2021届江西省南昌市高三摸底测试数学(理)试题(解析版)
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同理可得，当直线 与 、 都相切时有： ，
综上所述，只需 有两解，
令 ，则 ，
故当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上递增，在 递减，
故 ，
所以只需满足 即可.
故选：C.
【点睛】
本题考查曲线的切线方程，考查两条曲线的公切线问题，难度较大.解答时，设出直线方程及切点坐标，根据导数的几何意义，列出关于切点横坐标和斜率的方程组然后设法求解.
【详解】
圆 ： 整理得 ，
可知圆心为 ，半径为 ，且圆过原点 ，
根据圆的性质可得，弦 所对的圆周角 等于圆心角 的一半，
锐角 的面积为 ，
，
，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的性质，考查三角形面积公式，属于基础题.
12．已知曲线 ： ， ： ，若恰好存在两条直线直线 、 与 、 都相切，则实数 的取值范围是（）
所以 的面积为 .
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
18．如图，四棱柱 中，底面 是菱形， ，对角面 是矩形，且平面 平面 ．
（1）证明：四棱柱 是直四棱柱；
（2）设 ，若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由面面垂直得 平面 ，得直棱柱；
【答案】7576
【解析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得 ．
【详解】
∵ 成等比数列， ，∴ ，
又 ， 为“和谐递进数列”，∴ ， ， ， ，…，
∴数列 是周期数列，周期为4．
∴ ．
故答案为：7576．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．
16．集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围_________．
A．他们健身后，体重在区间 内的人数增加了4个
B．他们健身后，体重在区间 内的人数没有改变
C．因为体重在 内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响
D．他们健身后，原来体重在区间 内的肥胖者体重都有减少
【答案】C
【解析】根据给定的柱状图分别求得健身前后各个区间上的人数，进行比较，即可求解.
二、填空题
13． 展开式中 的系数为__________．
【答案】
【解析】利用二项展开式的通式求解.
【详解】
因为 的展开式的通式为： ，
当 时， .
故展开式中 的系数为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查二项式的展开式通项公式，考查指定项系数的求解，较简单.
14．已知向量 ， ，则 _________．
于是 ．
故二面角 的余弦值为 ．
【点睛】
本题考查直棱柱的概念，考查用空间向量法求二面角．建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角是求解的常用方法．
19．某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了 ， ， 三个城市，三个城市从业人数分别为10万，20万，20万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取1000个样本进行调查，并分析 、 城市的样本数据后得到以下频率分布直方图：
【解析】（1）根据 ， ， 三个城市人数比,用分成抽样得出各城市因抽取的人数.
再根据频率分布直方图求出 城市月收入平均值；
（2）设 可能取值有0，1，2，3，4，求出概率 ， ，
， ， ，列出随机变量 的分布列再求数学期望即可.
【详解】
解:（1）由题， ， ， 三个城市人数比为 ，
所以 城市应抽取200人， 城市应抽取400人， 城市应抽取400人，
（1） ， ， 三个城市应各抽取多少个样本？并估计 城市从业人员月收入的平均值；
（2）用频率估计概率， ， 城市从业人数视为无限大，若从 ， 两城市从业人员中各随机抽取2人， 表示这抽取的4人中月收入在3000元以上的人数，求 的分布列和期望．（用分数作答）
【答案】（1） 城市应抽取200人， 城市应抽取400人， 城市应抽取400人， 城市月收入平均值约为2900元；（2）分布列见解析， .
三、解答题
17．已知 中， ， 是边 上一点， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）在 中，由正弦定理求出 的长；
（2）在 中，求出 ，由余弦定理求出 ，再由三角形面积公式求解即可.
【详解】
（1）由已知 ，
则 中， ；
（2） 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，解得 ，
10．若函数 有唯一零点，则 （）
A． B．2或 C． D．2
【答案】D
【解析】由函数的奇偶性结合已知，可得 ，即 ，从而可求出 的值，然后代入函数中验证即可
【详解】
解： 的定义域为 ，
，
所以 为偶函数，又 有唯一零点，
根据偶函数的对称性得 ，即 ，
，解得 或 ，
当 时， ，
因为 ，
所以根据零点存在性定理可知 的零点不唯一，
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定形式判断即可.
