江西省宁都县宁师中学高考数学一轮复习 期望限时训练

江西省宁都县宁师中学2014年高考数学一轮复习 期望限时训练
1．如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,
从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X ,则X 的均值为()E X =（ B ） A ．
126
125
B ．
65
C ．
168
125
D ．
75
2．设非零常数d 是等差数列12319
,,,
,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ,则方差_______D ξ=
【答案】|D d ξ=.
3．某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为
2
3
,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为
2
5
,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X ≤的概率;
(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?
【答案】解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为
23,小红中奖的概率为2
5
,两人中奖与否互不影响,记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A,则A 事件的对立事件为
“5=X ”,
224(5)3515==
⨯=P X ,11()1(5)15
∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为
11
15
. (Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ,都选择方案乙抽奖中奖的次数
为2X ,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X
由已知:12~(2,)3X B ,22~(2,)5
X B
124()233∴=⨯
=E X ,224()255
=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ,2212
(3)3()5==E X E X
12(2)(3)>E X E X
∴他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.
4．现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35
,答对每道乙类题的概率都是
4
5
,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.
【答案】
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角
形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好 “相近”的概率;
(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形边界共有12个格点,内部共有3个格点.
从三角形上顶点按逆时针方向开始,分别有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1对格点,共8对格点恰好“相近”.
所以,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率
9
2
3128=⋅=
P (Ⅱ)三角形共有15个格点.
与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4, 0),(0,4).
15
4)51(=
=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1).15
4)48(=
=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0),
(3,0), (0,1,) ,(0,2),(0,3,).15
6)45(=
=Y P 所以 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1). 15
3)42(==Y P 所以 如下表所示:
4615
6901512627019210215342156451544815251)(==+++=⋅+⋅+⋅+⋅
=Y E 46)(=∴Y E .
小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从
12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记
这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.
(1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求X 的分布列和数学期望.
【答案】解:(1)从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2
828C =种,0χ=时,两
向量夹角为直角共有8种情形;所以小波参加学校合唱团的概率为82
(0)287
P χ==
=. (2)两向量数量积χ的所有可能取值为2,1,0,1,2χ--=时,有两种情形;1χ=时,有8种情形;1χ=-时,有10种情形.所以χ的分布列为:
(2)+(1)0114147714E χ=-⨯-⨯+⨯+⨯=-.
甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队
获胜的概率是
12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是2
3
,假设各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;
(Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X 的分布列及数学期望.
【答案】解:(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件1A ,“甲队以3:1胜利”为事件2A ,“甲队以3:2胜利”为事件3A ,由题意,各局比赛结果相互独立, 故3
128
()()3
27P A ==
, 22232228
()()(1)33327P A C =-⨯=,
122342214
()()(1)33227
P A C =-⨯=
所以,甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率分别是
827,827,427
; (Ⅱ)设“乙队以3:2胜利”为事件4A ,由题意,各局比赛结果相互独立,所以
122442214
()(1)()(1)33227
P A C =-⨯-=
由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3,,根据事件的互斥性得
1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+16
27
=,
34
(1)()27P X P A ===,
44
(2)()27
P X P A ===,
(3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=3
27
=
故X 的分布列为
X
0 1 2 3 P
1627 427 427 327
所以
16443012327272727EX =⨯
+⨯+⨯+⨯79=。