4
∵sin
π－x 4
＝cos
π＋x 4
＝ 5 ，且 13
0＜x＜π4，∴π4＋x∈
π，π 42
，
∴sin π4＋x ＝
1－cos2 π4＋x ＝1123，∴原式＝2×1123＝2143.
[方法技巧] 解决条件求值问题的方法
线 PT，且 PT＝1，∠PAB＝α，问 α 为何值时，四边 形 ABTP 的面积最大？ [析题建模]
连接PB，由AB ＝1，∠PAB＝α
―运 数―算 学→
PA，PB 的值
―想 直―象 观→
作BC⊥PT，结合 条件表示出BC
―推 逻―理 辑→
S四边形ABTP＝ S△PAB＋S△TPB
―利 弦―用 函―正 数→
＝－4 3＝右边，所以原等式成立．
[方法技巧] 证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降 低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两 头凑”的思想．
(2)证明恒等式的一般步骤： ①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； ②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中” 等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[学透用活]
[典例 3] (1)化简：tan 1θ＋1＋tan 1θ－1＝________. (2)证明：sin 123°ta4nco1s22°1－2°3－2＝－4 3.
[解析]
(1)原式＝ttaann
θ－1＋tan θ＋1tan
θθ－＋11＝ta2nta2θn－θ1＝－1－2tatannθ2θ＝－
22
4 4 8 82
则 cosα>0，cosα<0，cosα>0.所以原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α
2
4
8
2
＝ 2－ 2＋2cosα2 ＝ 2－ 4cos2α4 ＝ 2＋2cosα4 ＝ 4cos2α8＝2cosα8.
二、应用性——强调学以致用 2.点 P 在直径为 AB＝1 的半圆上移动，过点 P 作圆的切
3．已知 sin α＝35，cos α＝45，则 sin 2α 等于
A.75
B．152
12 C.25
D．2245
答案：D
()
4．设 sin α＝2cos α，则 tan 2α 的值为________． 解析：因为 tan α＝csions αα＝2， 所以 tan 2α＝1－2tatannα2α＝－43. 答案：－43
的值．
[ 解析] (1)因为 sin α－π3 ＝－3cos α－π6 ，
所以 12sin α－ 23cos α＝－323cos α－32sin α，
整理得 3cos α＝－2sin α，所以 tan α＝－ 3， 2
故 tan 2α＝1－2tatannα2α＝－4 3.
sin (2)原式＝
π＋2x 2 π＋x
若本例
1
的条件不变，则 sin
π4＋x
的值如何？
解：因为
sin
2x＝cos
π2－2x
＝1－2sin2
π4－x
＝1－2×
5 13
2＝119， 169
因为
x∈
0，π4
，所以π4－x∈
0，π4
，又因为
sin
π4－x
＝ 5 ，所以 13
cos
π4－x
＝12， 13
sin
π4＋x
＝sin
π－ 2
π－x 4
＝cos
αα ＝csoins2α2＋csoinsα22＝sinα21cosα2＝sin2 α.
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是“化简 2－ 2＋ 2＋2cos α(3π<α<4π)”的解题过程：
解：原式＝ 2－ 2＋ 4cos2α＝ 2－ 2＋2cosα
2
2
＝ 2－ 4cos2α＝ 2－2cosα＝ 4sin2α.
4
4
8
因为 3π<α<4π，所以3π<α<π，所以 sinα>0，故原式＝2sinα.
8 82
8
8
试分析该解题过程是否正确，若不正确，错在何处，并写出正确的解 题过程． 提示：错误，原因是运用倍角公式从里到外去掉根号时，没有顾及角 的范围而选择正、负号，导致错误．
正解：因为 3π<α<4π，所以3π<α<2π，3π<α<π，3π<α<π，
2α 2
cos2α＋sin2α
2
2
＝cos
α.
(2)原式＝12 2sin2π4cos2π4 ·cos1π2
＝1sin π ·cos π ＝1 2sin1π2·cos1π2 ＝1sin π＝1.
2 12 12 4
4 68
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的 关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍 关系．
[方法技巧]
解决条件求值问题的方法
(2)当遇到π±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件 4
与结论沟通，巧妙地建立等量关系，从而求值．
cos
2x＝sin
tan 2θ.
答案：－tan 2θ
3sin 12°－3cos 12°
(2)证明：左边＝2sin
cos 12° 12°2cos212°－1
2 ＝
312sin
12°－
3 2 cos
12°
2sin 12°cos 12°cos 24°
＝2 si3nsi2n4°1c2o°s－2640°°＝－212si3ns4in8°48°