江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期期中高一数学试题及答案

南师附中2020-2021学年度第一学期期中
高一数学
一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知全集{}1,0,1,2U =-，{}1,1A =-，则集合
U
A =（ ）． A. {}0,2
B. {}1,0-
C. {}0,1
D. {}1,2
2. “1x =”是“2540x x -+=”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C.
必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 命题“2,10R x x x ∃∈-->”的否定是（ ）．
A. 2,10R x x x ∃∈--<
B. 2,10R x x x ∃∈--≤
C. 2,10R x x x ∀∈--≤
D. 2,10R x x x ∀∈-->
4. 已知223x x -+=，则1x x -+的值为（ ）．
A.
B. 1
C.
D. 1±
5. 函数()22,03
1,0x x x f x x x
⎧-≤≤⎪
=⎨<⎪⎩的值域为（ ）．
A. []3,1-
B. (),0-∞
C. (),1-∞
D. (],1-∞
6. 下列四组函数中，()f x 与()g x （或()g t ）表示同一个函数的是（ ）
A. (
)f x =
()g x x = B. (
)f x
(
)2
g t =
C. ()22
1x x f x x +-=
- ()2g x x =+ D. ()f x x
=
(
)g t =7. 已知实数0,0a b >>，且
11
11
a b +=+，则2a b +的最小值为（ ）
．
A.3+
B.
1 C.
4
D.
328. 函数()3
21
x f x x =-的图像大致为（ ）．
A
B
C
D.
二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 设集合{}
220A x x x =-=，则下列表述不正确的是（ ）．
A.
{}0A ∈
B. 2A ∉
C. {}2A ∈
D. 0A ∈
10. 下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ）
A. 22xt yt >
B. xt yt >
C. x y >
D. 11
0x y
<<
11. 下列命题中是真命题的有（ ）．
A.若函数()f x 在(],0-∞和()0,+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增；
B. 狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩
为有理数
为无理数在任意一个区间都不单调；
C. 若函数()f x 是奇函数，则一定有()00f =；
D. 若函数()f x 是偶函数，则可能有()00f =；
12. 已知1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么下列结论正确的有（ ）．
A. a b +
有最大值2 B. a b +
有最小值2 C. ab
1
D. ab
有最小值3
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 已知()0,0
1,032,0x f x x x x >⎧⎪
=-=⎨⎪-<⎩
，则()()()
6f f f = ．
14. 已知函数()537c
f x ax bx x
=++
+，()35f -=，则()3f = ． 15. 某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/
盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%.
① 10x =时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 元；
② 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x 的最
大值是 ．
16. ()f x 为定义在R 上的偶函数，()()22g x f x x =-在区间[)0,+∞上是增函数，则不等式
()()1246f x f x x +-+>--的解集为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分10分）
已知,a b 均为正数，证明：22
a b a b b a
+≥+．
18. （本小题满分12分）
计算：
⑴ 12
ln 249e -
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
⑵ ()2
23lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅．
19. （本小题满分12分）
已知二次函数()f x 的值域为[)4,-+∞，且不等式()0f x <的解集为()1,3-． ⑴ 求()f x 的解析式；
⑵ 若对于任意的[]2,2x ∈-，都有()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.
20. （本小题满分12分）
某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域EFGH 用来种花，且点,,,A B E F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB x =米，种花区域EFGH 的面积为S 平方米． ⑴ 将S 表示为x 的函数； ⑵ 求S 的最大值．
21. （本小题满分12分）
已知集合{|A y y =，集合{}22|0B x x x a a =-+-<． ⑴ 若A B A =，求a 的取值范围；
⑵ 在A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．
22. （本小题满分12分）
设()a
f x x x
=+
（0x >，a 为大于0的常数） ⑴ 若()f x 的最小值为4，求a 的值；
⑵ 用定义证明：()f x
在)
+∞上是增函数； ⑶ 在⑴的条件下，当1x >时，都有()1
m f x m x
+>-
恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】A ；
【解析】由补集定义知选A ． 2. 【答案】B ；
【解析】因为{}1是{}
2540x x x -+=的真子集，所以“1x =”是“2540x x -+=”的充分不必要条件． 3. 【答案】C ；
【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ． 4. 【答案】C ；
【解析】由()2
12225x x x x --+=++=，知1x x -+=C ．
5. 【答案】D ；
【解析】当0x <时，()1
f x x
=
单调递减，范围为(),0-∞，当03x ≤≤时，()22f x x x =-在[]0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，范围是[]3,1-，所以函数值域为(],1-∞，故选D ．
6. 【答案】D ；
【解析】A 选项，()f x x =，故错误；
B 选项，定义域不同，故错误；
C 选项，定义域不同，故错误；
D 选项，是同一函数，故选D ．
7. 【答案】B ；
【解析】()()()211
1221221232111b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++-=+++-=++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
，当且仅当
1a =b =
B ． 8. 【答案】A ；
【解析】()f x 定义域为()()(),11,11,-∞--+∞，是奇函数，当x →+∞时，()f x →+∞，故选A ．
【答案】ABC ；
【解析】{}0,2A =，故选ABC ． 10.
【答案】ACD ；
【解析】A 选项，若22xt yt >，则20t ≠，则x y >，反之不成立，A 正确；
B 选项，当0t <时，x y <，B 错误；
C 选项，若x y >，由y y ≥，则x y >，反之不成立，C 正确；
D 选项，()1
f x x
=在()0,+∞单调递减，若110x y <<，则x y >，反之不成立，D 正确；
故选ACD ．
11.
