金钥匙学校(东区)初三年级数学入学测试1月2

金钥匙学校2009—2010学年度入学测试初三数学 2010.1班级_________姓名_________学号__________一、选择题：（本题共32分，每题4分）在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的. 请将正确选项前的字母填在表格中相应A ．±2B ． -2C ． 2D ． 162．据报道，在“十一五”期间，我国民用航天工作排在首位的大事是做好月球探测工程的研制工作，确保2007年飞行成功.已知月球与地球的距离约为384000km ，这个距离用科学记数法表示为 A ．310384⨯km B ．4104.38⨯km C ．41084.3⨯km D ．51084.3⨯km 3．在函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是A. 0≠xB. 2≠xC. x ＞2D. 2-≠x4．在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则下列结论正确的是A ．4sin 5A =B ．3cos 4A =C ．3sin 5A =D ．4tan 3A =5.3的值（ ）A ．在5和6之间B ．在6和7之间C ．在7和8之间D ．在8和9之间6、已知在ABC ∆中，A ∠、B ∠都是锐角，21sin cos 02A B ⎛+-= ⎝⎭，则C ∠的度数是Ａ．30° Ｂ．45° Ｃ．60° Ｄ．90°7．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（ ） A ．49B ．35C ．25D ．128．如图，四边形ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形. 已知∠ACB=α，∠A 1CB 1=1α，…，∠A 5CB 5=5α. 则54211tan tan tan tan tan tan αααααα⋅++⋅+⋅ 的值为A. 1B.5C.45 D. 56二、填空题：（本题共16分，每题4分）9. 把3222a ab a b +-分解因式的结果是 ．10．已知圆心在y 轴上的两圆相交于A （y x +2，－2）和B （4，y x 2+）两点，那么y x +=________．11．用“¤”定义一种运算：对于任意实数m 、n 和抛物线2ax y =，当2ax y =¤（m ，n ）后都可得到n m x a y+-=2)(．例如：当23x y =¤（2，4）后得到4)2(32+-=x y ．当函数2x y =¤（1，n ）后得到了新 函数的图象(如图)，则n= .A 2B 2B 5A 5B 4B 3A 4A 3A 1B 1DC BA 11题12．小明把8个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后把露出 的表面都涂上颜色，则被他图上颜色部分的面积为_________分米2. 三、解答题：（本题共18分，每题6分） 13．化简：()()234226123x x xx -+-÷ 14．解分式方程：23222x x x -=+-．15．已知2a+b -1=0，求代数式22()(1)()aa b a b a b-+÷-+的值.四、解答题（本题共18分）16.（6分）小刚想给小东打电话，但忘了电话号码中的一位数字，只记得号码是185□9456（□表示忘记的数字）．（1）若小刚从0至9的自然数中随机选取一个数放在□位置，求他拨对小东电话号码的概率； （2）若□位置的数字是不等式组2110142x x x ->⎧⎪⎨+⎪⎩，≤的整数解，求□可能表示的数字． (3) 在（2）的条件下，若规定小东八位电话号码的奇数位是奇数，偶数位是偶数，则小刚拨对小东电话号码的概率是多少？ （注：小刚知道（2）中不等式组的整数解.）17.（6分）已知：如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠= ，4AC =，BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，点E 是BC 的中点，连结OD ，OB 、DE 交于点F ． （1）求证：DE 是O 的切线； （2）求EF ：FD 的值．CEE ABPCD18.（6分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=a ，在线段BC 上取一点P ，连结DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线．．