第四章__联立方程模型(计量经济学-北京师范大学,袁强).docx

Chapter4联立方程模型
我们关注的目标Y可能不止一个，而是多个。

或者其中某一目标与其它目标冇内在联系，如杲我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。

例如, 我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要知道该商品的供给曲线和需求曲线。

自然，也就存在多因多果的关系问题。

从内生性问题角度看，某-•解释变量&从另一方面考察能成为Y的结果，那么Y就是原因，因为&中有Y的成分, 从而E （u/Xj）二0不成立（内生性问题的第3种情况）。

在第二章现代观点理念的陈述屮，把Y看成是一个随机向量，所冇的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。

但由于因变量Y的个数的增加，也就带来了许多“单方程串线性冋归模型”不曾有的问题。

木章主要讨论联立的线性系统。

内容有，联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别, 以及一些专题。

其中GMM方法是木章的特色。

它把2SLS的方法又提高了一步。

一、•基本概念和模型
系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。

线性系统则认为它们的联系是线性的。

变量：描述系统状态的基本要素。

变量分成两类。

一类是内生变量，含义是, 一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。

内生变量一般是系统要关注的对象。

另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。

它又分成：（1）外生变量，它的值曲系统的外部给定；（2）滞后的内生变量, 它的值由内生变量的前期确定。

有时，（1）（2）不加区分统称为外生变量。

不过这两种内生变量冇实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。

线性模型：系统中的变量通过线性方程或随机误差项联系，称为联系系统的线性模型。

模型分成简约式（reduced formed）和结构式（structure form）两种：
1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。

2、结构式：每个方向（方程式）由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。

结构式有以确定的经济内内涵，它们从理论模型简化而成。

一般把结构式分成四类：
（1）行为方程&可加随机项
（2）技术方程丁
（3）平衡方程i
（4）定义方程 / 不町加随机项
每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。

系统的描述：
Y表示内生变量，设共有G个内生变量：K ........... Y G
X表示先决变量，设有M个自变量：X|……X’w
U表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数來定。

例：简单的宏观消费一投资模型：
消费方程：C t =a x+aj t+u t
投资方程：/严〃+02(賂-冷2)+ E
平衡方程：乙二厶+G+G 贝h内生变量：G，/,, Y t
先决定量：Y t_v Y t_2 G,
随机误差：
联立方程模型主要分成三类：
(1)似无关模型(Seemingly Unrelated Regression) (SUR 模型)
r乙
I Y2 =X2/32+U2
I Y G=X G0G+%
模型屮每个方程都是reduced form,.ft冇不同的先决解释变量和因变量，并冇自己的参数值0”g=l……Go相关联的仅是误差项。

可以理解为系统有一个相同的环境，且系统由间因果关系构成。

曲此设定：
E{u s I X.……X G)=0, g=l……G
这是一个很强的假定，意味着任意s与X/不相关，或弱一些的假定是：E([/JXJ=O, g=l……G,但不要求S……人不相关。

总体上，匕可能与其他外生变量(g不等于j)和
关，似无关的含义是后一种含义。

(2)面板数据模型(Panel Data) ( PD模型)
乙=XQ+q, t=l,2……T
这里，先决解释变量，因变量和参数值都相同，区别的仅在于t,一般理解为不同吋段，也可以是其它指标如不同地区、城市等，/可理解为不同的t导致不同的随机课差。

和可以不独立，也可以不同分布等，视各种实际情况而定。

并假定：E(/ IXj = 0, = l,……T
注：1、这种简单形式的面板数据模型，可以看成是一•类特殊的联立方程。

面板数据模型的联立形式在第五章中介绍。

SUR和PD是联立方程的特殊形式，其特点为每个
内生变量丫匚都可以写成单方程的线性形式，回归正确设定。

区别是：SUR模型每个¥;都有自己的外生变量，而PD则是所有*都有相同的外生变量。

2、另一种介于SUR和PD模型的联立式称为跨方程的联立式，含义是：如果某乙•与％有屮有相同的先决变量，且参数值相同，那么可将乙与势合并成跨方程的联立式，如：
…X«00…0、他
、+
,0****X“…X伙丿'0（2）
丿5丿
并将其看成是一个整体。

