【2023年上海市初中一模数学卷】2023年上海市青浦区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学及答案

2022学年第二学期九年级学业质量调研
数学 试卷
（完成时间：100分钟 满分：150分） 2023.3
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]
1．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（ ） （A ）6； （B ）8； （C ）10； （D ） 12． 2．三角形的重心是（ ）
（A ）三角形三条高线的交点； （B ）三角形三条角平分线的交点； （C ）三角形三条中线的交点； （D ）三角形三条边的垂直平分线的交点． 3．如果把一个锐角△ABC 的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） （A ）扩大为原来的2倍； （B ）缩小为原来的
1
2
； （C ）没有变化； （D ）不能确定． 4．已知非零向量a 、b 、c
，下列条件中，不能判定向量a 与向量b
平行的是（ ） （A ）c a //，c b //； （B ）||||a b =
；
（C ）2a c = ，3b c =
； （D ）0=+b a ．
5．如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．如果OA ∶OC =OB ∶OD ，那么下列结论中一定正确的是（ ） （A ）①与②相似； （B ）①与③相似； （C ）①与④相似； （D ）②与④相似． 6．已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）．
命题①：该函数的图像经过点（-1，0）； 命题②：该函数的图像经过点（-3，0）；
命题③：该函数的图像与y 轴的交点位于x 轴的下方；命题④：该函数的图像的对称轴为直线 1x =-．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，那么这个假命题是（ ）
（A ）命题①； （B ）命题②； （C ）命题③； （D ）命题④．
④③
②①O
D
C
B
A 图1
E
D
F
A Q G 二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7． 如果
3
2
=b a ，那么=+b b a ． 8． 已知向量a 与单位向量e 方向相反，且2a = ，那么a = ．（用向量e
的式子表示） 9． 如果两个相似三角形的周长比为1∶2，那么它们的对应中线的比为 ． 10．如果抛物线2
2y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于 ． 11．抛物线2
31y x =-在y 轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”） 12．将抛物线2y x =-向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是 ． 13．在△ABC 中，∠C =90º，如果cot ∠A =3，AC =6，那么BC = ．
14．如图2，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，CF =3BF ．
如果1=∆ADE S ，那么=DBCE S 四边形 ．
15． 如图3，河堤横断面迎水坡AB 的坡比为3:1，坡高AC m 10=，则坡面AB 的长度是 ． 16．如图4，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4．点H 、F 分别在边AD 、BC 上，点E 、G 在对角
线AC 上．如果四边形EFGH 是菱形，那么线段AH 的长为 ．
17．如图5，点P 是正方形ABCD 内一点，AB =5，PB =3，P A ⊥PB ．如果将线段PB 绕点B 顺时
针旋转90º，点P 的对应点为Q ，射线QP 交边AD 于点E ，那么线段PE 的长为 ．
18．定义：如图6，点M ，N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，如果以AM 、MN 、NB 为边的
三角形是一个直角三角形，那么称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．问题：如图7，在△ABC 中，已知点D 、E 是边AB 的勾股分割点（线段AD >EB ），射线CD 、CE 与射线AQ 分别交于点F 、G ．如果AQ ∥BC ，DE =3，EB =4，那么AF ∶AG 的值为 ．
F
E
D
C
B
A 图4
图6
图7
H
G
A B
C
D
E
F 图2
图3
图5
三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）
计算：()
1
22sin 30cos 45tan30-︒︒︒
+-+
．
20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图8，在平行四边形ABCD 中，点F 在边AD 上，射线 BA 、CF 相交于点E ，DF=2AF ． （1）求EA ∶AB 的值；
（2）如果BA a = ，BC b =
，试用 a 、 b 表示向量CF ．
21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图9，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，BF 平分∠ABC 交AD 于点E ，BC =5，
AD =4，sin 5
C ∠=
．
（1）求sin ∠BAD 的值； （2）求线段EF 的长．
22．（本题满分10分）
某校九年级数学兴趣小组在实践活动课中测量路灯的高度．如图10，在A 处测得路灯顶端O 的仰角为26.6°，再沿AH 方向前行13米到达点B 处，在B 处测得路灯顶端O 的仰角为63.4°，求路灯顶端O 到地面的距离OH （点A 、B 、H 在一直线上）的长．（精确到0.1米） （参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，
Sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.0）
图
10
F E D
C
B
A F
E D C
B
A 图8
图9
23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
已知：如图11，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD 、BE 相交 于点F ，∠AFE=∠ABC ，2
AB AE AC =⋅． （1）求证：△ABF ∽△BCE ； （2）求证：DF BC DB CE ⋅=⋅．
24．（本题满分12分， 其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图12，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22
++=bx ax y 与x 轴交于点A （-1，0）和点B （2，0），与y 轴交于点C ．
（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；
（2）已知点P （1，m ）与点Q 都是抛物线上的点．
① 求PBC ∠tan 的值；
② 如果∠QBP =45°，求点Q 的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
如图13，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =8，动点D 、E 分别在边BA 、BC 上，且5
4
BD CE =， 设BD =5t ．过点B 作BF ∥AC ，与直线DE 相交于点F ． （1）当DB =DE 时，求t 的值； （2）当t =
25时，求FB AC
的值； （3）当△BDE 与△BDF 相似时，求BF 的长．
A
B
C
D
E
F 图13
图11
F E D
C
B
A
参考答案及评分说明