【详解】
由全称命题的否定为特称命题可知：“ ，都有 ”的否定为：“ ，使得 ”.
故选：B.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，考查学生对全称命题和特称命题的理解，属于简单题.
3．爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位： )情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（）
【答案】
【解析】由 得 ，然后将 代入求解即可.
【详解】
因为 ，则 ，即 ,
所以 ，将 代入得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量垂直的应用，属于简单题.
15．无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 为“和谐递进数列”．已知 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列， ， ，则 _________．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【点睛】
本题考查分层抽样,考查根据频率分布直方图求平均数,以及求分布列和数学期望,属于中档题.
20．已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别是 、 ，其离心率为 ，以 为圆心以1为半径的圆与以 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆上顶点 斜率为 的直线 与椭圆的另外一个交点为 ，若 的面积为 ，求直线 的方程．
【详解】
由已知得， ，双曲线 的离心率 ，又由 ，则 ，化简得 ，故 的取值范围为
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的方程以及双曲线的几何性质，主要考查学生的计算能力，属于基础题
7．如图，图中小正方形的边长为1，粗线是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图还原几何体，结合圆锥和三棱锥的体积公式即可得解.
（2）由四边形 是菱形，∴ ．
设 ， 底面 ，
从而 ， ， 两两垂直．
如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．
不妨设 ，因为 ，所以 ， ，又 ，
于是 ， ．易知， 是平面 的一个法向量．
设 是平面 的一个法向量，则 即
取 ，则 ， ，所以 ．
设二面角 的平面角为 ，易知 是锐角，
【答案】
【解析】由 都不是空集，求得 ，再根据 ，得出 ，即可求得实数 的取值范围.
【详解】
由题意，集合 ， ，
因为 ，可得 都不是空集，则 ，解得 ，
要使得 ，则只需满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了根据集合的运算求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
【详解】
根据给定的健身前后的体重柱状图，可得健身前体重在区间有 人，健身后有 ，所以体重在区间 内的人数增加了4个，所以A正确；
由健身前体重在 的人数为 人，健身后有 ，所以健身前后体重在 的人数不变，所以B正确；
由健身前后体重再 和 的人数有明显变化，所以健身对体重有明显效果，所以C不正确；
由健身前体重在 的人数为 人，健身后为0人，所以原来体重在区间 内的肥胖者体重都有减少，所以D正确.
【详解】
设等差数列 的公差为d，
因为 ， ，所以 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．已知 ， 满足约束条件 ， ，则 （）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，利用图形确定 ，即可算出结果.
【详解】
由图象可得函数的最小正周期 满足 ，
所以该函数图象在y轴右侧的第一个对称轴 ，
又 ，
所以该函数图象在y轴右侧的第二个对称轴 ，且 ，
所以函数的最小正周期 满足 即 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了由三角函数的图象与性质确定函数的解析式，考查了运算求解能力，属于基础题.
【详解】
， ，显然 ，即 ， ，
，∴ ．∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查幂和对数的大小比较，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键，在不同类型的数比较大小时可借助中间值比较，如0，1，2等待．
9．已知函数 的部分图象如图所示，若 ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由图象结合三角函数的性质可得 ，即可得 ，再代入特殊点即可得 .
详解由图象可得函数的最小正周期t满足766t?????????????所以该函数图象在y轴右侧的第一个对称轴648tx??????又223ff???????????????所以该函数图象在y轴右侧的第二个对称轴12722312x????????????且7112f?????????所以函数的最小正周期t满足37341264t?????????????即t??所以22t????????sin2fxx???所以77sin211212f????????????????????所以73262kkz????????又2???所以3???
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如图，由图知直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，所以 .
故选：C
【点睛】
本题考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的思想，属于基础题.
6．若双曲线 的离心率 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线的离心率可以建立不等式 ，然后直接求解即可
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线 ， ，设 与 、 的切点坐标分别为 、 ，根据题目条件列出方程组 ，解得 ，同理可得 ，然后将问题转化为 有两解.然后构造函数 ，利用导数讨论 的单调性及最值，得出 的范围.
