2019年安徽省阜阳市颍上县中考数学一模试卷(解析版)

2019年安徽省阜阳市颍上县中考数学一模试卷
一、选择题（每小题4分，满分40分）
1．如果x的倒数是，那么x的值为（）
A．B．C．1 D．
2．下列运算正确的是（）
A．B．C．2a﹣3a＝﹣a D．a2•a3＝a6
3．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A．a2﹣6a+8 B．a2﹣2a+4 C．4a2+b2D．﹣a2﹣16b2
4．如图所示几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
5．不等式组的解等于（）
A．1＜x＜2 B．x＞1 C．x＜2 D．x＜1或x＞2 6．某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示：科目小制作足球英语口语计划人数100 90 60
科目小制作英语口语中国象棋
报名人数280 250 200 若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数就越高．那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（）
A．足球B．小制作C．英语口语D．中国象棋
7．已知点A（2，a），B（﹣3，b）都在双曲线上，则（）
A．a＜b＜0 B．a＜0＜b C．b＜a＜0 D．b＜0＜a
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O．将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合．若在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．若点A（a，b），B（，c）都在反比例函数y＝的图象上，且﹣1＜c＜0，则一次函数y＝（b﹣c）x+ac的大致图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11．十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万人以上，一千三百万人用科学记数法表示为人．
12．某工程队承建30千米的管道铺设工程，预计工期为60天，设施工x天时未铺设的管道长度是y千米，则y关于x的函数关系式是．
13．如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BC∥AD，AB＝AD，∠BOD＝160°，则∠CBO的度数是．
14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边AB上一动点（不与A，B两点重合），过点E作EF⊥AB交对角线AC于点F，连接DF．当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于．
三、（每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来．
16．（8分）观察下列关于自然数的等式：
1×7＝42﹣32①；2×8＝52﹣32②；3×9＝62﹣32③；…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：4×＝；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（8分）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有﹣一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差
都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．
请解答上述问题．
18．（8分）如图，已知图①和图②中的每个小正方形的边长都为1个单位长度．
（1）将图①中的格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫格点三角形）向上平移2
个单位长度得到△A
1B
1
C
1
，请你在图中画出△A
1
B
1
C
1
；
（2）在图②中画出一个以点C为位似中心与格点△ABC位似的格点△A
2B
2
C，且△A
2
B
2
C
与△ABC的位似比为2：1．
五、（每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为圆周上一点，AC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与双曲线（x＞0）交于
点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该双曲线上的一点，且∠PBC ＝∠ABC．
（1）直接写出n的值；
（2）求一次函数的解析式．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了解八年级500名学生的身体素质情况，体育老师从中随机抽取50名学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）：
组别次数x频数（人数）
第1组80≤x＜100 6
第2组100≤x＜120 8
第3组120≤x＜140
第4组140≤x＜160 18
第5组160≤x＜180 6
完成下列问题：
（1）请把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）这个样本数据的中位数落在第组；次数在140≤x＜160这组的频率
为 ；
（3）若八年级学生一分钟跳绳次数（x ）达标要求是：x ＜120不合格；x ≥120合格，试问该年级合格的学生有多少人？ 七、（本题满分12分）
22．（12分）已知某种商品的进价为每件30元该商品在第x 天的售价是y 1（单位：元/件），销量是y 2（单位：件），且满足关系式，y 2＝200﹣2x ，设每天销
售该商品的利润为w 元． （1）写出w 与x 的函数关系式；
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？ 八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在Rt △ABC 中，CD ，CE 分别是斜边AB 上的高，中线，BC ＝a ，AC ＝b ． （1）若a ＝3，b ＝4，求DE 的长；
（2）直接写出：CD ＝ （用含a ，b 的代数式表示）； （3）若b ＝3，
，求a 的值．
参考答案
一、选择题
1．如果x的倒数是，那么x的值为（）
A．B．C．1 D．
【分析】根据倒数的定义，可得答案．
解：由题意，得x＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的意义是解题的关键．
2．下列运算正确的是（）
A．B．C．2a﹣3a＝﹣a D．a2•a3＝a6