（3）同时性模型（Simultanious Equation）（SEM）
Y\ = 丫⑴力⑴ +Z（i）〃（］）+〃i
、Y G = Y（G）力（G） + Z ⑹ 〃（G） + U G
这里，Y⑴是指不包括h在内的其它变量的部分（N）uY）；
Z⑷是批先决变量的部分（X⑷u X ）；
加）和切）是蚣和Z⑹的参数;
/是随机误羌，即同时性模型是把每个内生变量写成其它部分内生变量和先决变量的线性式。

因为SEM模型中右边方程含冇其它内生变量，所以内生变量齐…島是同时确定的。

它不能象（1）和（2）那样，单独就可以确定。

如果我们能够通过线性变换把SEM中的内生变量部分消去，得到它的简约式，那么SEM也可以象SUR和PD那样处理。

我们把SEM的每个Yh移到方程的右边，使得模型形式上仍可看成一个方程左边是某内生变量，右边是其先决变量线性组合的联立方程系统，得到统一的紧凑形式：
yp + ZA + f/ =0
这里，Y是IX G矩阵，Z是1XM矩阵，是可以观测抽样的；
P是GXG矩阵，△是MXG矩阵，是未知参数；
U= （U\…是1XG矩阵，是结构误差。

假定P可逆,否则内生变量Y中的选择至少冇一个是多余的，且工=EU f U 时结构谋弟的协方弟阵，是GXG的非奇异矩阵，那么模型可以方便地转化成简约式：丫= z（-Apj）+t/（-pT）=zn+u
因为P 与△是未知参数，且有经济含义，系统可识别问题的提法是：
当我们从简约式得到□的估il n,在什么条件下，我们可以从n 得到卩和4
的估计P 和A,称为系统的可识别问题。

这个问题，我们放到后而讨论，先讨论 联立方程模型的估计和检验。

二、•联立方程的估计和检验
1、联立方程的OLS 估计与检验
(1)将SUR 模型表示成矩阵形式如F ： 对任意
的观测个体(或第i 次观测),
X
0 0 0、
Y.= ■ ■ I
■
0 • X/2 • • • 0
爲+
1
Y
■ ■ 0 • • • 0 0 0
0 0 X iG 丿
\0G 丿 0G
丿
kl k2
kG
(注：kl, k2,
kG 分别有kl, k2, kG 列)
记成 Yj=XQ+Uj, 这里 X,是 GX (kl+ .................. kG) =GXK 矩阵。

(2)将PDM 模型统一表示成:
(3)将SEM 模型表示成矩阵形式如下:
S )X ⑴) 0 0 0 ]
■ ■ ■
(Y(2)X (2))
•
• • • 0
0(2)
+ %
: 0 • • • 0 0
• I
0 0 0 g ⑶)' (0(G)丿
0G 丿
三种表述统一成：近=X,0・+S ，这样联立方程类似于单方程的回归模型。

若采用
ols 方法，
假定：Solsl:
= 0 Sols2: A 三
J 非奇异；
则类似于单方程模型：
②从母体屮随机抽样，i=l,……,N,则得到
这里X,是TXK 矩阵。

写成矩阵表达,Sols^ = (XX )_,
X Y.
对SUR ：这里X 是NGXK 矩阵，X =
K = k 、+ …+ kg g= 1，2 ... , G.
对PD ： X=:是NTXK 矩阵；
N T 丿
对SEM ： X 是工具变量Z 。

(3) 远(0-处丄―N
这里，B = E (X ；t/Q ；xJ
(4) B 的渐近协方差估计P
V = (x ,xy(xvu ,x\x f
xy =Y-XP
/称为稳健的协方差佔计。

注：1)在联立方程模型中，对误差项协差矩阵G = £(/•/•］是没有任何限 制的，故所以ols 方法仅能保证p 是无偏、一致的，但不一定是有效 的。

由于。

的复杂性，一般ols 方法估计的效果是很差的。

2)关于检验,利用Wald 统计量W = (cp-q) (cPcT(”p -q),对不同的问
题选择适当的c 和q, Hj.c0 = q,可进行关于0的一切线性组合的检验，只耍 用0代替V,不再需要任何其它假定。