【详解】
设直线 ， ，设 与 、 的切点坐标分别为 、 ，
则有 ，可得 ，
故 ，整理得： ，
2021届江西省南昌市高三摸底测试数学（理）试题
一、单选题
1．已知 为虚数单位，则 （）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【解析】由复数的运算可得 ，再由复数模的概念即可得解.
【详解】
因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．命题：“ ，都有 ”的否定为（）
【详解】
由三视图画出直观图，如图，
该几何体是由半圆锥和三棱锥组合而成，
结合三视图可得该几何体的体积 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的体积，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于基础题.
8．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数和对数函数的性质比较大小，同时借助中间值2．
因为 百元，
所以 城市月收入平均值约为2900元；
（2） 可能取值有0，1，2，3，4，从 城从业人员中随机抽取一人，
月收入在3000元以上的概率为 ，从 城从业人员中随机抽取一人，
月收入在3000元以上的概率为 ，所以：， ， Nhomakorabea，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
4
所以随机变量 的数学期望 ．
（或者 ）
故 不合题意，舍去，
当 时， ，
所以 满足题意
所以 ，
故选：D.
【点睛】
此题考查函数的性质以及零点存在性定理的应用，考查计算能力，属于中档题
11．已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点， 为坐标原点，若锐角 的面积为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据圆的性质可得，弦 所对的圆周角 等于圆心角 的一半，利用面积公式求出 ，即可得出 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了统计图表的应用，其中解答中图表中的数据，分别计算求得健身前后各个区间的人数，进行比较是解答的关键，着重考查图表提取信息的能力，以及数据处理能力.
4． 为等差数列 的前 项和，满足 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式列方程即可得解.
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．设 ，写出各点坐标然后求出两个平面 和 的法向量，由法向量夹角的余弦可得二面角的余弦．
【详解】
（1）如图，平面 平面 ，且平面 平面 ．
因对角面 是矩形，所以 ，
由面面垂直的性质定理得 平面 ，
故四棱柱 是直四棱柱．
综上所述，只需 有两解，
令 ，则 ，
故当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上递增，在 递减，
故 ，
所以只需满足 即可.
故选：C.
【点睛】
本题考查曲线的切线方程，考查两条曲线的公切线问题，难度较大.解答时，设出直线方程及切点坐标，根据导数的几何意义，列出关于切点横坐标和斜率的方程组然后设法求解.
【详解】
圆 ： 整理得 ，
可知圆心为 ，半径为 ，且圆过原点 ，
根据圆的性质可得，弦 所对的圆周角 等于圆心角 的一半，
锐角 的面积为 ，
，
，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的性质，考查三角形面积公式，属于基础题.
12．已知曲线 ： ， ： ，若恰好存在两条直线直线 、 与 、 都相切，则实数 的取值范围是（）
所以 的面积为 .
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
18．如图，四棱柱 中，底面 是菱形， ，对角面 是矩形，且平面 平面 ．
（1）证明：四棱柱 是直四棱柱；
（2）设 ，若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）由面面垂直得 平面 ，得直棱柱；
【答案】7576
【解析】根据新定义得数列是周期数列，从而易求得 ．
【详解】
∵ 成等比数列， ，∴ ，
又 ， 为“和谐递进数列”，∴ ， ， ， ，…，
∴数列 是周期数列，周期为4．
∴ ．
故答案为：7576．
【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．
16．集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围_________．
A．他们健身后，体重在区间 内的人数增加了4个
B．他们健身后，体重在区间 内的人数没有改变
C．因为体重在 内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响
D．他们健身后，原来体重在区间 内的肥胖者体重都有减少
【答案】C
【解析】根据给定的柱状图分别求得健身前后各个区间上的人数，进行比较，即可求解.
二、填空题
13． 展开式中 的系数为__________．
【答案】
【解析】利用二项展开式的通式求解.
【详解】
因为 的展开式的通式为： ，
当 时， .
故展开式中 的系数为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查二项式的展开式通项公式，考查指定项系数的求解，较简单.
14．已知向量 ， ，则 _________．
于是 ．
故二面角 的余弦值为 ．
【点睛】
本题考查直棱柱的概念，考查用空间向量法求二面角．建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角是求解的常用方法．
19．某机构要对某职业的月收入水平做一个调研，选择了 ， ， 三个城市，三个城市从业人数分别为10万，20万，20万，该机构决定用分层抽样的方法从三个城市中抽取1000个样本进行调查，并分析 、 城市的样本数据后得到以下频率分布直方图：
【解析】（1）根据 ， ， 三个城市人数比,用分成抽样得出各城市因抽取的人数.