【分析】分别运用二次根式的意义、立方根的意义以及幂的乘方法则运算即可．
解：A.＝2，故A错误；
B.＝﹣4，故B错误；
C.2a﹣3a＝﹣a，故C正确；
D．a2•a3＝a5，故D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式、立方根以及同类项和同底数幂相乘，熟练掌握公式是解题的关键．
3．下面的多项式中，能因式分解的是（）
A．a2﹣6a+8 B．a2﹣2a+4 C．4a2+b2D．﹣a2﹣16b2
【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．
解：A、a2﹣6a+8＝（a﹣2）（a﹣4），能分解因式，故本选项符合题意；
B、a2﹣2a+4不能分解因式，故本选项不符合题意；
C、4a2+b2不能分解因式，故本选项不符合题意；
D、﹣a2﹣16b2不能分解因式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的方法是解此题的关键，
注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，因式分解法等．
4．如图所示几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．
解：根据俯视图的特征，应选D．
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键．
5．不等式组的解等于（）
A．1＜x＜2 B．x＞1 C．x＜2 D．x＜1或x＞2 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解：，由①得，x＞1；由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：1＜x＜2．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数，列前三位的如下表所示：科目小制作足球英语口语计划人数100 90 60
科目小制作英语口语中国象棋
报名人数280 250 200 若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数就越高．那么根据以上数据，满足指数最高的科目是（）
A．足球B．小制作C．英语口语D．中国象棋
【分析】所列表中中国象棋计划人数不在前三名内，所以计划人数≤60，足球报名数不在前三名，所以，报名人数≤200，求出各科目计划都生人数和报名人数的比值，找出最大即可得出结论．
解：由表知，小制作：；
英语口语：；
足球：计划招生90人，报名数不在前三名，即少于200人，所以比值大于，即大于
0.45；
中国象棋：报名200人，计划数不在前三名，即少于60人，所以比值小于，即小于
0.3；
∴足球科目的满足指数最高（即比值最大）；
故选：A．
【点评】此题是推理与论证，解答此题的关键是由已知计算出各特色活动课相对学生需要的满足程度进行比较．
7．已知点A（2，a），B（﹣3，b）都在双曲线上，则（）
A．a＜b＜0 B．a＜0＜b C．b＜a＜0 D．b＜0＜a
【分析】根据k＝﹣6＜0，得到该函数的图象在二四象限，结合点A和点B的横坐标符号，即可得到答案．
解：∵双曲线，k＝﹣6＜0，
∴双曲线在二四象限，
∵2＞0，﹣3＜0，
∴点A（2，a）在第四象限，点B（﹣3，b）在第二象限，
∴a＜0＜b，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握象限的特点是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O．将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合．若在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的对角线互相平分求出OC，再根据翻折的定义判断出EF是△BCD的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF，最后根据阴影部分的面积等于两个菱形的面积的差列式计算即可得解．
解：在菱形ABCD中，OC＝AC，
∵将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝BD，
∴阴影部分的面积＝AC•BD﹣OC•EF＝AC•BD．
∴此点取自阴影部分的概率＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了几何概率，菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，要注意菱形的面积等于对角线乘积的一半的应用．
9．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值，由三角形中位线定理求出OD，即可得出DE的最小值．
解：在△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴AB2+BC2＝25＝AC2．
∴△ABC为直角三角形，且∠B＝90°．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OC＝2.5．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线．
∴．
∴DE＝2OD＝3；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理以及垂线段最短．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．若点A（a，b），B（，c）都在反比例函数y＝的图象上，且﹣1＜c＜0，则一次函数y＝（b﹣c）x+ac的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【分析】依据B（，c）在反比例函数y＝的图象上，即可得到a＝c，再根据﹣1＜c
＜0，即可得到﹣1＜a＜0，ac＞0，＜a，依据反比例函数y＝在每个象限内由随着x 的增大而减小，即可得到b＜c，即b﹣c＜0，进而得出一次函数y＝（b﹣c）x+ac的大致图象经过一二四象限．
解：∵B（，c）在反比例函数y＝的图象上，
∴＝1，即a＝c，
又∵﹣1＜c＜0，
∴﹣1＜a＜0，ac＞0，
∴＜a，
∵反比例函数y＝在每个象限内由随着x的增大而减小，
∴b＜c，
∴b﹣c＜0，
∴一次函数y＝（b﹣c）x+ac的大致图象经过一二四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．十九大报告指出：十八大以来，我国就业状况持续改善，城镇新增就业年均一千三百万人以上，一千三百万人用科学记数法表示为 1.3×107人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解：一千三百万＝1.3×107．
