西华师范大学级《复变函数论》期末试卷

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复变函数论期末复习题题库.doc

复变函数论期末复习题题库.doc 10. 4k-l .归=e^,k=0,l,??,,7.选择题(每⼩题2分，共20分) z-sinz lim ---- -- = A. _ 11° b612.下列积分值等于零的是-^~dz B.⼆.A.B.-lC. 1D. 06(A)/⼚ f sinz dz C. a z D.z|=4 Z — 3 村=2 Z - 1sin j--- dz+ 113. 幕级数￡[4 + (—1)”]Z 〃的收敛半径是(B) A. 5 B. 1 C. M=14 D. 014. f(Z)=(K+2亍)5，则⼴(z)= (A) A.C.15.f(z)=z 5(e z -1)的零点 z = 0 的阶是(D) A. OB. 5 C. 4D. 6.填空(每⼩题2分，共20分) 1. arg(-1 +V^i)⼆苧.2.设[=―-3. 连接z = 2-i ⾄Uz = -/的直线段⽅程是z = 2 2I 」04. e i+m = -e.5.+cosz)/z =0.2"」e ** _1de + e7. Re5^—-^= 1.8.」sinzdz = l- —z=o [2J) 29. Z 5-8Z 3+1 = 0在Z vl 内的根的个数是3.5(峪 +2亍)4(—K +4z) B. 5(峪 +2亍)4(⼴ _%) 5(K +2z 2)4 D .-5(K +2/)4(K +4z)16.以z = 0是可去奇点的函数是(D) 3(沪与 B.17.在复数域内⼘,列数中为实数的是(C) A. z ,+/B. (1-z)2 C. ZsinZ18.下列结论中正确的是(D)2/j-l Z 2/J-1 ZA. 0的辐⾓是0B.在复数域内，sinz < 1C. lime7 =oo.D. sinz是整函数Z-KO19.f(z) = x-y + xyi (B)A.仅在(1,1)解析.B.在(1,1)可微.C.不在(l,l)nj微.D.处处可微.20.在下列函数中Res f (z) = 0的是(B)z—0A? f(Z)= —L + ^ + 4_B. f(z) = —^C. /(z) = ? D. =z z z sin z sin z%1.证明题(每⼩题8分，共16分)(z +主-z)21.设函数/(z)= 4|z|2，，证明/￡)在z =()不连续.0, z = 0/'(z)5 4村2 亍 + ⼴’(4 分)0, z = 0.因为),=⼯时，所以，/([)在z = 0不连续.(8分) io 222.设f(z)在区域。

复变期末考试试卷

复变期末考试试卷复变函数是数学中的一个重要分支，它在工程学、物理学以及许多其他科学领域中有着广泛的应用。

本期末考试试卷旨在测试学生对复变函数理论的理解和应用能力。

以下是复变期末考试的题目：一、选择题（每题2分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. 8D. 102. 如果 \( f(z) = z^2 + 2z + 1 \)，那么 \( f(2 - i) \) 的值是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 以下哪个是解析函数的必要条件？A. 可微B. 可积C. 连续D. 有界...二、填空题（每空2分，共20分）1. 如果 \( z = x + yi \)，那么 \( \overline{z} \) 是 ______ 。

2. 复数的乘法满足 \( (z_1 z_2) \overline{z_1} = \) ______ 。

3. Cauchy-Riemann 方程是 ______ 的必要条件。

...三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是解析函数，并给出一个解析函数的例子。

2. 描述复平面上的共轭曲线，并给出一个具体的例子。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 计算下列积分：\[\int_{|z|=2} \frac{1}{z-1} dz\]2. 给定 \( f(z) = \frac{z^2 - 1}{z^2 + 4z + 3} \)，求 \( f(z) \) 在 \( z = -1 \) 处的留数。

五、证明题（每题10分，共10分）证明：如果 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 的某个邻域内解析，并且\( |f(z)| \leq M \) 对所有 \( z \) 都成立，那么 \( f(z) \) 在\( z_0 \) 处的留数存在。