再根据频率分布直方图求出 城市月收入平均值；
（2）设 可能取值有0，1，2，3，4，求出概率 ， ，
， ， ，列出随机变量 的分布列再求数学期望即可.
【详解】
解:（1）由题， ， ， 三个城市人数比为 ，
所以 城市应抽取200人， 城市应抽取400人， 城市应抽取400人，
（1） ， ， 三个城市应各抽取多少个样本？并估计 城市从业人员月收入的平均值；
（2）用频率估计概率， ， 城市从业人数视为无限大，若从 ， 两城市从业人员中各随机抽取2人， 表示这抽取的4人中月收入在3000元以上的人数，求 的分布列和期望．（用分数作答）
【答案】（1） 城市应抽取200人， 城市应抽取400人， 城市应抽取400人， 城市月收入平均值约为2900元；（2）分布列见解析， .
三、解答题
17．已知 中， ， 是边 上一点， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）在 中，由正弦定理求出 的长；
（2）在 中，求出 ，由余弦定理求出 ，再由三角形面积公式求解即可.
【详解】
（1）由已知 ，
则 中， ；
（2） 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，解得 ，
10．若函数 有唯一零点，则 （）
A． B．2或 C． D．2
【答案】D
【解析】由函数的奇偶性结合已知，可得 ，即 ，从而可求出 的值，然后代入函数中验证即可
【详解】
解： 的定义域为 ，
，
所以 为偶函数，又 有唯一零点，
根据偶函数的对称性得 ，即 ，
，解得 或 ，
当 时， ，
因为 ，
所以根据零点存在性定理可知 的零点不唯一，
A． ，使得 B． ，使得
C． ，都有 D． ，都有
【答案】B
【解析】根据全称命题的否定形式判断即可.
【详解】
由全称命题的否定为特称命题可知：“ ，都有 ”的否定为：“ ，使得 ”.
故选：B.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，考查学生对全称命题和特称命题的理解，属于简单题.
3．爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位： )情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（）
【答案】
【解析】由 得 ，然后将 代入求解即可.
【详解】
因为 ，则 ，即 ,
所以 ，将 代入得 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查平面向量的数量积运算，考查平面向量垂直的应用，属于简单题.
15．无穷数列 满足：只要 ，必有 ，则称 为“和谐递进数列”．已知 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列， ， ，则 _________．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【点睛】
本题考查分层抽样,考查根据频率分布直方图求平均数,以及求分布列和数学期望,属于中档题.
20．已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别是 、 ，其离心率为 ，以 为圆心以1为半径的圆与以 为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆上顶点 斜率为 的直线 与椭圆的另外一个交点为 ，若 的面积为 ，求直线 的方程．
【详解】
由已知得， ，双曲线 的离心率 ，又由 ，则 ，化简得 ，故 的取值范围为
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的方程以及双曲线的几何性质，主要考查学生的计算能力，属于基础题
7．如图，图中小正方形的边长为1，粗线是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由三视图还原几何体，结合圆锥和三棱锥的体积公式即可得解.
（2）由四边形 是菱形，∴ ．
设 ， 底面 ，
从而 ， ， 两两垂直．
如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．
不妨设 ，因为 ，所以 ， ，又 ，
于是 ， ．易知， 是平面 的一个法向量．
设 是平面 的一个法向量，则 即
取 ，则 ， ，所以 ．
设二面角 的平面角为 ，易知 是锐角，
【答案】
【解析】由 都不是空集，求得 ，再根据 ，得出 ，即可求得实数 的取值范围.
【详解】
由题意，集合 ， ，
因为 ，可得 都不是空集，则 ，解得 ，
要使得 ，则只需满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了根据集合的运算求解参数的取值范围问题，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
【详解】
根据给定的健身前后的体重柱状图，可得健身前体重在区间有 人，健身后有 ，所以体重在区间 内的人数增加了4个，所以A正确；
由健身前体重在 的人数为 人，健身后有 ，所以健身前后体重在 的人数不变，所以B正确；
由健身前后体重再 和 的人数有明显变化，所以健身对体重有明显效果，所以C不正确；
由健身前体重在 的人数为 人，健身后为0人，所以原来体重在区间 内的肥胖者体重都有减少，所以D正确.
