【名校推荐】广东深圳中学高中数学必修二导学案15.两条直线的交点

15．两条直线的交点张文涛 学习目标1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2．能通过解方程组判断两条直线的位置关系． 3．了解过定点直线系的方程． 一、夯实基础 基础梳理1．对于直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=， 借助斜率的关系可以推导出：（1）1l 与2l 平行或重合⇔__________．由（1）知 （2）1l 与2l 相交⇔__________ 2．两条直线的交点两条直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2210A x B y C ++=，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的__________；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是1l 和2l 的__________，因此，1l 、2l 是否有交点，就看1l 、2l 构成的方程组是否有__________．3．两条直线的位置关系我们可以通过求方程组的解来判断两条直线的位置关系基础达标1．判断下类各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标． （1）1l ：3420x y +-= 2l ：22x y ++=0 （2）1l ：340x y -+=2l ：6210x y --=2．已知两直线1l ：()1m x m ++=，2l ()1m y +-=，则 ①当m __________时，两直线相交； ②当m __________时，两直线平行； ③当m __________时，两直线重合．3．过点()2,1--作与直线3250x y +-=垂直的直线，则垂足坐标为__________． A ．()1,1-B ．()1,1-C ．()1,1--D ．()1,14．不论m 取什么值，直线370mx y -+=与5210x y -+=都不能（ ）． A ．平行B ．相交C ．垂直D ．重合5．直线l ：y mx =2360x y +-=的交点位于第一象限，求m 的值． 二、学习指引 自主探究1．探宄过两直线交点的直线 给出方程()342220x y x y λ+-+++=（λ为常数）①．问题1：①表示什么图形？（直线，圆，还是？）问题2：当λ取何值时，①表示直线3420x y +-=？①能表示直线220x y ++=吗？ 问题3：可求得两直线3420x y +-=，220x y ++=的交点是()2,2M -，点M 满足方程①吗？结论：表示过1l ：3420x y +-=与2l ：2420x y ++=交点即定点()2,2M -的直线可设为()342220x y x y λ+-+++=，不含直线220x y ++=．总结提高：若1l ：1110A x B y C ++=、2l ：2220A x B y C ++=相交于()00,M x y ，则方程____________________表示过1l 与2l 交点的直线（不含直线2l ）． 2．点关于直线的对称问题（1）点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为__________；关于y 轴的对称点的坐标为__________；关于y x =的对称点的坐标为__________；关于y x =-的对称点的坐标为__________．思考：如何证明两个已知点关于某直线对称？（2）点(),P a b 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标的求法：①设所求()00,P x y ，则PP '的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0Ax By C ++=上． ②直线PP '与0Ax By C ++=垂直，即001y b A x a B -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭．（注意到分母不能为0） （3）直线0Ax By C ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：①在已知直线上找两点（若相交则其中一点可以是交点）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；②轨迹法：在所求直线上任取一点(),A x y ，找到A 关于对称轴的对称点并代入已知直线．思考：如何求两条两直线的对称轴？ 3．直线关于点（或直线）的对称问题 用轨迹的观点求直线方程：（1）求直线l ：0Ax By C ++=关于点(),a b 对称的直线l '的方程．设(),x y 为l '上任意一点，则将该点关于(),a b 的对称点为__________，这个点一定在直线l 上，代入得____________________，即为l '的方程，l '与l 的关系是__________． （2）求直线l ：0Ax By C ++=关于x 轴对称的直线l '的方程．设(),x y 为l '上任意一占为，则将该点关于x 轴的对称点为__________，这个点一定在直线l 上，代入__________，即为l '的方程．（3）求直线0Ax By C ++=关于直线y x =对称的直线l '的方程．设(),x y 为l '上任意一点，则将该点关于y x =的对称点为__________，这个点一定在直线l 上，代入____________________，即为l '的方程． 案例分析1．已知直线l ：()()2311a y a x -=--，（1）求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限； （2）为使这直线不过第二象限，求a 的范围． 【解析】（1）方程可化为()()3210a x y x y -+-+-=， 令30x y -=，210x y -+=可得15x =，35y =， ∴直线总经过第一象限内的定点13,55⎛⎫⎪⎝⎭．（2）方法一：2a =时直线15x =不过第二象限． 