2、联立方程的GLS 估计与检验
Sols 估计尽管皮实，但毕竟有效性差。

如果对随机误差冇更强的假定，则可 对Sols 估计进行进一步的改进，称为广义最小二乘估计。

假定：SGLS1： E (X, 0/) = 0,含义是S 中毎个元素同Xj 中毎个元素都不相
,X 嫁是NXK 矩阵,
计，代入到上述表达式当中，便可得到可行的广义最小二乘估计FGLSp
B FGLS =(x r
(I N ®z)x)j(x 亿 QQ-1^)
(*)
A
步骤：(1) Y on X 得:◎和 0、Q-1
(2)由公式(*)得到嘔
可以证明， 远(B FGLS _B\ = opQ)， 从而有
仙|B
^I2B …
尙
关，0是 Kvoneclser 积：A®B = ^2|B ■
■ Q ”B …
• • • • • • ,A =
W
】…a \n
■ •
• SiB • •
%B
■
a
B 丿 nm /
假定SGLS2 : Q = 正定，且E (X ；2X J 非奇异,那么对 _2 —丄 _丄
Y 严XQ+Uj,用。

刁作变换，得0刁匕=0刁x,0 + q,即Y ； = X ； p + U ；, 于是有EU ： U ； =/G .随机抽取样本，对毎个i,i=l,2,……N,做Sols, i 个变换 后的新的广义最小二乘估计，记成
、T Z B»=工 x ：x ：
\ iT
7
(N
/
=Z Xj 2 Xj
N f
1=1 -I
N
， A 工 X, 0 %
/=! )
=(x 亿 ®n l
)x )_, (x 亿 ®Q-')r)
这里X 是NGXK 矩阵，Y 是NGX1矩阵，并仍可以证明，歹是俯渐近正态的, 即俯(矿_0)」~^2(0,川明“)
其屮 A = E^X /Q -*X J
B=£：［ |o 由于Q 未知, 由向量组的弱大数定律(WLLN),有:
这里，6,是Y i =X i /3l +U i 做 Sols,
得到的残差估计，用。

做为。

的一致估
是一个对矩阵的线性变换。

所以SGLS1含义
是：
/ -1 -1 \
V N (p rGLS -
Normal 0,A BA ,特别，B = A,即假定：
\
丿
假定：Sols3：
-匕二£(X,G“XJ Q = E [U ,U '
可得P FGLA 的渐近方差：
么-1 ( N
、T AVar^ = —=工 XQ-尤
N 《
丿
有关0的线性组合的假设检验：
可用Wald 检验，与OLS 类似，但当SGLS 成立，一种类似单方程基于残差 形式的F 检验则更方使。

设对0有Q 个约束条件，乞是带约束条件下的FGLSp 的残差，©是不带约
束下FGLSp 的残差，那么，可以证明:
(N .
N r
\
其屮Q 是对P 的约束条件个数，进一步，在有限样本条件有，有残差形式的
利用F 统计量可以方便地做0的部分参数为0的检验。

注：①这种方法在SOLS 中是不能用的。

原因是假定广义最小二乘变换后，模 型满
足同方差独立条件的要求；
②FGLS 是联立方程必须做的估计，这是一个整体性估计，SOLS 只是一 个形式上的整体估计，其实质仍然是单方程的估计，一般应当用 SOLSp 与FGLS
p 进行比较。

3、联立方程的工具变量估计和GMM 方法及检验
正如单方程模型会遇到内生性问题，联立方程模型更容易遇到内生性问题， 特别对于SEM 模型，内生性是不可避免的。

因为结构式中，己包含有其它的内生 变量,从而从结构式到简约式的转化屮，自然也把误差项带入了其它的结构式屮。

由于内生性的存在，我们知道，这使得Sols 和FGLS 是冇偏和不一致的，把联立 模型写成类似SUR 模型的形式：
Y 2=X 2P 2+U 2
F 统计量：
(N 〜/
、
N j
、
\
(N
F =
</=!
i=\
丿
/
\ /=!
\
匕&' 匕・(NG - K)lQ 亠-F{Q,NG - K)
/
Y G =X G 卩G +U
对每一个g ，g=l,2……G,兀是1X ＜向量，即包含有外生变量，也包含有 内生变量，从
而血与-有相关性。