【详解】
设等差数列 的公差为d，
因为 ， ，所以 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
5．已知 ， 满足约束条件 ， ，则 （）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，利用图形确定 ，即可算出结果.
【详解】
由图象可得函数的最小正周期 满足 ，
所以该函数图象在y轴右侧的第一个对称轴 ，
又 ，
所以该函数图象在y轴右侧的第二个对称轴 ，且 ，
所以函数的最小正周期 满足 即 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了由三角函数的图象与性质确定函数的解析式，考查了运算求解能力，属于基础题.
【详解】
， ，显然 ，即 ， ，
，∴ ．∴ ．
故选：D．
【点睛】
本题考查幂和对数的大小比较，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键，在不同类型的数比较大小时可借助中间值比较，如0，1，2等待．
9．已知函数 的部分图象如图所示，若 ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】由图象结合三角函数的性质可得 ，即可得 ，再代入特殊点即可得 .
详解由图象可得函数的最小正周期t满足766t?????????????所以该函数图象在y轴右侧的第一个对称轴648tx??????又223ff???????????????所以该函数图象在y轴右侧的第二个对称轴12722312x????????????且7112f?????????所以函数的最小正周期t满足37341264t?????????????即t??所以22t????????sin2fxx???所以77sin211212f????????????????????所以73262kkz????????又2???所以3???
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如图，由图知直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，所以 .
故选：C
【点睛】
本题考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的思想，属于基础题.
6．若双曲线 的离心率 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用双曲线的离心率可以建立不等式 ，然后直接求解即可
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线 ， ，设 与 、 的切点坐标分别为 、 ，根据题目条件列出方程组 ，解得 ，同理可得 ，然后将问题转化为 有两解.然后构造函数 ，利用导数讨论 的单调性及最值，得出 的范围.
【详解】
设直线 ， ，设 与 、 的切点坐标分别为 、 ，
则有 ，可得 ，
故 ，整理得： ，
2021届江西省南昌市高三摸底测试数学（理）试题
一、单选题
1．已知 为虚数单位，则 （）
A．2B．1C．0D．
【答案】D
【解析】由复数的运算可得 ，再由复数模的概念即可得解.
【详解】
因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．命题：“ ，都有 ”的否定为（）
【详解】
由三视图画出直观图，如图，
该几何体是由半圆锥和三棱锥组合而成，
结合三视图可得该几何体的体积 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的体积，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于基础题.
8．设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数和对数函数的性质比较大小，同时借助中间值2．
因为 百元，
所以 城市月收入平均值约为2900元；
（2） 可能取值有0，1，2，3，4，从 城从业人员中随机抽取一人，
月收入在3000元以上的概率为 ，从 城从业人员中随机抽取一人，
月收入在3000元以上的概率为 ，所以：， ， Nhomakorabea，
，
，
所以随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
4
所以随机变量 的数学期望 ．
（或者 ）
故 不合题意，舍去，
当 时， ，
所以 满足题意
所以 ，
故选：D.
【点睛】
此题考查函数的性质以及零点存在性定理的应用，考查计算能力，属于中档题
11．已知直线 与圆 ： 相交于 ， 两点， 为坐标原点，若锐角 的面积为 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据圆的性质可得，弦 所对的圆周角 等于圆心角 的一半，利用面积公式求出 ，即可得出 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了统计图表的应用，其中解答中图表中的数据，分别计算求得健身前后各个区间的人数，进行比较是解答的关键，着重考查图表提取信息的能力，以及数据处理能力.
4． 为等差数列 的前 项和，满足 ， ，则 （）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为d，由等差数列的通项公式及前n项和公式列方程即可得解.
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系．设 ，写出各点坐标然后求出两个平面 和 的法向量，由法向量夹角的余弦可得二面角的余弦．
【详解】
（1）如图，平面 平面 ，且平面 平面 ．
因对角面 是矩形，所以 ，
由面面垂直的性质定理得 平面 ，
故四棱柱 是直四棱柱．