当2a ≠时直线方程化为：31122a y x a a -=---，不过第二象限3102102a a a -⎧>⎪⎪-⇔⎨-⎪⎪-⎩≤ 解得2a >．综上所述，2a ≥时，直线不过第二象限．方法二：由于直线过定点13,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，得3OP k =．旋转直线可知，当2a =时，l x ⊥轴时且过点P ，符合题意．当2a ≠时，1OP k k ≥，即31530222a a a a -⇒⇒>--≥≥． 综上所述，2a ≥时，直线不过第二象限． 2．直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点是()0,1，求直线l 的方程．【解析】设过()0,1的直线l 的方程为1y kx -=或0x =， 17310031y kx x x y k =+⎧⇒=⎨-+=-⎩；172802y kx x x y k =+⎧⇒=⎨+-=+⎩， 由770312k k +=-+，得14k =-．此时所求直线为440x y +-=． 对于直线0x =，它和两已知直线的交点分别是100,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和()0,8，显然不满足中点是点()0,1的条件．综上可知，所求直线方程为440x y +-=．说明：本题只求了M 、N 点的横坐标，利用0M N x x +=，如果是将M 、N 点的坐标都求出来，则计算量太大．本题还可以这样做，设所截得的线段为AB ，A 的坐标为()11,x y ，由中点公式得()11,2B x y --，将A 、B 的坐标分别代入直线方程可解得1x ，1y ，于是得直线AB ．3．三条直线44x y +=，0mx y +=，234x my -=不能围成三角形．【解析】三条直线不能围成三角形⇔其中两条直线平行或重合，或三条直线交于同一点． 若44x y +=与0mx y +=平行，则4m =；若44x y +=与234x my -=平行，则16m =-；若0mx y +=与234x my -=平行，则m 值不存在；若44x y +=与0mx y +=及234x my -=共点，则1m =-或23m =． 综上可知，m 值为4，16-，1-，23．4．当直线y kx =与曲线2y x x =--有3个公共点时，实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【解析】由2y x x =--得2,022,022,2x y x x x -<⎧⎪=-⎨⎪>⎩≤≤画出函数的图象，并将x 轴绕着原点沿逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点()2,2的过程中，相应的直线（不包括过点()2,2的直线）与该函数的图象都有三个不同的交点，再进一步旋转就没有三个交点了，因此选A ． 三、能力提升 能力闯关1．直线l 经过两直线75240x y +-=和0x y -=的交点，且过点()5,1．则l 的方程是（ ）． A ．340x y ++= B ．340x y -+=C ．380x y +-=D ．340x y --=2．若直线1l ：()4y k x =-与直线2l 关于点()2,1对称，则直线2l 恒过定点（ ） A ．()0,4B ．()0,2C ．()2,4-D ．()4,2-3．（1）已知直线l ：330x y -+=，求点()4,5P 关于l 的对称点． （2）求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程． 拓展迁移4．入射光线在直线1l ：230x y --=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，则直线3l 的方程为（ ）． A ．230x y -+= B ．230x y -+=C ．230x y +-=D ．260x y -+=5．（1）一条光线经过点()2,3P ，射在直线10x y ++=上，反射后，经过点()1,1A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．（2）光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇直线l ：3270x y -+=后反射，求反射光线所在的直线方程． 挑战极限6．已知ABC △的两条高线的在直线的方程为2310x y -+=和0x y +=，顶点()1,2A ，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）ABC △的面积．课程小结理解通过方程组的解研究两条直线的公共点的思想． 要会求点关于直线的对称点的方法．直线关于直线对称可利用点关于直线对称为解决，直线关于点对称可利用中点公式解决． 理解轨迹法求直线方程的思想．１５．两条直线的交点 一、夯实基础 基础梳理１.（１）1221A B A B =． （２）1221A B A B ≠． ２．解，交点，唯一解． 基础达标１．（１）解方程组3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得22x y =-⎧⎨=⎩∴1l 与2l 相交，交点是()2 , 2M -（２）解方程组3406210x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得方程组无解，所以两直线无公共点，∴12//l l说明：本题考查学生是否会用解方程组的方法来解决两直线位置关系问题．２.（１）2≠±；（２）＝２，（３）＝－２. （３）（１,１） ４.Ｄ．５.方法一：联立方程求得交点()00 , x y ，由00x >，00y >可得m >方法二：画出直线2360x y +-=和直线:l y mx =-，由于l 过定点(0 ,，旋转直线l ，并观察． 二、学习指引１.问题１：①表示直线．问题２：0λ=；①不能表示直线220x y ++=． 问题３：点M 满足方程①．总结提高：() , a b -，() , b a -；() , b a ；() , b a --．思考：如何证明两个已知点关于某直线对称？ 答：从两个方面：（１）证明两个点的中点在直线上；（２）证明这两点所确定的直线与对称轴垂直．思考：如何求两条直线的对称轴？ 