如是单方程工具变量法一样，对每一结构方 程g,选择工具变量Z 《是IX 4向量，它们是可观测的外生变量，且LQK&, 中 包含单位。

满足条件：
Sivi ： E （Z ；〃J = O,g = l,・・・G. SIV2：秩卜忍,g=l,…G,S
（i 是第i 次抽样）
又对任意的i,将联立模型包装成矩阵形式:
0 0 …0、
x 2 0 …0 • • • • • • • • •
o o ... X G 丿 K= (kl+……kG)；
U L
• • ■ ；0=
•
• ■
\ iG
丿
则；Y i =X i ^i +U i
再令：厶=
如果5 = K- g-l,2-G,由假定，J = 0是非奇异矩阵，从而， E （Z ；X J 二0是K
X K 非奇异矩阵，B = [EZ ：X 丁 北上）
对i 随机抽样，i=l,2……N,设Z 和X 是NGXK 的样本观测矩阵，那么可得联
立方程模型的工具变量估计，sivp = （z%r （zY ）,并由假定知
但是，如果L 〉K ,那么（Z%）就不再是一个方阵，我们无法得到SIVp, 或者说，我们可以在L 中选择K 个工具变量，可等到许多SIV B ，选择哪一个P ?
G*l_ •
&G 丿
（X 为GXK 矩阵）
'Xj
回忆2sls,对过度识别的工具变量Z.
,Z z ,我们是选择它们的线性组合
艺，艺K 作为工具变量，这事实上是对Z. . ,Z z 进行了特殊的线性变换。

2下面，我们换一种思路，即所谓的广义矩阵估计（GMM ）方法。

该方法的基本 思路是，如果我们引入了外生的工具变量替代了原方程的变量，那么选择残差平 方和最小就不一定最合理，更应当选择与工具变量相关的“加权”残差平方和最 小。

详细论述如下：
假定：SIV1：
=
= E[Z ：化-X z 0）] = O
假定：SIV2： £（Z ；Z z ） = k 由大数律：*£z ：（z-X 怡）一^0。

但固定N,丄yz;（r,.-x,p ）=o ,这样的p 不一定存在。

退一步，选择p 使得: N 気 以Z ：为“权”的平方和f z ：@ -X 园
-r=l
・
是OLS 方法的自然推广。

特别当Z, =/,就是OLS 方法。

更一般地，找一个与工具变量的协方差相关的矩阵。

给定谚是一个LXL 的 对称正定矩阵，称P 是广义矩估计GMM B ，如果P 是求解
这里，令Y=^2
ZY , X = ^2
Z r
X
故,=（X X ）_'（X Y ） =（X 7 WZ X ） '（X ZIVZ
T ） P 是一个样本统计量，证明P 是一致估计。

f Z ：（E-X 〃）取最小值p 。

这种思想
/ = !
Min b
工z ：化—X/） W 工Z ：（Yj-Xjb ） 的最优解。

把对i 求和改写成矩阵形式,
/=!
就是: Min
h
/ N [z r （Y - X/?）] W 工 Z'（Y-XZ?）
注意谚正定，故W=W^xW^ O 训仁觸
（**）
假定：SIV3：谚 一^”，
这里W 是一给定的，非随机的LXL 对称正定矩阵。

可以证明，R 是一致和 渐近正态的，且 AVar 4N （p-f3）=（CW ）_,（CWWCXCW ）_,，其中 C =
E （Z ：Xj, A = E （ZQQZ ）=畑（ZQJ
则（**）写成 p = [x2（Z2）Tz ，X 『[x2（ZZ ）"zY
类似丁•单方程的2SLSp 估计，故称联立的S2SLSR 。

只要选择好工具变量 矩阵Z, S2SLSR 有一致性和渐近正态性，但不一定是渐近有效的。

下面的问题是，我们需要寻找一个更好的谚，保证N TOC ,估计p 是右最 小方差性，称该谚为最优的权矩阵。

最优权矩阵％的求法：
假定：SIV4： W=A", A = Var （Z ；U i ）
八 入
1）设p 是0的一个任意一致估计，大部分情况下，取p 是联立的2SLS ；
4）选取W = A'1 ,则可以证明:
^ = [xZM>Z r
x]_，
[xZWZT]为渐近最优的GMM 估计，称为最小“卡方”估计，
记成Kai-^・
又，记。

=*工孑炉，&是GXG 的，曲FGLS 的证明，知= E （C/,t/；）
5）当选取W =
p r
T E(Z'Z)
特别，取谚=
N z,z
2）有了 p,对每个i,得到GX1的残差向量：=y.-xj, i 二1,…,N
=r （i N ^njz/^]-1 （注与 1 不同）
那么，p = [x2（Z 仏 gC ）Z ）TZ%『X2（Z 仏 ®Q ）Z ）-1ZT
称为0的GMM 三阶段最小二乘估计，记成G3SLS p 。