六、应用题（每题10分，共10分）考虑一个简单的 RLC 电路，其阻抗 \( Z(z) \) 可以表示为复数函数。

复变函数期末试卷及答案

20**-20** 1 复变函数与积分变换（A 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设复数1z i =-，则arg z =（）A ．4π-B ．4πC ．34πD ．54π 2．设z 为非零复数，,a b 为实数且z a bi z=+，则22a b +（）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于1 3．函数()f z z =在0z =处（）A ．解析B ．可导C ．不连续D ．连续 4．设z x iy =+，则下列函数为解析的是（）A 22()2f z x y i xy =-+ B ()f z x iy =- C ()2f z x i y =+ D ()2f z x iy =+ 5．设C 为正向圆周||1z =，则积分Czdz =⎰（）A ．6i πB ．4i πC ．2i πD ．0 6. 设C 为正向圆周||1z =，则积分(2)Cdzz z =-⎰( ).A ．i π-B ．i πC ．0D ．2i π7. 设12,C C 分别是正向圆周||1z =与|2|1z -=，则积分121sin 222z C C e z dz dz i z z π⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰ A ．2i π B ．sin 2 C ．0 D ．cos2 8．幂级数1(1)nnn z i ∞=+∑的收敛半径为 ( ) A.0 B.12C. 2D. 2课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适用专业:9. 0z =是函数2(1)sin ()(1)z e zf z z z -=-的（） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点10.已知210(1)sin (21)!n n n z z n ∞+=-=+∑，则4sin Re [,0]zs z =（）A ．1B ．13!C ．13!-D ．1-二、填空题(每空3分，共15分)1 复数1i -+，的指数形式为__________。

复变函数论试卷和答案汇编

，其中 C
=
{z
:|
z
|=
3}，试求
f
'(1 +
i).
w = z −1 4. 求复数 z + 1 的实部与虚部.
四. 证明题.(20 分)
1. 函数 f ( z) 在区域 D 内解析. | 证明：如果 f ( z) | 在 D 内为常数，那么它在 D 内
为常数.
2. 试证: f (z) = z(1− z) 在割去线段 0 ≤ Re z ≤ 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线 0 ≤ Re z ≤ 1 上岸取正值的那支在 z = −1的值.
= __________.（ n 为自然数）
2. sin 2 z + cos2 z = _________.
3.函数 sin z 的周期为___________.
4.设
f
(z)
=
1 z2 +1
，则
f
(z) 的孤立奇点有_____ห้องสมุดไป่ตู้____.
∞
5.幂级数 ∑ nzn 的收敛半径为__________. n=0
5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0 是 f '(z) 的_____零点. 6. 函数 ez 的周期为__________.
7. 方程 2z5 − z3 + 3z + 8 = 0 在单位圆内的零点个数为________.
8.
设
f
(z)
=
1 1+ z2
，则
f
(z) 的孤立奇点有_________.
() () () ()
5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点，则 lim f (z) 一定不存在. z→z0

《复变函数论》试题库及答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结(2)

《复变函数》考试试题(一)一、判断题（20分）:1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f （z)在z 0解析. （） 2。

有界整函数必在整个复平面为常数. （ ) 3。

若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)(（常数）. ( ）5。

若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

( ） 6。

若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点。

( ）8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ） 9。

若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10。

若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。

（）二.填空题(20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数)2。

=+z z 22cos sin _________. 3。

函数z sin 的周期为___________.4。

设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。

5。

幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。

6。

若函数f （z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________。

8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。

9. zz sin 的孤立奇点为________ 。

10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三。

复变函数期末试题及答案

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。

答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。

答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。

复变函数论试题库及答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平面能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

(完整)复变函数_期末试卷及答案,推荐文档

复变函数与积分变换第 3 页共 6 页
23. 将函数 f (z)
1
在点 z 0 处展开为洛朗级数.
(z 1)(z 2)
dz
25. 计算 |z|3 (z 1)2 (z i)(z 4) .
四、综合题（共 4 小题，每题 8 分，共 32 分）
2
25. 计算
1
d .
0 5 4 cos
A. 3 4i 的主辐角为 arctan 4 3
C. a rg(3 4i)2 2 arg(3 4i)
B. arg(3i) arg(i) D. z z | z |2
3．下列命题中，正确的是（）
A. z 1表示圆的内部
B. Re(z) 0 表示上半平面
C. 0 arg z 表示角形区域 4
19.
( 2)n
幂极数
n2
n 1
zn
的收敛半径为_______.
复变函数与积分变换第 2 页共 6 页
20. 设 z3 ，则映射在 z0 1 i 处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数 f (t) t 2 sin t ，则 f (t) 的拉氏变换等于____________.
15．已知 F () F[ f (t)] ，则下列命题正确的是（）
A. F[ f (t 2)] e2 j F ()
B. e2 j f (t) F 1[F ( 2)]
C. F[ f (2t)] 2F (2)
D. F[e2 jt f (t)] F ( 2)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
解：设曲线 C 的参数方程为 C : z (2 3i)t 0 t 1.