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1．D ； 2．C ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．A ． 二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7．53
； 8．2e - ； 9．1:2； 10．2； 11．上升； 12．()2
1y x =-+；
13．2； 14．15； 15．20； 16．5
2
； 17
； 18．514．
三、解答题：
19．解：原式
=
21
12+2-⨯-⎝⎭⎝⎭
························································ （4分）
=1
112
+-． ···················································································· （4分） =
1
2
． ················································································································· （2分） 20．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD ，AD//BC ，AB =CD ．········································································· （1分）
∴
AE AE AF
AB CD FD
==
． ······················································································· （2分） ∵DF=2AF ， ∴1
2
AF FD =． ··············································································· （1分）
∴
1
2
EA AB =． ····································································································· （1分） （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ． ······················· （1分）
∵DF=2AF ，∴23DF DF AD BC ==． ······································································· （1分）
∵BA a = ， BC b = ，∴CD a = ，23DF b =-
． ···································· （2分）
∴23
CF CD DF a b =+=-
． ··········································································· （1分）
21．解：（1）∵AD ⊥BC ，AD =4，sin ∠
∴
4AD AC AC =，
∴AC = ································································ （2分）
∴在Rt △ACD 中，2CD =
=．
∵BC =5， ∴BD =BC –CD =5–2=3． ······································································ （1分）
∵在Rt △ABD 中，5AB ==， ······················································ （1分）
∴sin ∠BAD =
3
5
BD AB =． ·························································································· （1分） （2）∵AB=BC=5，BF 平分∠ABC ，
∴BF ⊥AC ，1
2
AF AC =
=．············································································· （2分） ∴∠AFE =∠ADC ，又∵∠EAF =∠CAD ，∴AEF ∆∽ACD ∆， ································ （1分）
∴
EF AF
CD AD
=．即 2EF =EF ················································· （2分） 22．解：设OH 的长为x 米． ································································································· （1分）
在Rt △OBH 中，∵tan OH OBH BH
∠=，∴tan 63.42x x
BH =≈︒． ·························· （3分）
在Rt △AOH 中，∵tan OH OAH AH
∠=，∴2tan 26.50.5x x
AH x =≈=︒． ············· （3分）
∵AB =AH -BH ，AB =13，
∴2132x x -
=．
解得x =26
8.73≈（米）
． ················································· （2分） ∴路灯顶端O 到地面的距离OH 的长为8.7米． ················································· （1分）
23．证明：（1）∵2AB AE AC =⋅，∴AE AB AB AC
=． ···························································· （1分）
又∵∠BAE =∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ． ································································ （1分） ∴∠ABF =∠C ，∠ABC =∠AEB ． ·············································································· （1分） ∵∠ABC =∠AFE ，∴∠AFE =∠AEB ． ······································································· （1分） ∴180°–∠AFE =180°–∠AEB ，即∠AFB =∠BEC ． ··············································· （1分） ∴△ABF ∽△BCE ． ································································································· （1分）
（2）∵△ABF ∽△BCE ，∴CE BF CB AB =，∠CBE =∠BAF ． ······································· （2分）
又∵∠BDF =∠ADB ，∴△DBF ∽△DAB ． ····························································· （1分） ∴
BF DF AB DB =，∴CE CB =DF DB
． ················································································ （2分） ∴DF BC DB CE ⋅=⋅． ························································································· （1分）
24．解：（1）将A （-1，0）、B （2，0）代入2+2y ax bx =+，得
204220.