假定 SIV5： E （Z ；（/,（/；Z f .）= E （Z ；0Z ）
其中G = E （U’U；）,则3SLSp 是无偏、一致、渐近有效的。

注：1.当SIV5不成立时，3SLSp 就不如最小卡方Kai-yg ,即使SIV5成立，3SLSp 也不一定比最小卡方Kai-R 表现好。

但现在仍多用3SLS,部分是历史原因，在 相对少的样本情况下，3SLS B 有效性比最小卡方Kai-^表现好。

2•传统观点下，3SLS3与上述的GMM 方法得到的3SLSp 有所不同： 1） 设 X,. =Z^,^ = （Z r Z ）-1ZX, （X,.是 X,在 Z 上的投影）
「N
2） 3= E 和『X
-/=1 =[xxi N 0 ）去 F 0 （g
（在SIV1-SIV3假定下，G3SLSR 是一致的，但传统的3SLSp 不一定是—•致的）。

3） 联立方程模型有多种估计方法，对模型的要求是，估计精度越高，要求 越高。

我们不一定耍一味追求高精度。

例如我们仅关注第一个结构式的人， 那么我们仅按单方程模型要求EZ ：S =0和秩EZX =k ,就可得〃的
2S 1S 3P 而不必对系统的其它方程寻找更多的工具变量。

具体问题要具体分 析。

由于某些方程的设定采用了 3SLS 方法，会导致问题复杂化。

数据、模型、 计算机是为人服务的，在熟练掌握计算机软件的而提条件下，把多种估计方 法加以比较，并做出合理解释。

大量的实践经验是必不可少的。

3.关于联立方程模型的假设检验
（1）有了 GMM Kai-A 和 Kai-p 的渐近方差，或 G3SLS p ,
八「 （ N Y 1
T 1 Avar0如二（X 列 X Z00Z （Z ；X ）
N /=!
这里=Y i - zj kai ,有时直接用d,代替，也不受影响。

又当 SIV5 成立吋,GMM3SI* 的方法是 Avar^ = r （xz ）（z z （/V ®Q ）Z ）
_1
（ZX ） 这里°=a ；，— z 兀。

那么，对-切的线性约束检验问题:
R0 =宀可采用Wald 统计量，进行检验，其中R 是QXK 矩阵,J1秩R=Q,W 〜才。

（2）另一种类似F 检验，有关用残差表达的统计量，在约束条件下，采用 GMM 方法，估计易得，如约束为部分系数为零，更为方便。

设P 是GMM 釆用最优权矩阵谚得到的Kai-p 估计，令M j=Y, - X £ ,又 设R 是GMM 方法，同样采用最优权矩阵但在满足Q 个线性约束条件下得到 的估计，并令（7,- = Y, - X 亦,可以证明，H （）为真，那么：
+工是联立方程的2SLSR 的残差。

（3）有了 GMM 估计P ，还可以进行非线性检验。

H.： C （p ） =（C （0J,…,C （0』）‘是QX1向量非线性函数，用AC （0）表示C （0）的
QXK Jacobian 矩阵，且秩△ C （0）=Q,那么，Wald 统计最：
W=C （4）（ACVAC ,）_，
C （3）~Ze
其屮U 是P 的渐近方差估计，不再详细讨论。

附：GMM 方法的Mat lab 编程。

三、联立方程模型的可识别问题
（-）回忆在2SLS 的理论中，要求，选择工具变量Z 满足秩E （Z f Z ）=L, L>K, 否则0就有可能不能识别，即不一定能得到IV^o 这种问题在联立方程模型屮, 由
W IN ~ 戒, \ iT 7
又在S1V5成立的条件下，上式可约化成：
f
9 N 、（ N , V N 、（ N 、（ N , N 工Z® 工zQz 「・工Z 口-工Z& 工Z,dz,工Z® 〜席，其中
八 /-I 7
/=! 7
于内生变量允许在其它方程中出现，存在的可能性几乎肯定，而表现更复杂。

例：供给方程：砒+乞
需求方程：Q?诃+乙
其中：a丰卩,Q： = Q?
那么乃=（刁—6）/©一0）=叫
0=（盛-0耳）/&-0）=卩2
由于吕和乞不可识别,故片,匕不可观测，我们无法得到内生变量片,0
的结构参数Q,0的任何信息。