复变函数试题库完整

《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3. =-⎰=-1||00)(z z nz z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

(完整版)《复变函数》期末试卷及答案(A卷)(可编辑修改word版)

a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。

因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写的，考试成绩答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。

题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。

）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分题号一二三四统分人题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。

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《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

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10. 4k-l .归=e^,k=0,l,・・,,7.选择题(每小题2分，共20分) z-sinz lim ---- -- = A. _ 11° b612.下列积分值等于零的是-^~dz B.二.A.B.-lC. 1D. 06(A)/厂 f sinz dz C. a z D.z|=4 Z — 3 村=2 Z - 1sin j--- dz+ 113. 幕级数£[4 + (—1)”]Z 〃的收敛半径是(B) A. 5 B. 1 C. M=14 D. 014. f(Z)=(K+2亍)5，则广(z)= (A) A.C.15.f(z)=z 5(e z -1)的零点 z = 0 的阶是(D) A. OB. 5 C. 4D. 6•.填空(每小题2分，共20分) 1. arg(-1 +V^i)二苧.2.设[=―-3. 连接z = 2-i 至Uz = -/的直线段方程是z = 2 2I 」0<r<l).4. e i+m = -e.5.+cosz)/z =0.6. /*([)= 一一在|«<1内的洛朗展式是习1 — — Z” (zM -2)1 12"」e ** _1de + e7. Re5^—-^= 1.8.」sinzdz = l- —z=o [2J) 29. Z 5-8Z 3+1 = 0在Z vl 内的根的个数是3.5(峪 +2亍)4(—K +4z) B. 5(峪 +2亍)4(广 _%) 5(K +2z 2)4 D .-5(K +2/)4(K +4z)16.以z = 0是可去奇点的函数是(D) 3(沪与 B.17.在复数域内卜,列数中为实数的是(C) A. z ,+/B. (1-z)2 C. ZsinZ18.下列结论中正确的是(D)2/j-l Z 2/J-1 ZA. 0的辐角是0B.在复数域内，sinz < 1C. lime7 =oo.D. sinz是整函数Z-KO19.f(z) = x-y + xyi (B)A.仅在(1,1)解析.B.在(1,1)可微.C.不在(l,l)nj微.D.处处可微.20.在下列函数中Res f (z) = 0的是(B)z—0A・ f(Z)= —L + ^ + 4_B. f(z) = —^C. /(z) = « D. =z z z sin z sin z%1.证明题(每小题8分，共16分)(z +主-z)21.设函数/(z)= 4|z|2，，证明/£)在z =()不连续.0, z = 0证明：令z = x + (y,贝U(^ + l)(z-z)=xyi/'(z)5 4村2 亍 + 广’(4 分)0, z = 0.因为),=工时，所以，/([)在z = 0不连续.(8分) io 222.设f(z)在区域。

复变函数论试题库及答案

复变函数论试题库及答案《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（⼀）⼀、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平⾯为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( )9. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任⼀简单闭曲线C 0)(=?C dz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 的某个圆恒等于常数，则f(z)在区域D 恒等于常数.（）⼆.填空题（20分）1、 =-?=-1||00)(z z nz z dz __________.（n 为⾃然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤⽴奇点有__________. 5.幂级数0n n nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平⾯上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为⾃然数. 9. zz sin 的孤⽴奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 的罗朗展式.2. .cos 11||?=z dz z3. 设?-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D 为常数.2. 试证: ()f z 0Re 1z ≤≤的z 平⾯能分出两个单值解析分⽀, 并求出⽀割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那⽀在1z =-的值.《复变函数》考试试题（⼆）⼀. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 连续.( )2. cos z 与sin z 在复平⾯有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →⼀定不存在. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 解析, 则对D 任⼀简单闭曲线C 0)(=?Cdz z f . ( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )9. 若f (z )在区域D 解析，则|f (z )|也在D 解析. ( )10. 存在⼀个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )⼆. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3. =-?=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为⾃然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. ⽅程083235=++-z z z 在单位圆的零点个数为________.8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤⽴奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平⾯上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域取定函数z 在正实轴取正实值的⼀个解析分⽀，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：?-=ii z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求 dz z z z ?=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 解析，试证：f (z )在D 为常数的充要条件是)(z f 在D 解析.2. 试⽤儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）⼀. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若f (z )在z 0处满⾜柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 解析且在D 的某个圆恒为常数，则数f (z )在区域D 为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域可以展开为幂级数. ( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )⼆. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-?=-1||00)(z z n z z dz _________.（n 为⾃然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤⽴奇点有__________. 8. 设1-=z e ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z . 10. ____)0,(Res =n zze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞展为Laurent 级数. 2. 试求幂级数n n n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：?-C z z z z e )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数)(z f 在区域D 解析. 证明：如果|)(|z f 在D 为常数，那么它在D为常数.2. 设)(z f 是⼀整函数，并且假定存在着⼀个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是⼀个⾄多n 次的多项式或⼀常数。