a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：1
1.a b =-⎧⎨
=⎩ ··························································· （2分） 所以，2
2y x x =-++． ················································································· （1分） 当x =0时，2y =．∴点C 的坐标为（0，2） ················································· （1分） （2）①过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵P （1，m ）在2
2y x x =-++上，
∴1122m =-++=，P （1，2） ． ······························································· （1分）
∵C （0，2），B （2，0） ，
∴BC =．PC ⊥OC ，∠BCO =45°，∠PCH =45°． ···································· （1分）
∴
CH PH ==BH=BC –CH==． ······························· （1分）
∴tan ∠PBC=
13
PH BH ==． ···································································· （1分） ②由题意可知，点Q 在第二象限．过点Q 作QD ⊥x 轴，垂足为点D ．
∵∠QBP =∠CBA=45°，∴∠QBD =∠CBP ．
∵tan ∠PBC=13．∴tan ∠QBD =
1
3
QD BD =． ·························································· （1分） 设DQ =a ，则BD =3a ，OD =3a -2．∴Q （2-3a ，a ）． ········································ （1分）
将Q （2-3a ，a ）代入2
2y x x =-++，得()2
23232a a a --+-+=．
解得18=
9a ，2=0a （舍）．∴P （23-，89
）． ················································ （2分）
25．解：（1）过D 作DH ⊥BC ，垂足为点H ． ······································································ （1分）
∵∠C= 90° ，∴DH ∥AC ．∴
4
5
BH BC BD BA ==． ················································ （1分） ∵BD =DE =5t ，∴BH =EH =4t ． ··············································································· （1分）
又∵BC =8，CE =4t ，∴12t =8，t =
2
3
． ····································································· （1分） （2）当t =25时，得BD =2，CE =8
5
，BE =532．
∵BE>BD ，∴点F 是射线ED 与直线BF 的交点 ················································· （1分）
过E 作EG ∥AC ，交AB 于点G ，则BF ∥GE ∥AC ．
∴AG CE AB CB = ，2AG =．∴10226DG =--=． ······································ （1分） ∴
2163BF BD GE DG ===，84
105
GE BG AC BA ===． ···················································· （1分） ∴144
3515BF BF GE AC GE AC =⨯=⨯=
． ···································································· （1分） （3）（i ）当点F 是射线ED 与BF 的交点时，
∵∠BDE>∠F ，∠BDE>∠FBD ，又∵△BDE 与△BDF 相似， ∴∠BDE =∠BDF=90°．∵∠BDE =∠C ，∠DBE =∠CBA ，
∴BDE ∆∽BCA ∆． ···················································································· （1分）
∴
BD BE
BC BA
=
．即584810t t -=．解得3241t =． ∴16041BD =． ············ （1分） ∵∠F =∠DBE ，∴sin ∠F =sin ∠DBE ．∴
BD AC BF AB =
．解得 800
123
BF =．（1分） （ii ）当点F 是射线DE 与BF 的交点时，
∵△BDE 与△BDF 相似，又∵∠BDE =∠BDF ， ∴∠DBE =∠F ，即∠ABC =∠F ， 又∵∠EBF =∠C ，∴BEF ∆∽CAB ∆． ∴
BF BE BC AC =，即8486BF t -=
．解得()4
843BF t =-． ······················ （1分）
过D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ．由BD =5t ，得DM =3t ，BM =4t ，EM ==8t –8． ∵BF ∥DM ，∴ ∠EDM =∠F=∠ABC ．∴tan ∠EDM =tan ∠ABC ． ∴DM =
()4883t -．∴()48833t t -=．解得32
23t =． ······························ （1分） ∴()4224
84369BF t =-=． ··········································································· （1分）
800 123或
224
69
．
综上所述，当△BDE与△BDF相似时，BF的长为。