广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高三下学期第二次月考试题数学试题

广西壮族自治区贵港市桂平市2024届高三下学期第二次月考试题数学试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．23,3⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．231,3⎛⎤
⎥ ⎝⎦
C ．)
3,⎡+∞⎣ D ．(
1,3⎤⎦
2．已知函数在
上的值域为
，则实数的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知椭圆22y a +2
2x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角
三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A 5-1
B 3-1
C 31
+D 51
+ 4．已知实数,x y 满足线性约束条件1
020
x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
，则1y x +的取值范围为（ ）
A ．(-2,-1］
B ．(-1,4］
C ．[-2,4)
D ．[0,4]
5．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4
BAD π
∠=，1AD =，则AC =（ ）
A ．5
B ．22
C ．65
D ．2
6．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．
B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．
C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．
7．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则
()1(2)(3)(2020)f f f f +++
+=（ ）
A ．0
B ．1
C ．673
D ．674
8．已知集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则(
)A
B C ⋃＝（ ）
A ．{2，3，4，5}
B ．{2，3，4，5，6}
C ．{1，2，3，4，5，6}
D ．{1，3，4，5，6，7}
9．函数cos ()cos x x
f x x x
+=
-在[2,2]ππ-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知实数,x y 满足约束条件11220220
x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪
⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是
A ．2-
B ．72
-
C ．1
D ．4
11．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．
12
B ．
45
C ．38
D ．
34
12．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．
2133
a b + B ．1
233
a b +
C ．
3455
a b + D ．
43
55
a b + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．(1)n x +
展开式中的系数的和大于8而小于32，则n =______．
14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,3AD DD AB ===，E ，F ，G 分别为11,,AB BC C D 的中点,点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是________________.
15．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为
16．如果函数()()()2
2281f x m x n x =-+-+（m ,n R ∈且2m ≥,0n ≥）在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减,那么mn 的最
大值为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数，将曲线C 经过伸缩变换112x x y y =⎧⎨
=⎩
后得到曲线1C .在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 50ρθρθ+-=. （1）说明曲线1C 是哪一种曲线，并将曲线1C 的方程化为极坐标方程；
（2）已知点M 是曲线1C 上的任意一点，又直线l 上有两点E 和F ，且||5EF =，又点E 的极角为2
π
，点F 的极角为锐角.求： ①点F 的极角；
②EMF ∆面积的取值范围.
18．（12分）如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．
（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ； （Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．
（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为21
21
，若存在求出EN 的长，若不存在说明理由． 19．（12分）已知02
π
ϕ<<，函数()()23
sin 2cos 2
f x x x ϕ=
+-． （1）若3
π
ϕ=，求()f x 的单调递增区间；
（2）若164f π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，求sin ϕ的值． 20．（12分）如图，四边形ABCD 中，2
ADC π
∠=，2AD AB BC CD ===，AE EC =，沿对角线AC 将ACD
∆翻折成ACD ∆'，使得BD BC '=.
（1）证明：BE CD ⊥'；
（2）求直线BE 与平面ABD '所成角的正弦值. 21．（12分）已知()2
21f x x x =+-.
（1）解关于x 的不等式：()2x
f x x
>
； （2）若()f x 的最小值为M ，且(),,a b c M a b c R +
++=∈，求证：222222
2a b a c c b c b a
+++++≥.
22．（10分）已知抛物线()2
:20C y px p =>，直线1y x =-与C 交于A ，B 两点，且8AB =.
（1）求p 的值；
（2）如图，过原点O 的直线l 与抛物线C 交于点M ，与直线1x =-交于点H ，过点H 作y 轴的垂线交抛物线H 于点N ，证明：直线MN 过定点.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解题分析】
依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【题目详解】
解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++
112PE PF EF a =++-
1224PF a b ≥-=
()12242PF a b a c ∴=+>+
所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >
所以22
24
3
c e a =>
所以23
3e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
故选：A
【题目点拨】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题. 2．A 【解题分析】 将
整理为
，根据的范围可求得
；根据
，结合
的值域和
的图象，可知
，解不等式求得结果.
【题目详解】
当
时，
又，，
由
在
上的值域为
解得：
本题正确选项： 【题目点拨】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式. 3．A 【解题分析】
联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【题目详解】
联立方程22
22
11
y x a b y x a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，
不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA ·BF =0， 因为(),BA b a =，(),BF b c =-，
由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=， 因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以2a 可得，210e e +-=， 解得e =
5-1
2
或15e --=，
所以该椭圆的离心率为5-1
2
. 故选：A 【题目点拨】
本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 4．B
【解题分析】 作出可行域，1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【题目详解】
作出可行域，如图阴影部分（含边界），
1
y x
+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)
410
QA k --=
=-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题
1
y x
+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．
5．D 【解题分析】
在ABD ∆中，由正弦定理得10sin B =
5cos cos 4ADC B π⎛⎫
∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC .
【题目详解】
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4
AD BD B π=，得10sin B =BD AD >，所以B 为锐角，所以310
cos B =5cos cos 45
ADC B π⎛⎫
∴∠=+=
⎪⎝⎭， 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，
故选：D 【题目点拨】
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 6．C 【解题分析】
利用图表中的数据进行分析即可求解. 【题目详解】
对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确； 对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B 正确； 对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误； 对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量1
4067.43815.5740001 6.6%
⨯≈<+，故D 正确.
故选：C. 【题目点拨】
本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题. 7．B 【解题分析】
由题知()f x 为奇函数，且()()120f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为3，分别求出
()00f ，=()11f =，()21f =-，知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.
【题目详解】
因为()f x 为奇函数，故()00f =；
因为()()120f x f x ++-=，故()()()122f x f x f x +=--=-， 可知函数()f x 的周期为3；
在()()120f x f x ++-=中，令1x =，故()()211f f =-=-， 故函数()f x 在一个周期内的函数值和为0， 故(1)(2)(3)(2020)(1)1f f f f f ++++==.
故选：B.
本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 8．C 【解题分析】
根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【题目详解】
集合A ＝{x ∈N |x 2＜8x }＝{x ∈N |0＜x ＜8}， 所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7} B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}， 故
A
C ＝{1，4，5，6}，
所以(
)A
B C ⋃＝{1，2，3，4，5，6}.
故选：C.
【题目点拨】
本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题. 9．A 【解题分析】
因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ． 10．B 【解题分析】
作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设23z x y =-，则2133y x z =
-，易知当直线21
33
y x z =-经过点D 时，z 取得最小值， 由1220x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得1
12
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D -，所以min 172(1)322z =⨯--⨯=-，故选B ．
11．C 【解题分析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【题目详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为,x y ，以12：00点为开始算起，则有5x y y x ≤⎧⎨-≤⎩
，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为： 11101010105532210108
P
. 故选：C 【题目点拨】
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.
12．B
【解题分析】
由CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得
BD CB DA CA
=，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【题目详解】
CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得
BD CB DA CA
=， 又CB a =，CA b =，2a =，1b =，
2,2BD BD DA DA ∴=∴=. ()
22123333CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+. 故选：B .
【题目点拨】
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．4
【解题分析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.
【题目详解】
观察式子可知
018232n n n n n C C C <++⋅⋅⋅=<，4n ∴=，
故答案为：4.
【题目点拨】
该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.
14 【解题分析】
如图，连接11,,AC D A D C ，证明平面1//ACD 平面EFG .因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上. 当1D P AC ⊥时.线段1D P 的长度最小，再求此时的1D P 得解.
【题目详解】
如图，连接11,,AC D A D C ，
因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点，
所以//AC EF ，EF ⊄平面1ACD ，
则//EF 平面1ACD .因为1//EG AD ，
所以同理得//EG 平面1ACD ，又EF
EG E =. 所以平面1//ACD 平面EFG .
因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上.
在1ACD △中，12
2111272,2,2,22222AD C AD AC CD S ⎛⎫====-= ⎪ ⎪⎝⎭， 故当1D P AC ⊥时.线段1D P 的长度最小，最小值为7
72122
=⨯. 7 【题目点拨】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．250x y +-=
【解题分析】
根据向量共线定理得A,B,C 三点共线，再根据点斜式得结果
【题目详解】
因为OC OA OB αβ=+,且α+β=1，所以A,B,C 三点共线，
因此点C 的轨迹为直线AB:131(3)250.31
y x x y --=-∴+-=+
【题目点拨】
本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
16．18
【解题分析】
根据函数单调性的性质,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式,利用基本不等式求解即可.
【题目详解】
解:①当2m =时, ()()281f x n x =-+,
()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减, 则80n -<,即08n ≤<,
则016mn ≤<.
②当2m >时, ()()()2
2281f x m x n x =-+-+, 函数开口向上,对称轴为()()288222
n n x m m --=-=---, 因为()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减, 则822
n m --≥-, 因为2m >,则()()822n m --≥-,
整理得212m n +≤,
又因为2m >,0n ≥
则2m n +≥
所以
22m n +≥即22212221822
m n mn +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤=, 所以18mn ≤
当且仅当3,6m n ==时等号成立.
综上所述,mn 的最大值为18.
故答案为:18
【题目点拨】
本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.1C 的极坐标方程为2ρ=（2）①
8π
②5⎤-+⎥⎣⎦ 【解题分析】
（1）求得曲线C 伸缩变换后所得1C 的参数方程，消参后求得1C 的普通方程，判断出1C 对应的曲线，并将1C 的普通方程转化为极坐标方程.