现在，在需求方程中引入外生变量（收入），且可观测，考虑：
且03工0 °
那么可解得:
Pf—兀11 +兀】2乙+ %
Qt =兀21 +兀22乙+卩2
得到：兀门=一03 /（02 —色）北0
龙22 =一03勺/（02一°2）"
由于鬥，0,乙可观测，我人这0LS方法可求得：血，岔2，分21，龙22。

又曲于⑦二龙2】-色叭I，这意味着供给方程是可识别的。

因为供给方程中不包含有外生变量Y,它的信息可对供给方程提供帮助，但需求方程无法识别，没有系统的外生信息可以利用。

如果再引入外生变量，增加税收7；,放到供给方程屮：
供给方程：Qf = a】+ a2P t + a3T t + E,
需求方程：0。

=禹+02片+0也+：；则可解得：片=龙口 +耳2乙+叭3刀+X Qi—兀21 + ”22 E + 兀23 刀 + #2
通过OLS方法可得：分=［灯心$ ,并通过龙,口j等到结构参数Q和
021 兀22 兀23 >
0。

但是，不是在供给方程中加入税收7；,而是在需求方程中再加入新的外生变量，如金融资产什，那么供给方程就会增加一个外生信息来源的选择，而需求方程
仍没有外生信息来源可没有。

可见，联立方程模型的结构式的可识别与其它方程引入的外生变量和本方程的内生变量的个数有关。

一般，识别问题的捉法是：
设联立方程结构式为疗+ ZA + f/=O,如果能从联立方程模型的简约式y = zn+v,得至U结构式的参数卩和厶，则称联立方程模型是可识别的，否则称为不可识别的。

又如果口J识别的结构参数不存在唯一的取值，就称模型是恰好识别的，否则称为过度识别的。

注：模型不可识别，指的是联立方程中有某一方程无法从简约式得出该方程的所有结构参数，如例中的需求方程。

过度识别则是得到的结构参数值不唯一。

这就意味着，过度识别的模型有一个取优的问题。

如前述的GMM方法。

现在，为要使联立方程模型可识别，当11仅当第一个结构方程可识别，我们考察第一个结构方程。

从YP + Z^ + U =0,第一个结构方程形式的可写为：
K = ^（1）/（1）+ Z（|）5（］）+〃（i）= X（］）0（］）+〃（1）
（**）设齐简约式为人=Z^（1）+V（1）, EZV（1）=0o
定义MXM1选择矩阵S⑴，它由0和1两元素构成，使得：Zy=ZS⑴成立，对单方程，（**）由2sls条件：秩EZ'Xz = K ,这里，表示第一个结构方程中内生变量的的个数和外生变量Z⑴的个数之和。

但EZX（I） = EZ；（Z^{1）,Z.y（1）） = E（ZZ*（i）|s⑴），由秩EZZ =
M >K>K}, •••秩［%），%）］=q+M］=K y
即阮），加是列满秩的，M X K\即矩阵。

M >G^M}=> M-M, >G P于是得到：
定理1:可识别的阶条件(1)(必要条件)
第i个结构方程中，不包含在方程中的外生变量的个数-必须大于等于方程右边内生变量的个数5。

(-)联立方程结构式未知参数的约束
前面给出了可识别的阶条件Z-,但这并不充分，可以举出满足阶条件，但不可识别的例子。

我们先讨论结构式与简约式的关系：
由结构式W + ZA + (/=0,其中U是1XG的向量误差，P是G XG矩阵，△是MXG短阵。

假定：P非奇异，工二E0U),那么，可解得：Y = z(-△p7)+〃(-p J)三zri + v
这里n = (-AP'1)> V=(-AP_1)，又令A = = zr1,如果EZV = 0 ,
且秩EZ f Z=M ,那么Eh OLS方法和随机抽样，可以得口和A的一致估计，问题
是，从口和A能否冋到结构参数矩阵P, △和工？显然条件不够。

因为对F是任意的非奇异GXG 矩阵，那么Y(PF)+zSF)+〃F =0 ,即yp* +ZA* +[/* =0 , 与原结构方程yp + zA + t/=o有等同的简约式，它们是同解方程。

这样以模型对P, △和工有所限制，对任意的GXG可逆阵F, PF, AF , F’F同样成立。

所以，我们需求对P, A和工进行限制，一般通过模型认识的先验信息，使得F =儿，这样可得到可识别的参数矩阵P, A和工。

1、归一化(标准化)约束：(normalization restriction)
第i个结构方程％)+zq)+S)=0 ,如第一个结构式为：/llJj +兀2力+・・・+沧％+几Z] +…+4M Z M +U] =0 ,称为是归一化的。

