高一下册数学余弦定理学案

余弦定理（1）
一、课题：余弦定理（1）
二、教学目标：
知识目标：使学生能初步运用正弦定理和余弦定理解斜三角形，并会利用计算器解决斜三角形的计算问题。

能力目标：在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力．
情感目标：通过多样的课堂活动，激发学生探索未知知识的兴趣，让他们享受到探究未知世界的乐趣。

三、教学重点：余弦定理的证明及其运用。

四、教学难点：能灵活运用正弦定理和余弦定理解斜三角形。

五、教学过程：
（一）创设情景激发认知冲突
1.1提出问题：电脑展示动态图配合教师口述
宜万铁路建设中要设计隧道，须测出山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当位置A,再利用经纬仪测出A对出脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC，你知道工程技术人员是怎样计算的吗？
1.2化归问题（师生共同完成）已知两边和它们的夹角如何求
出第三边？
1.3特殊探路：在Rt ABC ∆中(若90C =)有：222c a b =+，在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢？
（二）探究、猜想
当角A 变化时考虑极端情形：A ＝0和A ＝180度，对比A ＝90度结果，猜想A bc c b a cos 2222-+=
（三）余弦定理的推导：
证明恒等式通常用什么方法？从结构上看什么地方见过？联系向量的数量积？
[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？
[推导] 如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ．
∵+= ∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+
222AB AB BC BC =+⋅+
222||||cos(180)AB AB BC B BC =+⋅-+
22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；
同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 即：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

2．强调几个问题：
A B C c a b
①熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等； ②知三求一；
③当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；
④变形：
bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， ac c b a C 2cos 2
22-+=．
即：
3．余弦定理的应用范围：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

4．例题分析：
例1 在ABC ∆中，已知7=a ，10=b ，6=c ，求A 、B 和C （精确到 1）．
解：∵222222
1067cos 0.72522106b c a A bc +-+-===⨯⨯， ∴44A ≈，
又∵2222227106113cos 0.807122710140
a b c C ab +-+-====⨯⨯， A bc c b a cos 2222-+=
B ac a c b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=ab C 2cos =
∴36A ≈，
∴180()100B A C =-+=．
例2 在△ABC 中，已知 2.730a =， 3.696b =，8228C '=，解这个三角形（边长保留四
个有效数字，角度精确到1'）．
解：由：2222cos c a b ab C =+-222.730 3.6962 2.730 3.696cos8228'=+-⨯⨯⨯ 得 4.297c =，
又∵222222
3.696
4.297 2.730cos 0.776722 3.696 4.297
b c a A bc +-+-===⨯⨯， ∴392A '=，
∴180()5830B A C '=-+=．
例 3 已知ABC ∆的三内角,,A B C 成等差数列，而,,A B C 三内角的对边,,a b c 成等比数列，
证明：ABC ∆为正三角形。

解：∵,,A B C 成等差数列，
∴2B A C =+，又∵180A B C ++=，
∴60B =，
又∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =，
又由余弦定理知：
222222cos 2cos60b a c ac B a c ac =+-=+-22a c ac =+-
∴ac =22a c ac +-，∴2()0a c -=，∴a c =，
所以，ABC ∆为正三角形。

六、课堂练习：P131练习3，4．
七、课堂小结：1．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不
同作用，在解题时正确选用；
2．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角
形的形状；注意熟悉并应用余弦定理的向量形式。