（2）
①将E 的极角代入直线l 的极坐标方程，由此求得点E 的极径，判断出EOF ∆为等腰三角形，求得直线l 的普通方程，由此求得4FEO π
∠=，进而求得38
FOE π∠=，从而求得点F 的极角. ②解法一：利用曲线1C 的参数方程，求得曲线1C 上的点M 到直线l 的距离d 的表达式，结合三角函数的知识求得d 的最小值和最大值，由此求得EMF ∆面积的取值范围.
解法二：根据曲线1C 表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆1C 上的点到直线l 的距离的最大值和最小值，进而求得EMF ∆面积的取值范围.
【题目详解】
（1）因为曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数）， 因为11
,2x x y y =⎧⎨=⎩则曲线1C 的参数方程112cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩ 所以1C 的普通方程为22
114x y +=.所以曲线1C 为圆心在原点，半径为2的圆.
所以1C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=. （2）①点E 的极角为2
π，代入直线l 的极坐标方程cos sin 50ρθρθ+-=得点E 极径为5ρ=，且||5EF =，所以EOF ∆为等腰三角形，
又直线l 的普通方程为50x y +-=，
又点F 的极角为锐角，所以4FEO π
∠=，所以38
FOE π∠=，
所以点F 的极角为3288
π
ππ-=. ②解法1：直线l 的普通方程为50x y +-=.
曲线1C 上的点M 到直线l 的距离
d ==. 当sin 14πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即24k π
απ=+（k ∈Z ）时， d
22=-. 当sin 14πα⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭，即324
k παπ=-（k ∈Z ）时， d
2=+. 所以EMF ∆
面积的最大值为1525224⎛⎫⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
； 所以EMF ∆
面积的最小值为1525224⎛⎫⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
； 故EMF ∆
面积的取值范围5,544⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
. 解法2：直线l 的普通方程为50x y +-=.
因为圆1C 的半径为2，且圆心到直线l
的距离2d ==，
因为22
>，所以圆1C 与直线l 相离. 所以圆1C 上的点M 到直线l
的距离最大值为2d r +=
+，
最小值为22
d r -=-.
所以EMF ∆面积的最大值为15252⎫⨯⨯=+⎪⎪⎝⎭
；
所以EMF ∆面积的最小值为1525224⎛⎫⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭
；
故EMF ∆面积的取值范围5,544⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
. 【题目点拨】
本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
18．（Ⅰ）证明见解析；；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，||1EN =，使直线CN 与平面BCF 所成
. 【解题分析】 （Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，
OB 为y 轴，OF 为z 轴，
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF
上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为
21
，设EN t =．利用向量法能求出结果． 【题目详解】
（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ， ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，
//EF MP =
∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴， EM ⊂/平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，
//EM ∴平面ACF ．
（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，
在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，
//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，
FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，
以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，
(0B ，1，0)，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =1-，0)，(0BE =，0，1)，(0BF =，1-，1)，
设平面BCE 的法向量(n x =，y ，)z ，
则·30·
0n BC x y n BE z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =0)， 设平面BCF 的法向量(m a =，b ，)c ，
则·30·
0m BC a b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1a =，得(1,3,m =， 设二面角E BC F --的平面角为θ， 则||427cos ||||747
m n m n θ===．
∴二面角E BC F --的余弦值为7
．
（Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为
21，设||EN t =．
则(0N ，1t -，1)，(CN =-1t -，1)，平面BCF 的法向量(1,3,m =，
2|||33||cos ,|||||4(17CN m t CN m CN m ∴<>===+，
解得1t =-
∴线段EF 上是存在一点N ，||1EN =，使直线CN 与平面BCF ．
【题目点拨】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（1）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2332+【解题分析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()11sin 2262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，然后解不等式()222262k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+≤+∈，可得出函数()y f x =的单调递增区间；
（2）由164f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得出3sin 33
πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，并求出cos 3πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，利用两角差的正弦公式可求出sin ϕ的值. 【题目详解】
（1）当3π
ϕ=时，()233131cos 22cos sin 22322x f x x x x x π⎫+⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311112cos 2sin 242262
x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 由()222262k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+≤+∈，得()36k x k k Z π
π
ππ-+≤≤+∈，
因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦； （2）s 3331in 6244f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33sin 33
2πϕ⎛⎫∴+=< ⎪⎝⎭， 02π
ϕ<<，5336π
π
πϕ∴<+<，5236πππϕ∴<+<，6cos 33πϕ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭
， 13332sin sin sin cos 3323236ππππϕϕϕϕ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
． 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题．
20．（1）见证明；（2）
36
【解题分析】
（1）取CD '的中点K ，连,EK BK .可证得EK CD ⊥'，BK CD ⊥'，于是可得CD '⊥平面BKE ，进而可得结论成立．（2）运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值．
【题目详解】
（1）证明：取CD '的中点K ，连,EK BK .