AB 交于点E. （1）试确定CP=3时，点E 的位置；（2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式；（3）若在线段BC 上只找到唯一一点P ，使上述作法得到的点E 与点A 重合，试求出此时a 的值.五、解答题（本题共16分）19．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y mx n =++经过(02)P A ，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．x20、（8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线ｙ＝－33ｘ＋332交x 轴于点C,交y 轴于点A.等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，如图16-①所示.把三角板绕着点Ｏ顺时针旋转，旋转角度为)1800(︒<<︒αα，使Ｂ点恰好落在ＡＣ上的Ｂ＇处，如图16-②所示.（1） 求图16-①中的点B 的坐标；（2） 求α的值；（3） 若二次函数ｙ＝ｍｘ２＋３ｘ的图象经过（1）中的点B ，判断点Ｂ＇是否在这条抛物线上，并说明理由.图16-① 图16-②答案：一、选择题：（本题共32分，每题4分）二、填空题：（本题共16分，每题4分） 9．()2a ab -; 10.-2； 11.2； 12. 25. 三、解答题：（本题共18分，每题6分）13． 解：原式=22424x x x +-……………………3分 =2x ……………………6分14．解：22(2)3(2)2(4)x x x x --+=-． ……………………2分22243628x x x x ---=-，72x -=-，27x =． ……………………4分 经检验：27x =是原方程的解． ……………………5分 ∴原方程的解为27x =． …………………6分15.解： 22()(1)()a a b a b a b-+÷-+ = 21()()a b a b a b a b a b+-++- ……………………2分= 2a+b ， ……………………4分 因为 2a+b -1=0，所以 2a+b =1. ……………………5分 ∴ 原式=1 . ……………………6分 四、（本题共18分）16.（6分）解：（1）画出树状图或列表正确给2分，（图略）所以，他拨对小东电话号码的概率是110……………………2分 （2）解不等式（1）得x ＞112解不等式（2）得x ≤8 ∴ 解不等式组的解集是：112＜x ≤8 ……………………3分 ∴ 整数解是6，7，8∴□表示的数字可能是 6，7，8……………………4分 （3）他拨对小东电话号码的概率是21……………………6分 17．（6分）（1）证明：连结CD （如图），……………………1分则90ADC BDC ∠=∠= ． E 是BC 的中点， DE BE EC ∴==．OA OD DE BE == ，， ADO A ∴∠=∠，DBE BDE ∠=∠． 90DBE A ∠+∠= ，90BDE ADO ∴∠+∠= ． 90EDO ∴∠= ． ∴OD DE ⊥．即 DE 是O 的切线 . ……………………3分 （也可以连结OE ，由证明△ODE ≌△OCE 证明OD DE ⊥） （2）解：连结OE ．则OE ∥AB ，△OEF ∽△BDF . 在Rt ABC △中，AC = 4，BC =∴ AB = 8，OE = 4，∠A =60°．∴ AOD △是边长为2的等边三角形， ∴ 2AD =，BD = AB -AD =6．∴ EF ：FD = OE ：BD = 4：6 = 2：3 ．……………………6分 18．（6分）解：（1）当CP=3时∵BC=12，AD=9 ∴BP=9 ∴AD=BP∵AD ∥BC ，∠ABC=90°∴四边形ABPD 是矩形 ∴∠DPB=90° 又 ∵PE ⊥DP∴∠DPE=∠DPB =90°且点E 在AB 上 ∴点E 与点B 重合……………………2分 （2）如图过点D 作DM ⊥BC 于M当点P 在BM 上时∴∠DMB=∠DMC=∠ABC =90°∴∠1+∠3=90° ∵PE ⊥DP∴∠DPE=90°∴∠1+∠2=90° ∴∠3=∠2∴PBE ∽DMP ∴BE BPMP MD=……………………3分 同（1）可证四边形ABMD 是矩形 ∴AB=DM=a ∵CP=x ，BE=y 又∵MC=3∴MP=x -3，BP=12-x∴123y x x a-=- ∴()211536y x x a=--+ 当点P 在MC 上时，如图，同理可得()211536y x x a=-+……………………4分 （3）方法一：若以AD 为直径作⊙O ，与BC 切于点P ，连接AP 、DP 、OP ，则∠APD=90o，OP ⊥BC 于点P ，∵∠ABC=90o，AD ∥BC∴∠BAD=∠BPO=90o∴四边形ABPO 是矩形 ∴2992121=⨯===AD OP AB∴当a 的值为29时，在BC 上存在一点P ，使PE ⊥DP ，且E 与A重合.