【答案】BD ；
【解析】A 选项，若(),0
ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩
是一个反例，A 错误；
B 选项，在任意区间I 上总可以取12,x x Q ∈，使()()12f x f x =，则()f x 在I 上不单调，B 正确；
C 选项，()1
f x x
=
是一个反例，C 错误； D 选项，()2f x x =符合要求，D 正确； 故选BD ．
12.
【答案】BD ； 【解析】法一：
令,a b s ab t +==，由题意可得2,1s t >>，1t s -=，
由基本不等式s ≥
则1t -≥1t >可得2214t t t -+≥，则3t ≥+1a b ==取等；
s ≥2s >可得2440s s --≥，则2s ≥+，1a b =取等； 故选BD ； 法二：
由()1ab a b -+=可得()()112a b --=，令10,10m a n b =->=->，
则222a b m n +=++≥+=+m n ==
()()11133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+m n = 故选BD ．
【答案】5-；
【解析】()()()
()()()6015f f f f f f ==-=-． 14. 【答案】9；
【解析】()()337714f f +-=+=，
所以()31459f =-=．
15.
【答案】130；15．
【解析】①608010130+-=；
②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高， 此时有()0.81200.7120x ⨯-≥⨯， 解得15x ≤．
16.
【答案】3,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭；
【解析】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增，
由()()1246f x f x x +-+>--，
可知()()()()2
2
121222f x x f x x +-+>+-+，即()()12g x g x +>+，
可知12x x +>+，解得3
2
x <-.
17.
【答案】详见解析．
【解析】法一：由基本不等式可得，
()222a b b a a b b a +++≥+， 当且仅当2
2a b b
b a a
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即a b =时取等，
则原式得证．
法二：()223322
a b a b a b a b b
a b a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，
由0,0a b >>，可得0a b +>，33
0,0b a a b
>>，0ab >，
则(
)()222
22222a b a b a b a b ab a b b
a ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭，
由0a b +>可得22
a b a b b a
+≥+．
法三：()()()()()222
222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab
---+--+-+=+==， 由0,0a b >>可得()220a b a b b a +-+≥即22
a b a b b a
+≥+．
18. 【答案】⑴
3
2
；⑵ 3． 【解析】⑴
12
ln 243322922
e -⎛⎫
++=+
-= ⎪
⎝⎭
； ⑵ ()()2
2
23lg2lg5lg20log 3log 4lg2lg523+⋅+⋅=++=．
19.
【答案】⑴ ()223f x x x =--；⑵ 7m <-． 【解析】⑴ 设()2f x ax bx c =++，由题意可知：
()()()10393014
f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得1
23
a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即()2
23f x x x =--； ⑵ 243m x x <--对[]2,2x ∈-恒成立， 令()243g x x x =--，
当[]2,2x ∈-，可知()[]7,9g x ∈-， 故7m <-．
20.
【答案】⑴ ()200
102520S x x x
=-
-≤≤；⑵ S
的最大值为102- 【解析】⑴ 因为AB x =，
所以100AD x =
，2EF x =-，100
1FG x
=-； 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭
因为100020,020x x <≤<
≤，解得520x ≤≤，所以()200
102520S x x x
=--≤≤；
⑵ 102102S ≤-=-x =
所以S 的最大值为102-
21.
【答案】⑴ 01a ≤≤；⑵ [)(]1,01,2-；
【解析】⑴ 因为A
B A =
所以B A ⊆， 因为244x x -≤， 所以[]0,2A =；
集合B 的不等式可化为()()10x a x a +--<， ①B =∅，即0∆≤，解得1
2
a =，符合； ②B ≠∅，即12a ≠时，此时02,012a a ≤≤≤-≤，解得01a ≤≤且12
a ≠； 综上01a ≤≤；
⑵ 集合A 中有三个整数0,1,2，()(){}|10B x x a x a =-+-<； 由A
B 中有且仅有两个整数，可得B 中有0,1,2中的两个整数；
1a a <-即1
2
a <
时，(),1B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，
若仅有0,1，则10,112a a -≤<<-≤，解得10a -≤<； 若仅有1,2，则01a ≤<，213a <-≤，无解； 1a a =-即1
2
a =时，B =∅，不满足题意； 1a a >-即1
2
a >
时，()1,B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，
若仅有0,1，则110,12a a -≤-<<≤，解得12a <≤， 若仅有1,2，则011a ≤-<，23a <≤，无解； 综上，实数a 的取值范围是[)
(]1,01,2-．
22.
【答案】⑴4；⑵证明见解析；⑶
2
m<+．
【解析】⑴由基本不等式(
)
f x≥
当且仅当x=
4 =
解得4
a=；
⑵
任取)
12
,x x∈+∞，设
12
x x
<，
()()()()()12 12122112
1212
x x a
a
f x f x x x x x x x
x x x x
--=-+-=-，
12
x x
≤<；
所以
1212
,0
x x a x x a
>->，
又因为
12
x x
-<
所以()()
12
f x f x
-<
所以()()
12
f x f x
<
所以()
f x
在)+∞上是增函数
得证；
⑶原不等式可化为241
x mx m
+>--
即
256
1
11
x
m x
x x
+
<=++
--
恒成立
因为
66
1122
11
x x
x x
++=-++≥
--
，
当且仅当1
x-=
1 x=
所以2
m<．。