答：从两个方面：（１）证明两个点的中点在直线上；（２）证明这两点所确定的直线与对称轴垂直．思考：如何求两条两直线的对称轴？答：可以用轨迹法，设对称轴上任意一点() , P x y ，根据P 到两直线的距离相等得到方程． ３.（１）()2 , 2b-y a x -，()()220A a x B b y C -+-+=，平行且到() , a b 的距离相等． （２）() , x y -，()0Ax B y C +-+=即0Ax By C -+=． （３）() , y x ，0Ay Bx C ++=即0Bx Ay C ++=． 三、能力提升１.Ｃ．设l 的方程为()75240x y x y λ+-+-=，即()()75240x y λλ++--=，则()755240λλ+⨯+--=．解得4λ=-．l 的方程为380x y +-=．２.Ｂ．由于直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点()2 , 1对称，故直线2l 恒过定点()0 , 2． ３.（１）设() , P x y 关于直线:330l x y -+=的对称点为() , y P x '''． ∵1PP l k k ⋅=-，即5314y y '-⨯=-'-．① 又PP '的中点在直线330x y -+=上，∴4533022x y ''++⨯-+=．② 由①②解得2x '=-，7y '=，∴()4 , 5P 关于直线l 的对称点P '的坐标为()2 , 7-．（２）方法一：由231y x y x =+⎧⎨=+⎩知直线1l 与l 的交点坐标为()2 , 1--，∴设直线2l 的方程为()12y k x +=+，即210kx y k -+-=．在直线l 上任取一点()1 , 2，由题设知点()1 , 2到直线1l 、2l 的距离相等．=，解得12k =（2k =舍去）， ∴直线2l 的方程为20x y -=．方法二：设所求直线上一点() , P x y ，则在直线1l 上必存在一点()100 , P x y 与点P 关于直线l 对称．由题设：直线1PP 到直线l 垂直，且线段1PP 的中点002 , 22x x y y P ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上． ∴000011122y yx xy y x x -⎧⋅=-⎪-⎪⎨++⎪=+⎪⎩，变形得0011x y y x =-⎧⎨=+⎩，代入直线1:23l y x =+，得()1213x y +=⨯-+， 整理得20x y -=．所以所求直线方程为20x y -=．４.Ｂ． ５．（１）入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10x y ++=对称．设P 点关于直线10x y ++=对称点的坐标为()00 , Q x y ，因此PQ 的中点在直线10x y ++=上，且PQ 所在直线与直线10x y ++=垂直．所以()00003112231022y x x y -⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得()4 , 3Q --．反射光线经过A 、Q 两点，∴反射线所在直线的方程为4510x y -+=． 由10 , 4510 ,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得反射点21 , 33R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．入射光线经过P 、R 两点两点，∴入射线所在直线的方程为5420x y -+=．点评：（１）入射光线和反射光线所在直线关于直线10x y ++=对称，（２）求点P 关于直线l 的对称点Q ，通常都是根据直线PQ 垂直于直线l ，以及线段PQ 的中点在直线l 上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点Q 的坐标．（２）方法一 由250 , 3270 , x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得 1 ,2 . x y =-⎧⎨=⎩∴反射点M 的坐标为()1 , 2-．又取直线250x y -+=上一点()5 , 0P -，设P 关于直线l 的对称点()00 , P x y '，由PP l '⊥可知，00235PP y k x '=-=+．而PP '得中点Q 的坐标为005, 22x y -⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 点在l 上，∴005327022x y-⋅-⋅+=． 由()00002 , 533570 . 2y x x y ⎧=-⎪+⎪⎨⎪--+=⎪⎩得0017 , 1332 .13x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩根据直线的两点式方程可得l 的方程为292330x y -+=．方法二：设直线250x y -+=上任意一点()00 , P x y 关于直线l 的对称点为() , P x y '，则0023y y x x -=--． 又PP '的中点00 , 22x x y y Q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在l 上，∴00327022x x y y ++⨯-⨯+=，由()0000233702y y x xx x y y -⎧=-⎪-⎪⎨+⎪⨯-++=⎪⎩可得P 点的坐标满足 05124213x y x -+-=，01252813x y y ++=，代入方程250x y -+=中，化简得292330x y -+=即为所求反射光线所在的直线方程．y =0y +1=0６．（１）A 点不在两条高线上，从而AB 、AC 边所在直线斜率分别为32-和1．可得AB 、AC 的直线方程为3270x y +-=，10x y -+=． 由2310 , 10 . x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得()2 , 1C --，同理得()7 , 7B -．∴边BC 所在直线方程是2370x y ++=．（２）∵BC =A 到边BC的高为h =∴ABC△的面积是14522⨯=．。