如果 %)中有一个系数限制为-1.在一•
般的结构方程中，i般把方程左边的内生变量的系数规定为-1・
2、同类线性约束(homogeneous liner restriction)
令0(「)= ?)是一个(G+M) XI的向量结构参数，且仇•)满足归一•化约束条©)丿
件，从而仇•)有G+M—1个未定参数，假定，关于仇•)的先验知识可以写成线性
约束的形式:心）角）=0, （i 二1,…，g ）,其中心）是一个J.x （G+M ）的已知矩阵,
人是关于血）的约束数，并假定秩心）=人。

例：一个三方程的联立系统，有G = 4和M = 4,设第一个结构方程为
）1 = /12^2 + 了13儿 + 几乙 + §\么2 + ^13^3 + 〃14 乙 + "1
那么：%） =（-1，了12，片3），勺1） =011，512,513，几），0（1） =（%），%））
如果设定一个常数项，那么乙=1,又假定对0⑴的约束有：兀2=0和
心）0⑴=（人2，几+兀-3）‘ = 0为满足对0⑴约束的同类线性约束条件。

（P 、
现在令是（G+M ）XG 矩阵，则仇）就是B 的第i 列，又设F =（齐,…，島） 为GXG 非奇异，那么曲线性变换，= BF ,则以的第i 列0H ）就是妙。

.・.R ⑴0飞）=0 ,=＞心）（砒）=（心）B ）/, =0。

特别,对第一结构式,取 .齐=（1,0,…,0）',有心）（砒）=（心B ）/； =0。

因为0（］）=筋可识别，意味着齐次方 程组（/?⑴只有唯一的基础解系勺=（1,0,・・・0）',又由于心）B 有G 列，从 而0⑴可识别的充分必要条件是：秩心）B =G-1O
定理2：（可识别的秩条件）
满足归一化给的结构方程i 的参数几）是可识别的，当且仅当加在几）上的 其它同类线性约束心汐（厂°满足：%泸=G-1O
因为B 有G 列，秩二G （列满稅否则设定B 的某列参数无意义）。

所以，我们 必有秩/?（/）＞G-l,由秩心）=人，于是，我们得到另一种表述的阶条件。

定理3：（可识别的阶条件（2））
联立方程第i 个结构式可识别的阶条件是，加在第i 个结构式上的约束个数 人必须大于等于G-1.
从而，J, ＜G-1 ,第i 个结构式是不可识别的/?（,）= :
例：（满足阶条件但不满足秩条件，不可识别的例）
凡+几=3 ， 那么J. = 2, ro (3 0 0 0 0 0 0、
0 0 0 1 1 丿 从而
)'l = 712^2 +713^3 + 力11乙 4- S X3Z 3 + /
>?2 =721^1 +6Z1 +U 2
儿1 =心1乙 + §3 么 2 + /33Z3 + /34Z4 + U
其中 Z, =1 (截距项),=0,g= 1,2,3, G=3 且 M=4
对第一个结构方程，按归一化约束，设/H = -1和512=0, $4=0,方程右 边的内生变量有两个，但不含的外生变量也有2个，.•.第一个结构方程满足阶条 件。

再检查秩条件o V /?*（1） = （- 1,幷2，了]3,5|1…几）的限制条件是5|2 =0和5|4 = 0, 又从第二个结构式知：J 22 = 0 ,九=0
.•.秩= 1,不满足条件G —1 = 2,故第一个结构方程式不可识别。

下式说
明：第2个结构式可识别的条件为§3工0或兀3工“第3个结构式不含内生变量 是自然可识别的。

3、跨方程约束（Cross equation restriction ）
前述讨论结构参数的约束都在本方程中，毫无疑问，如杲结构参数的约束是
跨方程的，也将为可识别问题提供帮助。

我们不一般讨论跨方程的约束的问题, 因为太复杂。

这里只是举例说明：
)'1 = 712^2 + 5]]Z] + ^12^2 + E3Z3 + u 1 『2 二厂21 V1 + 〃2]Z] + 力22乙 + 匕
（2） 且Z 「Z 2, Z3与S ，“2不相关，Z|可以是常数项，无任何其它先验信息, 则，
第一结构式是不可识别的；且第2个结构式，当且仅当（冶H0是恰好可识别 的。

