浙教版九年级上册相似三角形章节知识点及典型例题同程教育

浙教版九年级上册数学《相似三角形》知识点与经典题型
温馨提醒：全等三角形是相似比为1的相似三角形．
知识拓展一下：若两直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似。

重要知识点和方法
1、黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2
1
5-=≈0.618AB
．即
AC BC AB AC ==
简记为：1
2
长短＝＝全长 注：黄金三角形：顶角是360
的等腰三角形或顶角为108°的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比
等于黄金比的矩形
2、相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。

相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)。

相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注：a 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边；b 全等三角形是相似比为1的相似三角形。

二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．c 传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆
用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 3、三角形相似的判定方法
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
4、几种基本图形的具体应用：
（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC
（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）
则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2
=BD ·AB ；
（3）满足1、AC 2
=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．
（4）当
AD AE
AC
=或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE
∽△ACB ． 5、相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
6、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法 1、证明四条线段成比例的常用方法： (1)线段成比例的定义
(2)三角形相似的预备定理 (3)利用相似三角形的性质 (4)利用中间比等量代换 (5)利用面积关系
2、证明题常用方法归纳：
(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

①
)(,为中间比n
m n m d c n m b a ==②'',,n n n m
d c n m b a ===
③),(,'''
'''n
m n m n n m m n m d c n m b a =====或 (4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例，以
上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k ；对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。

7. 画位似图形的一般步骤：
（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）
（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤ 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外， 或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形） ③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）
（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),
考点一、比例的变形及求值
考点二、黄金分割的应用
考点三、相似三角形中的线段、面积问题
考点四、相似三角形中的定值问题
考点五、相似在实际生活中的应用
考点六、巧证比例线段
考点七、添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明
考点八、在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图
考点九、相似三角形的综合题
考点题型解析考点一、比例的变形及求值
1、若35
a b
b
+
=
7
3
，则
a
b
的值为（）
A. 19
15
B.
8
9
- C.
15
19
D.
16
17
2、已知
578
a b c
==，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c= 考点二、黄金分割的应用
1、如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm ，两个端点A 、B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点（即AC 是AB 与BC 的比例中项），支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点（即BD 是AB 与AD 的比例中项），则AC= ，CD= （保留根号）
2、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165 cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到最好效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm
考点三、相似三角形中的线段、面积问题 1、如图，E 为平行四边形ABCD 的边DC 延长线上的一点，且CE ＝DC ，连接AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ．若BD ＝12 cm ，求DG 的长
2、如图所示，△ABC 是等边三角形，被一有两边平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三部分，则图中的阴影部分的面积是△ABC 的面积的（ ） A ．19 B ．29 C ．13 D ．49
3、如图为△ABC 与△DEC 重叠的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB ∥DE ．若△ABC 与△DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=
4、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，且
AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积
5、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是（ ） A.b=a+c B.b=ac C.b 2
=a 2
+c 2
D.b=2a=2c
6、如图所示，在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB=3，AC=4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥A
C
A
B
D 第2题
第3题
M
P N B D
A C
C 于
D ，设BP=x ，则PD+PE=（ ）
A. 5x +3
B. 4-5x
C. 7
2
D. 21212525x x 7、在正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M ，交AB 于点N ，交CB 的延长线于点P 。

若MN=1，PN=3，
求DM 的长度。

8、如图，M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形的面积分别是4，9，49，则△ABC 的面积是
9、（2006年温州）如图，在直线m 上摆故着三个正三角形:△ABC 、△HFG 、△DCE,已知BC=
1
2
CE ， F 、G 分别是BC 、CE 的中点，FM ∥AC ，GN ∥DC ．设图中三个平行四边形的面积依次是S 1,S 2,S 3,若S 1+S 3=10， 则S 2= .
10、（2008年温州）如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
11、（2009•温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁
剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张
第11题 第12题
12、如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ：EC=2：1，AE 与BD 交于点F ，则△AFD 与四边形DFEC 的面积之比是
第8题
第10题
考点四、相似三角形中的定值问题 1、如图所示，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点P 是AD 的中点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，AB=3，BC=4，（1）求PE+PF 的值；（2）当点P 在AD 上移动时，（不与AD 的中点重合），则PE+PF 的值是否会变化？若不变化，请加以证明；若变化，请说明理由。