∵AE EC =，
∴//EK AD '．
又AD CD '⊥'，
∴EK CD ⊥'.
在BCD ∆'中，BC BD ='，
∴BK CD ⊥'．
又EK BK K ⋂=，
∴CD '⊥平面BKE ，
又BE ⊂平面BKE ，
∴BE CD ⊥'.
（2）解法1：取AD '的中点F ，连结,EF BF ，
∵AE EC =，
∴//EF CD ',
又CD AD '⊥'，
∴AD EF '⊥．
又由题意得ABD '为等边三角形，
∴AD BF '⊥，
∵BF EF F ⋂=，
∴AD '⊥平面BEF ．
作EH BF ⊥，则有EH ⊥平面ABD '，
∴EBF ∠就是直线BE 与平面ABD '所成的角．
设1CD '=，则12
EF =， 在等边ABD '中，323BF =
= 又在ABC 中，2,AC 5AB BC ===22511222BE ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
． 在EBF 中，由余弦定理得2
2211132233cos 611232EBF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯， ∴3sin 6
EBF ∠=， ∴直线BE 与平面ABD '所成角的正弦值为
36．
解法2：由题意可得EB ACD ⊥'平面，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz .
不妨设1CD =，则在直角三角形ACD '中，可得2,AC 5AD ='=
作D G AC '⊥于G ，则有平面几何知识可得2535D G EG EC CG ==-='， ∴35250,105D ⎛' ⎝⎭
． 又可得50,,02A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，112B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. ∴4525AD ⎛
= '⎝⎭,1152AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
． 设平面ABD '的一个法向量为(),y,m x z =， 由452505115022m AD y z m AB x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩'，得552x y z y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
令11y =，则得(5,11,211m =--． 又112EB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
设直线BE 与平面ABD '所成的角为θ， 则3sin cos ,6
||m EB
m EB m EB θ=== 所以直线BE 与平面ABD '3
【题目点拨】
利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量．解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角．求解时注意向量的夹角与线面角间的关系．
21．（1）()),01,-∞⋃
+∞；（2）证明见解析. 【解题分析】
（1）分类讨论求解绝对值不等式即可；
（2）由（1）中所得函数，求得最小值M ，再利用均值不等式即可证明.
【题目详解】
（1）当0x <时，()2x f x x
>等价于2212x x +->-，该不等式恒成立， 当01x <≤时，()2x f x x
>等价于220x x ->，该不等式解集为φ，
当1x >时，()2x f x x >
等价于2222x x +->，解得1x >，
综上，0x <或1x >
，
所以不等式()2x f x x >的解集为())
,01,-∞⋃+∞. （2）()22
222,12122,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+-=⎨-+<⎩， 易得()f x 的最小值为1，即1a b c M ++==
因为a ，b ，c +∈R ， 所以222a c ac b b +≥，222b a ab c c +≥，222c b bc a a
+≥， 所以222222a c b a c b ac ab ab bc ac bc b c a b
c c a b a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222a b c ≥++=， 当且仅当13
a b c ===
时等号成立. 【题目点拨】
本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式，涉及利用均值不等式证明不等式，属综合中档题.
22．（1）2p =；（2）见解析
【解题分析】
（1）联立直线和抛物线221
y px y x ⎧=⎨=-⎩，消去x 可得2220y py p --=，求出122y y p +=，122y y p =-，再代入弦长公式计算即可.
（2）由（1）可得24y x =，设2001(,)4
M y y ，计算直线OM 的方程为04y x y =，代入1x =-求出04H y y =-，即可求出04N y y =-，再代入抛物线方程24y x =，求出200
44(,)N y y -，最后计算直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，化简可得到恒过的定点.
【题目详解】
（1）由221
y px y x ⎧=⎨=-⎩，消去x 可得2220y py p --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y p +=，122y y p =-.
AB ∴=
8==，
解得2p =或4p =-(舍去)，
2p ∴=.
（2）证明：由（1）可得24y x =，设2001(
,)4M y y ， 所以直线OM 的方程为0
4y x y =， 当1x =-时，04H y y =-，则0
4N H y y y ==-， 代入抛物线方程24y x =，可得204N x y =
，20044(,)N y y ∴-， 所以直线MN 的斜率0002200204
4444y y y k y y y +
==--，
直线MN 的方程为20002041()44
y y y x y y -=--， 整理可得()020414
y y x y =--，故直线MN 过定点()1,0. 【题目点拨】
本题第一问考查直线与抛物线相交的弦长问题，需熟记弦长公式.第二问考查直线方程和直线恒过定点问题，需有较强的计算能力，属于难题.。