故答案为：1.3×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．某工程队承建30千米的管道铺设工程，预计工期为60天，设施工x天时未铺设的管道长度是y千米，则y关于x的函数关系式是y＝30﹣x．
【分析】工作量＝工作效率×工作时间，由30千米的管道铺设工程，工期为60天，可
知一天工作了千米，问题得解．
解：由某工程队承建30千米的管道铺设工程，预计工期为60天，可知工程队每天铺设30÷60＝0.5米，
所以y＝30﹣0.5x，
故填y＝30﹣
【点评】本题考查了，工作量，式作时间，工作效率三者的关系，明确工作量＝工作效率×工作时间是解题的关键．
13．如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，BC∥AD，AB＝AD，∠BOD＝160°，则∠CBO的度数是30°．
【分析】首先根据∠BOD的度数求得∠C的度数，然后根据AB＝AD和BC∥AD求得∠ABC 的度数，从而求得∠CBO的度数．
解：如图，连接BD．
∵∠BOD＝160°，
∴，
∴∠A＝100°．在△ABD中，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝40°．
在△OBD中，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠BDO＝10°，
∵BC∥AD，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABD﹣∠OBD＝80°﹣40°﹣10°＝30°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质．了解有关性质是解答本题的关键．
14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边AB上一动点（不与A，B两点重合），过点E作EF⊥AB交对角线AC于点F，连接DF．当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于或3 ．
【分析】分三种情况：①当AF＝AD＝6时，△AEF是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出结果；
②当AF＝DF时，△ADF是等厘直角三角形，由勾股定理得出AF，再由勾股定理即可得出
结果；
③当AD＝DF时，∠AFD＝45°，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意；
即可得出答案．
解：①当AF＝AD＝6时，△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝AE，
∴AE＝3．
②当AF＝DF时，△ADF是等厘直角三角形，
∴AD＝AF＝6，
∴AF＝3，
在等腰直角三角形AEF中，AF＝AE，
∴AE＝3．
③当AD＝DF时，∠AFD＝45°，此时点F与点C重合，点E与点B重合，不符合题意；
综上所述，当△ADF是等腰三角形时，AE的长度等于或3；
故答案为：或3．
【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来．
【分析】根据去分母，去括号，移项及合并同类项，系数化为1即可．
解：去分母，得6﹣2（x+2）＞﹣x，
去括号，得6﹣2x﹣4＞﹣x，
移项、合并同类项，得﹣x＞﹣2．
系数化为1．得x＜2．
∴原不等式的解集为x＜2，
它的解集在数轴上表示如图所示：
【点评】本题考查了解一元一次不等式，去分母是解题关键，不含分母的项要乘分母的最小公倍数．
16．（8分）观察下列关于自然数的等式：
1×7＝42﹣32①；2×8＝52﹣32②；3×9＝62﹣32③；…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：4×10 ＝72﹣32；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
【分析】由等式可以看出：第一个因数是从1开始连续的自然数，第二个因数比第一个因数大6，结果是第一个因数与3和的平方，减去3的平方，由此规律得出答案即可．解：（1）第四个等式：4×10＝72﹣32；
（2）第n个等式为：n（n+6）＝（n+3）2﹣32；
证明：左边＝n（n+6）＝n2+6n，
右边＝（n+3）2﹣32＝n2+6n+9﹣9＝n2+6n，
左边＝右边
n（n+6）＝（n+3）2﹣32．
【点评】本题考查了数字的变化类，找出数字之间的运算规律，发现规律是解题关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有﹣一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．
请解答上述问题．
【分析】从题目中可知，第2节开始相邻两节的容积差相等设为y，第5节的容积直接设为x，然后根据第5节和容积差建立等量关系：第1节容积+第2节容积+第3节容积＝9，第7节容积+第8节容积+第9节容积＝45构建二元一次方程组求解．
解：设第五节的容积为x升，每一节与前一节的空积之差为y升，依题意得：
，
解得：，
答：第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升．
【点评】本题考查了二元一次方程组在古典数学中的应用，突出了我国古人在数学方面的成就．难点是用第5节容积和相邻容积来表示竹子各节的容积．
18．（8分）如图，已知图①和图②中的每个小正方形的边长都为1个单位长度．
（1）将图①中的格点△ABC（顶点都在网格线交点处的三角形叫格点三角形）向上平移2
个单位长度得到△A
1B
1
C
1
，请你在图中画出△A
1
B
1
C
1
；
（2）在图②中画出一个以点C为位似中心与格点△ABC位似的格点△A
2B
2
C，且△A
2
B
2
C
与△ABC的位似比为2：1．
【分析】（1）各顶点均向上平移2个单位长度得到△A
1B
1
C
1
；
（2）根据位似变换的定义和性质作图即可得．
解：（1）△A
1B
1
C
1
如图①．
（2）△A
2B
2
C如图②．
【点评】考查了作图﹣位移变换和平移变换．解答此题的关键是掌握平移位似的性质．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为圆周上一点，AC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
【分析】
（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°；
（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB ＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．
（1）解：在△AOC中，AC＝4，
∵AO＝OC＝4，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AEC＝30°；