现在考虑一个跨方程的约朿条件，假定心2 =$2,意味着解释变量对因变量
T 是,R （i ）= 0 0 10 0、 0 0 0 0 1；
(1)
<0
<0 〃22 〃32'
力24力34丿
儿和力的解释作用是等同的。

于是由(2)，Z?作为儿的工具变量，用2SLS,可 得到 &2，再对 >1 - 4^2 =匕2)，2 + + 几Z.3 + error ；
用Z2作为儿的工具变量，只要為二兀"，用2SLS,可得到久2,瓦，&3, 冃估计是一致的。

从而(1)可以识别。

但是，用这种方法得到的方差估计COV 几) 或的标准差估计，曲于初始毎2的影响，可能是不一致的。

解决的办法是：把跨方程约束心2 =几代入，将原联立方程改写成如下形式:
0 = （了12 〃11 〃12 〃13 Yl\ 力21）
为每一个方程的工具变量，那么，采用GMM 方法或3SLS 可得一致估计。

4、协方差约束(Covarionance Restriction)
联立方程屮误差项之间的不相关性也能为系统识别提供帮助，请看两例： 例一：X =儿2儿+几乙+5詔3 +〃]
(1) 丁2 +&|Z] + §“Z + 6R Z 、+ (/ 9
(2) 那么，如果馮2工0,则(1)是恰好可识别的，(2)是不可识别的，现在假 定，对误差项S ，匕冇如下的协方差限制：cov(—) = £(—) =0,即工= E(UV)9则工是对角矩阵。

由于(1)可识别,从而可得到/12，心3的一致估计，由此可得到/的 一致估计N ，由已知◎与“2不相关，且N 与X 必定偏相关，因此我们可以用乙， Z 2, Z 3, N 工具变量估计(2),所以(2)也是可识别的，我们可以用2个2 阶段最小来完成估计。

步骤：首先，用乙，Z 2, Z?工具变量对(1)作2SLS,并得到残差0；
其次,用工具变量乙，z 2, Z3, /对(2)作2SLS.
但是，做检验条件还要加强，因为厲是一个广义工具变量（请参阅P116-
乙Z2 0 z 2
Z3 0
选择工具矩阵I 2®z = \z ；
Z\ Z 2
zJ ，即用所有的外生变量作 0
>'1
117, P227-228.)
例2：完全迭代（归纳）系统模型（fully recursive system）
儿"iiZ + S
V G = 7G G-1V G-I + 〃21Z] + Z5G+ ”2（G）
系统屮，如果假定cov（t/g ,〃“）= 0 , Pg主h ,那么，从（1）做OLS,得到気，代入到（2）,满足OLS1和OLS2的条件，再做OLS,得到刃，如此下去，可得到
迭代系统是可识别的，但是，OLS方法得到的佔计有效性较差，特别是方程个数G很人。

（三）最后的评论：
1、联立方程模型实质是，如何表达E（乙…島I乙…Z,J?它有三种基本形式：
a） SUR Model;
b） Panel data Model;
c） SEM Model.
2、联立方程模型的可识别
d）如果某单方程右边不存在内生变量，那么该方程就不存在可识别的问题;
e）如果某单方程右边存在有内生变量，那么可通过在其它方程中增加外生变量，使得该单方程可以识别。

从而，一个联立方程可识别，就是要“合
理”地置外生变量；
f）从联立方程中可以看出，单方程的内生性问题，实质是某解释是系统中的内生变量，它们在系统屮相互彩响，同时决定。

从数据上看，内生性就是某解释变量的信息得到充分的表达。

这些受到限制的数据自然成为不可
“观测”的部分进入到误差项屮；
g）从单方程看不可方程，可以从其它可识别的方程中获取信息，如跨方程约束，协方差的约束等，使其变得同样可识别。

3、联立方程模型的估计
a）联立方程模型可以对毎个单方程进行估计，方法有Sols, FGLS, 2SLS, 也可以整体的进行估计，方法有3SLS, GMM；
b）选择什么样的估计方法？能简单的尽量不要复杂。

但我们常常需求在稳健和有效Z间做出取舍。

一般，单方程估计稳健性较好，但如果模型设定就冇问题，或工具变量选择不当，产生误差传递，导致估计不一致，反而适得其反。