方法二：若在线段BC 上找到一点P ，使上述作法得到的点E 与点A 重合，则BE=AB=a ，且点P 在BM 上 ∴()211536a x x a=--+ ∴2215360xx a -++=由题意：22254(36)0a ∆=-+=321MEP DCBAAB CDPEM 321ME P DBA(E)P O D CBA即92a =±∵AB=a>0 ∴29=a ……………………6分 五、解答题（本题共16分）19．(8分) ．解：（1）根据题意得3652.m m n n ++=⎧⎨=⎩，解得132.m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为21233y x x =++．----------------------------------2分 （2）由2123y x x =+得抛物线的顶点坐标为(B ．依题意，可得(1)C -，且直线l 过原点． 设直线l 的解析式为y kx =．则1=-，解得3k =．所以直线l的解析式为y x =．（3）到直线OB OC BC ，，距离相等的点有四个．如图，由勾股定理得2OB OC BC ===，所以OBC △为等边三角形． 易证x 轴所在直线平分BOC ∠，y 轴是OBC △的一个外角的平分线．作BCO ∠的平分线，交x 轴于1M 点，交y 轴于2M 点，作OBC △的BCO ∠相邻外角的平分线，交y 轴于3M 点，反向延长交x 轴于4M 点．可得点1234M M M M ，，，就是到直线OB ，OC ，BC 距离相等的点． 可证2OBM △，4BCM △，3OCM △均为等边三角形． 可求得：① 1OM ==，所以点1M 的坐标为0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．----------------------5分 ② 点2M 与点A 重合，所以点2M 的坐标为(02)，．-------------------------------------6分 ③ 点3M 与点A 关于x 轴对称，所以点3M 的坐标为(02)-，．-----------------------7分 ④ 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为N ．42M N BC ==，且4ON M N =，所以点4M 的坐标为(-．--------8分综上所述，到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标分别为103M ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，2(02)M ，，3(02)M -，，4(M -．20．（8分）．解：（1）∵直线ｙ＝-33ｘ＋332交x 轴于点C,交y 轴于点A ， ∴点Ａ的坐标为（０，332），点Ｃ的坐标为（２，０）. ---------------1分 ∵等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，∴OD=２，︒=∠45BOD . 过点B 作BM ⊥OC 于M. ∴OM=121=OD .∴BM=1，OB=2.∴点Ｂ的坐标为（１，１）.------------------2分（2）∵OA=332，OC=2，90AOC ∠=︒， ∴∠ACO=30∘.过点O 作OE ⊥AC 于E.---------------3分 ∴OE=1.∵在Rt ΔB ＇EO 中，OB ＇=2，OE=1， ∴∠B ‘OE=45∘. ∴∠EOD=90∘. 又∵∠EOC=60∘， ∴∠COD=30∘.∴α=30∘.--------4分（3）判断：点Ｂ＇在这条抛物线上.------------------------5分 理由：∵点Ｂ＇在直线AC 上， ∴点Ｂ＇的坐标为（a ，-33ａ＋332）. ∵ａ２＋（-33ａ＋332）２＝OB ＇２， ∴ａ２＋（-33ａ＋332）２＝（2）２. 解方程，得ａ1＝231+，ａ2＝231-（不合题意，舍去）. ∴点B ＇的坐标为（231+，213-）.--------6分又∵二次函数ｙ＝ｍｘ２＋３ｘ过Ｂ（１，１），∴ｍ＝－２.∴二次函数的解析式为ｙ＝－２ｘ２＋３ｘ.--------7分把x=231+代入ｙ＝－２ｘ２＋３ｘ，得y=213-∴点Ｂ＇在这条抛物线上.------------------------8分。