复变函数14套题目和答案

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

复变函数期末试卷

《复变函数论》期末考试试题-A 卷答案一、选择题（每小题4分，共20分） ⒈ 21|z |<z >且Im 表示的轨迹为（ B ）A 、有界闭区域B 、有界开区域C 、无界开区域D 、无界闭区域⒉ 右半平面Re z ＞0 在映射 ω＝iz +i 下的象为( D )A 、ωIm ＞0B 、ωRe ＞0C 、ωRe ＞1D 、ωIm ＞1⒊ )43(i Ln +-= (C )A 、)34(5ln arctg i -+π B 、)342(5ln arctg k i -+πC 、)342(5ln arctg k i -++ππD 、)342(5ln arctg k i +++ππ⒋()=f z ( D )A 、1,2,=∞zB 、0,1,2=zC 、0,1,2,=z ∞D 、0,=z ∞⒌ 0z = 0 为函数 21cos ()zf z z -=的（ A ） A 、可去奇点 B 、本性奇点 C 、一阶极点 D 、二阶极点二、填空题（每小题4分，共36分） ⒈设ω=()i ω-=( )⒉ 设 ⎰=-++=32173)(z z z f ξξξξd ，则 )1('i f +＝)136(2i +-π 3. ⎰=+1)2ln(z z dz = 04.⎰=++2234sin z z z zπdz = 05. 10⎰423z =3(2)()z dzz +z -2= 2i π 6.将函数21()(2)f z z =+展成1z -的幂级数，则其收敛圆为（|1|3z -<）. 7.||z e 在闭圆|1|1z -≤上的最大值为（ 2e ）8. 级数 ∑∞=+12)1sin(n n n n i ＿＿＿绝对收敛（发散，收敛，绝对收敛） 9. 函数 2()f z z = 在z i = 处的伸缩率为＿2＿三、（8分）求函数221()(4)z f z z z -=+的所有奇点，并确定它们的类型；如果是孤立奇点，计算其留数四、（7分）将函数()12nnz f z =+z 在环域 r ＜z ＜∞(r ＞1) 内展成Laurent 级数，并由此计算积分3=⎰d 12nnz z z +z 。

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西华师范大学学生试卷
年月日第期共页考室
数学与信息学院2010级数学与应用数学专业《复变函数论》试题A 卷闭卷考试时间120分钟
注意事项：1.满分：100分。

保持卷面整洁，否则扣卷面 3分。

2.交卷时请将试题卷与答题卷一起交，否则扣分。

3.学生必须将姓名、班级、学号完整填写在规定的密封栏目内。

否则视为废卷。

4.学生必须签到，否则出现遗漏概责任自负。

一、填空题（每小题3分，共30分）
1、复数的三角表示式为。

2、函数将z 平面上以原点为心，R 为半径的圆，变为平面上何种
图形？。

3、若z 0是的极点，则。

4、复数项级数的收敛范围是。

5、在内，函数的洛朗展式是。

6、。

题号
一二
三
四五
六
七
八
九
十
总分
阅卷教师
得分
得分
阅卷人
1i
i -z R ω=ω0
lim ()z z
f z →=()f z 31n
n z
n
+∞=∑01z <<1
(2)(1)z z z -+21
5(21)(2)z z
dz z z -==+-⎰
7、已知V 是U 的共轭调和函数，则V 的共轭调和函数是。

8、就奇点类型，z =∞是的。

9、函数
的支点是。

10、z=0是的阶极点。

二、计算题（每小题10分，共20分）
1、用Cauchy 积分理论计算函数分别沿周线： L 1:
和L 2: 的积分。

2、试用留数理论计算积分，其中z 0为的任意复数。

三、解答题（每小题10分，共40分）
1、已知u(x,y)=3x 2-3y 2,试求v(x,y)使f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为解析函数且满足f(0)=i 。

2、已知
，求的值。

3、将函数
4、
四、证明题（共10分）
得分阅卷人
得分阅卷人
得分阅卷人
cos z
z
3()(2)f z z z =-4()shz f z z =22()(3)(9)z
e f z z z =--1z =13z -=301
()z e
dz z z =-⎰1z ≠23
25()i f z d z ζζζζζ=-+=-⎰(1)f i -221
()011(1)(2)
f z z z z z z =<-<--在内展开成幂级数。

2351()i f z z
z
z
π=--求的所有奇点，并指明其类型。

22
0Re ':0
Re z
w G z
B A G w B A
ππ=
--试证：将：映射成为。