（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．
∴OC∥BD．
∴∠ABD＝∠AOC＝60°．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．
∴∠EAB＝∠AEC．
∴CE∥OB，又∵CO∥EB
∴四边形OBEC为平行四边形．
又∵OB＝OC＝4．
∴四边形OBEC是菱形．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与双曲线（x＞0）交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该双曲线上的一点，且∠PBC ＝∠ABC．
（1）直接写出n的值；
（2）求一次函数的解析式．
【分析】（1）把B、P的坐标代入反比例函数解析式，可得到关于n的方程，可求得n的值；
（2）过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长PD交AB于点P′，可证明△BDP≌△BDP′，则可求得P′的坐标，由B、P′的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式．
解：（1）∵点B（2，n），P（3n﹣4，1）在双曲线上，
∴2n＝3n﹣4，解得n＝4；
（2）由（1）知点B（2，4），P（8，1）．
如图，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长PD交AB于点P'．
在△BDP和△BDP'中，
，
∴△BDP≌△BDP'，
∴DP'＝DP＝6．
∴点P'（﹣4，1）．
将点B（2，4），P'（﹣4，1）代入y＝kx+b，
得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3．
【点评】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及函数图象上的点与函数解析式的关系、待定系数法、全等三角形的判定和性质及数形结合思想等知识．在（1）中由B、P的坐标得到n的方程是解题的关键；在（2）中构造全等三角形，求得P′的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
六、（本题满分12分）
21．（12分）为了解八年级500名学生的身体素质情况，体育老师从中随机抽取50名学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）：
组别次数x频数（人数）
第1组80≤x＜100 6
第2组100≤x＜120 8
第3组120≤x＜140 12
第4组140≤x＜160 18
第5组160≤x＜180 6
完成下列问题：
（1）请把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）这个样本数据的中位数落在第 3 组；次数在140≤x＜160这组的频率为0.36 ；
（3）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120不合格；x≥120合格，试问该年级合格的学生有多少人？
【分析】（1）根据题目中的数和频数分布表中的数据可以求得第3组的人数，从而可以将频数分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）根据频数分布直方图中的数据可以得到这组数据的中位数和次数在140≤x＜160这组的频率；
（3）根据题意可以求得该年级合格的学生有多少人．
解：（1）第3组的频数为：50﹣6﹣8﹣18﹣6＝12，
故答案为：12，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（2）由直方图可知，中位数落在第3组，次数在140≤x＜160这组的频率为：18÷50＝0.36，
故答案为：3，0.36；
（3）（人），
即该年级合格的学生有360人．
【点评】本题考查频数分布表和频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知某种商品的进价为每件30元该商品在第x 天的售价是y 1（单位：元/件），销量是y 2（单位：件），且满足关系式
，y 2＝200﹣2x ，设每天销
售该商品的利润为w 元．
（1）写出w 与x 的函数关系式；
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？
【分析】（1）当1≤x ＜50时和当50≤x ≤90两种情况下，利用总利润＝单件利润×销量列出函数关系式即可；
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
解：（1）①当1≤x ＜50时，w ＝（200﹣2x ）（x +40﹣30）＝﹣2x 2+180x +2000．
②当50≤x ≤90时，w ＝（200﹣2x ）（90﹣30）＝﹣120x +12000． 所以； （2）①当1≤x ＜50时，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x ＝45，
那么当x ＝45时，．
②当50≤x≤90时，w随x的增大而减小，
综上，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）①当1≤x＜50时，w＝﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天．
②当50≤x≤90时，w＝﹣120x+12000≥4800，解得x≤60．
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天．
所以该商品在销售过程中，共有41天每天销售利润不低于4800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BC＝a，AC＝b．（1）若a＝3，b＝4，求DE的长；
（2）直接写出：CD＝（用含a，b的代数式表示）；
（3）若b＝3，，求a的值．
【分析】（1）求出BE，BD即可解决问题．
（2）利用勾股定理，面积法求高CD即可．
（3）根据CD＝3DE，构建方程即可解决问题．
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，a＝3，b＝4，
∴，．
∵CD，CE是斜边AB上的高，中线，
∴∠BDC＝90°，．
∴在Rt△BCD中，．
∴．
（2）在Rt△A BC中，∵∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，
∴．
∵，
∴＝，
故答案为：．
（3）在Rt△BCD中，，
∴，
又，
∴CD＝3DE，即．
∵b＝3，
∴2a＝9﹣a2，即a2+2a﹣9＝0．
由求根公式得（负值舍去），
即所求a的值是．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。