E
F
O
D A
P
2、如图，已知平面直角坐标系中，直线3x y +-=交x 轴于点B ，交y 轴于点C 。

M 为第一象限内一点，且MC 垂直于OC ，连OM ，作CP ⊥OM 于点P ，连BP ，过P 点作EP ⊥BP 交y 轴于点E ，问：当点M 运动时，CE
CM 的值是否发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。

考点五、相似在实际生活中的应用
1、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（ ）
A. 0种
B. 1种
C. 2种
D. 3种
2、如图所示，已知零件的外径为a ，要求出它的厚度x ，需先求出内径AB ，但又不能直接量出AB ，现有一个交叉卡（两条直尺长AC ＝BD ）去量，若1
OC OD OA OB n
==，且量得CD ＝b ，求厚度x ．
3、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底为10m ，20m 的梯形空地上种植花木（如图1）
（1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；
B P
E
M
C
O x
y
F
A B
C D
E
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金；
（3）若梯形ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P ，使得△APB ≌△DPC 且S △APD =S △BPC ，并说出你的理由．
考点六、巧证比例线段
1、如图所示，∠B=∠C ，求证：（1）
AB BD
AC CE
；（2）BE ×CF=CD ×BF
2、如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=∠E ，求证：AB 2
=AD ×AE
D B A
3、如图所示，点E 是平行四边形ABCD 的一边DA 的延长线上的一点，CE 交BD 于点F ，交AB 于点G 。

求证：CF 2
=EF ×GF G
F
D
A
E
4、如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB=AC ，D 是上一点，AD 的延长线交BC 的延长线于点P ，
（1）求证：AB 2
=AD ×AP
（2）若⊙O 的直径为25，AB=20，AD=15，求PC 和DC 的长
图2
N M F E G
C
A B
D
图3
N
M F E
G C
A B
D
图1
E
P B
A C
Q
D
5、如图，在△ABC 的外接圆O 中，D 是BC 的中点，AD 交BC 于点E ，连接BD 。

（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连接DC ，若在BAC 上任取一点K （点A ，B ，C 除外），连接CK ，DK ；DK 交BC 于点F ，DC 2
=DF ·DK
是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明。

6、（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE//边长，AQ 交DE 于点P,求证：BQ DP =QC
PE
(2)如图，△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG,AF 分别交DE 于M,N 两点。

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；②如图3，求证：MN 2
=DM ·EN
F
考点七、添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明
1、如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，延长ED 与射线CB 交于点F ．若AE ∶EC=1∶2， AD ∶BD=3∶2．求：FB ∶FC 的值．
2、如图所示，点M 、N 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，且BM=CN ，MN 、BC 的延长线交于点P ， 求证：AC ×NP=AB ×MP
3、如图所示，在等边三角形ABC 中，P 是BC 上任意一点，线段AP 垂直平分线分别交AB 、AC 于点M 、N ， 求证：BP ×CP=BM ×CN
考点八、在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图
1、如图，矩形OABC 的顶点O 是坐标原点，边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上．若矩形OA 1B 1C 1与矩形
OABC 关于点O 位似，且矩形OA 1B 1C 1的面积等于矩形OABC 面积的 1
4，则点B 1的坐标是（ A ．(3，2) B ．(－2，－3) C ．(2，3)或(－2，－3) D ．(3，2)或(－3，－2)
2、如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 (3,2)，(－1,－1)
的位似中心的坐标是_________．
3、如图所示，已知等边三角形ABC，求作等边三角形DEF，使它的三个顶点分别在三角形ABC的边上，且EF∥BC
A
B C
考点九、相似三角形的综合题
1、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，
(1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说
明理由.
2、如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.
(1)设BP=x，△PEF的面积为S，求S与x的函数解析式和x的取值范围；
(2)当P在BC边上什么位置时，S值最大.
3、如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC（AB＞AE）
（1）△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设AB k BC
=，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。

4、如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。

（1）求证：
AH EF AD BC
=; （2）设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值； （3）当矩形EFPQ 的面颊最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动（当点Q 与点C 重合时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式。

5、如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ∥BC ，D 是BC 上一点，BD=
4
1OA=2，AB=3，∠OAB=45°，E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出．．．．D 点的坐标；
（2）设OE=x ，AF=y ，试确定y 与x 之间的函数关系；
（3）当△AEF 是等腰三角形时，将△AEF 沿EF 折叠，得到△EF A '，求△EF A '与五边形OEFBC 重叠部分的面积．。